Algèbre Matrices – Algèbre des matrices carrées

Matrices – Algèbre des matrices carrées

Exercice 1 On considère les matrices suivantes :

A= 1 2 3 4

!

et B=

−1 0 1 2 2 3

!

Calculer, lorsque cela est possible, A²,B², AB, BA,A^t, B^t, AA^t, A^tA, (A^t)², BB^t, B^tB,(B^t)², A^tB^t et B^tA^t.

Exercice 2 Soientaetbdes nombres réels. On considère les matrices

A= cos(a) −sin(a) sin(a) cos(a)

!

; B = cos(b) −sin(b) sin(b) cos(b)

! .

1. CalculerAB etBA. En déduire que AetB commutent.

2. Montrer queA est inversible et calculerA⁻¹.

Exercice 3 On considère la matrice

A= 2 −2 2 −3

! .

1. DéterminerA² et montrer queA²+A= 2I2.

2. En déduire queA est inversible et exprimerA⁻¹ en fonction deA.

3. Ecrire la matriceA⁻¹.

Exercice 4 Soit K un corps et soit D ∈ M2(K). Montrer que DA = AD pour tout A ∈ M2(K) si et seulement si D=λI2 pour unλ∈K.

Exercice 5 Soit K un corps. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est un groupe pour la multiplication.

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais

cedex ; France

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Exercice 6 Soit B = (e¹, e2, e3) la base canonique de R³. On considère les applications linéaires f et g de R³ dansR³ définies par

f(x, y, z) = (x+z,2y−z, x),

g(e1) =e1+e3, g(e2) = 2e2−e3, g(e3) =e1. 1. A-t-onf =g?

2. Donner les matricesM_f etM_g def etgdans la base B.

3. Donner l’image deBpar l’application linéaireh= 2f−g.

4. Pour tout(x, y, z)∈R³, donner les coordonnées deh(x, y, z)dans la base B.

5. En utilisant les trois questions précédentes, donner, par trois méthodes différentes, la matriceM_h deh dans la base B.

Exercice 7 Soit f: R³ → R³ une application linéaire. On pose g = f −Id. On suppose g◦g 6= 0 et g◦g◦g= 0.

1. Soitv∈R³ tel que(g◦g)(v)6= 0. Montrer que les vecteursv, g(v),(g◦g)(v) forment une base deR³. 2. Donner la matriceMg de g, puis la matrice M_f de f dans cette base.

Exercice 8 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R³. On considère l’endomorphisme φ de R³ défini par

φ(e1) = 0, φ(e2) =e1−e2−e3, φ(e3) =−e1+e2+e3. 1. Ecrire la matrice deφdans la base B.

2. Trouver une base deker(φ) et une base de Im(φ).

3. Trouver un vecteurv de R³ tel que φ(v)6= 0 et montrer qu’alors la famille(v, φ(v))est libre dans R³. 4. Trouver un vecteurwde ker(φ) tel que la famille F = (v, φ(v), w) soit une base de R³.

Ecrire la matrice de φdans la base F.

Exercice 9 Calculer l’inverse des matrices suivantes :

A= −1 1 2 3

! B =









1 1 3 1 2 4

−1 1 0







 C=















0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0













 .

Exercice 10 Soitf l’endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3)est

A=









2 0 1 0 2 1 0 1 2









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1. Montrer quef est bijectif et déterminer la matrice de f⁻¹ dans la baseB.

2. On posee^′1=e1,e^′2 =e1+e2−e3 ete^′3 =e1+e2+e3. (a) Montrer que B^′ = (e^′1, e^′2, e^′3) est une base deR³. (b) DéterminerA^′ la matrice def dans la baseB^′.

(c) Donner la matrice de passage de la base Bà la base B^′. (d) CalculerAⁿ pour toutn∈N^∗.

Exercice 11 SoitK un corps. On définit dansM_n(K) la relation ∼par A∼B ⇐⇒ ∃P ∈ Mn(K), inversible, A=P⁻¹BP.

Montrer que ∼est une relation d’équivalence.

Exercice 12 Juin 2005.

Pour tout nombre réel m, on considère la matriceA(m)∈ M3(R) suivante :

A(m) =









1 m m² m m² m

1 0 m







 .

1. Déterminer pour quelles valeurs dem la matrice A(m)est inversible.

2. Déterminer le rang de la matriceA(m) en fonction du paramètrem.

Exercice 13 SoitA=









13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5









1. Montrer queA est inversible et calculer son inverse.

2. En déduire l’expression deAⁿ pour tout n∈Z.

Exercice 14 On considère la matriceM :

M =









0 1 1 1 0 1 1 1 0









Montrer que l’on a pour tout n∈N:Mⁿ=anM+bnI3. Expliciter a_n∈Retb_n∈R.

Exercice 15

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1. Montrer que S = I_n −2U U^t est une matrice symétrique telle que S² = I_n, en déduire que S est inversible et calculer S⁻¹.

2. Montrer queP =In−U U^t est une matrice symétrique telle queP² =P. Montrer queP n’est jamais inversible.

Exercice 16 SoientA etB des matrices carrées de taillentelles queI_n−AB soit inversible.

Calculer(In−BA)(In+B(In−AB)⁻¹A).In−BAest-elle inversible ?

Exercice 17 SoitA= (ai,j)_i∈{1,...,n},j∈{1,...,n} ∈ Mn(R).

On définit la trace de A que l’on note tr(A) comme égale à la somme des éléments de la diagonale principale. On a donc

tr(A) =

n

X

i=1

a_i,i.

1. Montrer que∀A∈ M_n(R), ∀B ∈ M_n(R), ∀λ∈R, ∀µ∈R, on a :

tr(λA+µB) =λtr(A) +µtr(B) ; tr(AB) =tr(BA).

2. Calculertr(A^tA)en fonction des coefficients de A.

Exercice 18 SoientA=









5 4 3 7 6 5 5 4 3









etB=









1 2 3 2 3 4 1 2 3







 .

Déterminer toutes les matricesX ∈ M³(R) telles queA=BX.

Exercice 19 Soit R₂[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, à coefficients dans R.

SoitB={1, X, X²} la base canonique deR₂[X].

Soitφ l’endomorphisme deR₂[X]défini parφ:P(X)7−→XP^′(X)−¹₂P. Donner la matrice deφdans la base B.

Exercice 20 On considère C comme un R-espace vectoriel de dimension 2 (C ∼= R²), ce qui revient à dire qu’on peut se donner z=a+ıb∈Cavec a∈R etb∈R.

SoitB1 ={1, ı}la base canonique deCcomme un R-espace vectoriel de dimension 2. On écrit zdans la base B1 :z_B1 = a

b

!

∈ M2,1(R).

On pose =−¹₂ +ı^√₂³. 1. Vérifier que1 ++= 0.

SoitB2

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2. Ecrirez dans la base B2 (i.e. z_B2 ∈ M2,1(R)) et donner A∈ M2,2(R) telle que z_B2 =A z_B1. Donner B ∈ M2,2(R) telle que z_B2 =B z_B1.

Soitc l’endomorphisme deC qui àz∈Cassocie son conjuguéz∈C.

SoitC_B1 ∈ M2,2(R) la matrice associée à l’endomorphismec dans la baseB1. 3. Donner la matriceC_B1.

SoitC_B2 ∈ M2,2(R) la matrice associée à l’endomorphismec dans la baseB2. 4. Donner la matriceC_B2.

5. Donner en justifiant (par des calculs ou non), l’existence de l’inverse de la matriceB, la matrice B⁻¹ et la matrice B⁻¹C_B1B.

Références

[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.

[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.

[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.

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Matrices – Algèbre des matrices carrées

Solution 18







5 4 3 7 6 5 5 4 3













λ₁ λ₂ λ3

λ4 λ5 λ6

λ7 λ8 λ9













1 2 3 2 3 4 1 2 3







⇐⇒











λ1+ 2λ4+ 3λ7 = 5 λ2 + 2λ5+ 3λ8= 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3 2λ1+ 3λ4 + 4λ7= 7 2λ2+ 3λ5+ 4λ8 = 6 2λ3 + 3λ6+ 4λ9= 5 λ1+ 2λ4+ 3λ⁷ = 5 λ2 + 2λ5+ 3λ8= 4 λ3+ 2λ⁶+ 3λ⁹ = 3

⇐⇒

( λ1+ 2λ4+ 3λ7 = 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8 = 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3 2λ1+ 3λ⁴+ 4λ⁷ = 7 2λ2+ 3λ⁵ + 4λ8 = 6 2λ3+ 3λ⁶+ 4λ⁹ = 5

⇐⇒

( λ1+ 2λ4+ 3λ7 = 5 λ2+ 2λ5+ 3λ8 = 4 λ3+ 2λ6+ 3λ9 = 3 λ4+ 2λ⁷ = 3 λ5+ 2λ⁸ = 2 λ6+ 2λ⁹ = 1

⇐⇒ (λ7, λ8, λ9)∈ R³,

( λ1=⁻1 +λ7 λ2=λ8 λ3 = 1 +λ9

λ4 = 3−2λ7 λ5= 2−2λ8 λ6 = 1−2λ9

Solution 20 1. =−¹

2 +ı^√₂³;=−¹

2 −ı^√₂³; et 1 ++= 0.

2. a+ıb=a+ ((+ ¹₂)^2√₃³)b=a+ ^√₃³b+²

√3 3 b.

Et, z_B2 = a+^√₃³b

2√ 3 3 b

!

∈ M_2,1(R) etz_B2 = 1 ^√₃³ 0 ^2√₃³

!

| {z }

:=A

z_B1.

3. µ+ν =µ+ (−¹

2 +ı^√₂³)ν=µ−¹

2ν+ı^√₂³ν.

Et, z_B1 = 1 −¹

2

0 ^√₂³

!

| {z }

:=B

z_B2.

Autre méthode ...

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B est la matrice de passage de la base B₁ vers la base B₂ :

B= 1 −¹

2

0 ^√₂³

! 1 ı 1 

A est l’inverse deB. Recherche par opérations élémentaires sur les lignes ...

1 −¹

2 1 0

0 ^√₂³ 0 1

!

L1←L1+

√3 3 L2

⇐⇒ 1 0 1 ^√₃³ 0 ^√₂³ 0 1

!

L2←^2√3³L2

⇐⇒ 1 0 1 ^√₃³ 0 1 0 ^2√₃³

!

Et,

B⁻¹= 1 ^√₃³ 0 ^2√₃³

! .

C_B1 = 1 0 0 −1

! 1

ı c(1) = 1c(ı) =−ı 4.

C_B2 = 1 −1 0 −1

! 1

 c(1) = 1c() =−1−

5. B est la matrice de passage de la base B₁ vers la base B₂ donc B⁻¹ =A etC_B2 =B⁻¹C_B1B.

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