ECUE Compétences - préparation concours SV année 2017 - 2018
Diagonalisation des matrices et algèbre linéaire suite
Exercice 1. Dans cet exercice, on étudie la matrice
A=
4 −2 −3
0 2 0
6 −6 −5
1. Calculer le déterminant deA.
2. La matriceA est-elle inversible ?
3. Calculer le polynôme caractéristique deA, c’est-à-dire le déterminant
det(A−XI) =
4−X −2 −3
0 2−X 0
6 −6 −5−X
4. En déduire les valeurs propres deA (il faut trouver les racines du polynôme caracté- ristique).
5. Pour chaque valeur propreλtrouvée, résoudre le systèmeAX =λX où X=
x1
x2 x3
, c’est-à-dire :
4x1−2x2−3x3 =λx1
2x2 =λx2
6x1−6x2−5x3 =λx3
6. CalculerAE1,AE2 et AE3 pour
E1 =
1 0 0
; E2=
0 1 0
; E3 =
0 0 1
.
Un peu de probabilités
Exercice 2. Lois usuelles discrètes et quelques calculs.
1. On suppose queX suit la loi de Bernoulli de paramètre p∈]0,1[ . Ecrire la loi de X.
2. Rappeler l’espérance et la variance deX.
3. On définit la variable aléatoireY = 2X−1. Ecrire la loi deY. 4. Calculer l’espérance et la variance deY.
5. On suppose queZ suit la loi binomiale de paramètres net p∈]0,1[ . Ecrire la loi de Z.
6. Rappeler l’espérance et la variance deZ.
