ÉCS2
Mémento sur le calcul des moments des lois discrètes usuelles.
Les essentiels.1 Loi uniforme sur [[1 ; n]]
SoitndansN∗ etXune v.a.r. de loi uniforme sur [[1 ;n]].
Ainsi :X(Ω) = [[1 ;n]]et pour toutkde[[1 ;n]],P(X =k) = 1 n.
¬Xétant une v.a.r. à support fini, Xpossède des moments de tous ordres.
E(X) =
n
X
k=1
k n = 1
n
n(n+ 1)
2 = n+ 1 2 .
®E(X2) =
n
X
k=1
k2 n = 1
n
n(n+ 1)(2n+ 1)
6 =(n+ 1)(2n+ 1)
6 .
¯Par la formule de König-Huygens, V(X) = (n+ 1)(2n+ 1)
6 −
n+ 1 2
2
= 2(n+ 1)(2n+ 1)−3(n+ 1)2 12
= (n+ 1)(n−1)
12 = n2−1 12 .
Soitn∈N∗ et X,→U([[1 ;n]]). Alors :
¬E(X)existe et vaut n+ 1
2 V(X)existe et vaut n2−1 12 .
2 Loi binomiale
Soit un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes chacune de probabilité de succèsp, avecpdans] 0 ; 1 [.
SoitXle nombre de succès au cours de ces népreuves.
Notons, pour toutide[[1 ;n]],Xila variable indicatrice de l’événement « laièmeépreuve se solde par un succès ».
Les variables Xi sont indépendantes (mutuellement) et toutes de loi de Bernoulli de paramètrep.
Enfin, X =
n
X
i=1
Xi.
¬Par linéarité, E(X) =
n
X
i=1
E(Xi). ChaqueXi ayant pour espérancep,E(X) =np.
¬ Par indépendance des Xi pour 1 6i6 n,V(X) =
n
X
i=1
V(Xi). Comme chaque Xi a pour variancep(1−p),V(X) =np(1−p).
Soitn∈N∗,p∈] 0 ; 1 [etX,→B(n;p). Alors :
¬E(X)existe et vautnp V(X)existe et vautnp(1−p).
Remarque : par un calcul bourrin.
¬E(X) =
n
X
k=0
kP(X =k) =
n
X
k=0
k n
k
pkqn−k =
n
X
k=1
n n−1
k−1
pkqn−k
=np
n−1
X
k=0
n−1 k
pkqn−k−1=np(p+q)n−1=np.
E(X(X−1)) =
n
X
k=0
k(k−1)P(X =k) =
n
X
k=0
k n
k
(k−1)pkqn−k
=
n
X
k=2
n(n−1) n−2
k−2
pkqn−k=n(n−1)p2
n−1
X
k=0
n−1 k
pkqn−k−2
=n(n−1)p2(p+q)n−2=n(n−1)p2.
®V(X) =E(X(X−1)) +E(X)−E(X)2=n(n−1)p2+np−n2p2=−np2+np
=np(1−p).
3 Loi géométrique
SoitXune v.a.r. de loi géométrique de paramètrep∈] 0 ; 1 [.
Soitq= 1−p. On a :q∈] 0 ; 1 [.
Ainsi :X(Ω) =N∗ et pour toutkdeN∗,P(X =k) =qk−1p.
¬Commeq∈] 0 ; 1 [, la série de terme généralkqk−1est une série géométrique absolu- ment convergente, donc par linéarité la série de terme généralkP(X =k)est absolument convergente. AinsiXadmet une espérance. De plus :
E(X) =
+∞
X
k=1
kqk−1p=p
+∞
X
k=1
kqk−1=p 1
(1−q)2 = 1 p.
Commeq∈] 0 ; 1 [, la série de terme général k(k−1)qk−2 est une série géométrique absolument convergente. Par linéarité, la série de terme généralk(k−1)P(X =k)est abso- lument convergente, donc d’après le théorème de transfert,X(X−1)admet une espérance.
De plus :
E(X(X−1)) =
+∞
X
k=1
k(k−1)qk−1p=pq
+∞
X
k=1
k(k−1)qk−2=pq 2
(1−q)3 = 2q p2.
®CommeX2= X(X−1) + X, X2admet une espérance par linéarité, avec : E(X2) =E((X(X−1)) +E(X).
Par la formule de König-Huygens,Xpossède une variance. De plus : V(X) =E(X(X−1)) +E(X)−(E(X))2= 2q
p2 +1 p− 1
p2 = 2q+p−1 p2 = q
p2. Soitp∈] 0 ; 1 [,q= 1−petX,→G(p). Alors :
¬E(X)existe et vaut 1
p V(X)existe et vaut q p2.
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Mémento sur le calcul des moments des lois discrètes usuelles.
Les essentiels.4 Loi de Poisson
SoitXune v.a.r. de loi de Poisson de paramètreλ∈] 0 ; +∞[.
Ainsi :X(Ω) =Net pour toutkdeN,P(X =k) =e−λλk k!.
¬ La série X
k>0
kP(X = k) est la série X
k>1
e−λ λk
(k−1)! (le premier terme de la série initiale étant nul), ou encore, par décalage de l’indice,X
k>0
e−λλk+1
k! . Or la série de terme général λk
k! est une série exponentielle absolument convergente, donc par linéarité la série de terme généralkP(X =k) est absolument convergente. Ainsi X admet une espérance.
De plus : E(X) =
+∞
X
k=0
e−λλk+1
k! =λe−λ
+∞
X
k=0
λk
k! =λe−λeλ=λ.
La série X
k>0
k(k−1)P(X =k)est la sérieX
k>2
e−λ λk
(k−2)! (les deux premiers termes de la série initiale étant nuls), ou encore, par décalage de l’indice, X
k>0
e−λλk+2 k! . Or la série de terme général λk
k! est une série exponentielle absolument convergente, donc par linéarité la série de terme généralk(k−1)P(X =k)est absolument convergente. Ainsi par le théorème de transfert,X(X−1)admet une espérance. De plus :
E(X(X−1)) =
+∞
X
k=0
e−λλk+2
k! =λ2e−λ
+∞
X
k=0
λk
k! =λ2e−λeλ=λ2.
®CommeX2= X(X−1) + X,X2 admet une espérance par linéarité, avec : E(X2) =E((X(X−1)) +E(X).
Par la formule de König-Huygens,X possède une variance. De plus : V(X) =E(X(X−1)) +E(X)−(E(X))2=λ2+λ−λ2=λ.
Soitλ∈] 0 ; +∞[et X,→P(λ). Alors :
¬E(X)existe et vautλ V(X)existe et vautλ.
5 Loi hypergéométrique, hors programme
Dans un schéma hypergéométrique, on tire sans remisen boules parmiN dont exacte- mentNRsont rouges.
Remarquons qu’il revient au même de tirer simultanément cesnboules.
On notep=NR
N .
SoitXle nombre de boules rouges obtenues au cours de cesntirages.
On dit queXsuit la loi hypergéométriqueH(N, n, p).
Supposons de plus lesNRboules rouges numérotées de 1àNR.
Notons, pour tout i de [[1 ; NR]], Xi la variable indicatrice de l’événement « la boule rouge numéroiest tirée ».
Les variablesXi sont toutes de loi de Bernoulli. Calculons leur paramètre.
Pour toutide[[1 ; NR]], il y a :
• N
n
tirages possibles ;
•
N−1 n
tirages ne contenant pas la boule rouge de numéroi.
D’où :
P(Xi= 0) =
N−1 n
N
n
= (N−1)!
n!(N−1−n)!
n!(N−n)!
N! = N−n
N = 1− n N
AlorsP(X1= 1) = n
N,Xi,→B(n/N)etE(Xi) = n N. CommeX =
NR
X
i=1
Xi, par linéarité :E(X) =
NR
X
i=1
n N = NR
n
N =nNR
N =np.
SoitN∈N∗,NR∈[[1 ; N]],n∈[[1 ; N]]etp=NR
N . SoitX,→H(N, n, p). Alors :E(X)existe et vautnp.
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