Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 Probabilités Année universitaire 2012-2013
Fiche 3 Espérance (et loi) conditionnelle
Dénition
Exercice 1. On se donne un espace de probabilité (Ω,F,P), une variable aléatoire X positive (ou intégrable) etG ⊂ F une tribu.
1. Rappelez la dénition de l'espérance conditionnelle deX sachantG. 2. Démontrer les propriétés suivantes :
a) E(E(X|G)) =E(X);
b) SiX est indépendante deG, alorsE(X|G) =E(X). En déduireE(c|G)oùc∈Rest une constante ; c) SiY est G-mesurable et bornée, alorsE(XY|G) =YE(X|G);
d) SiY ≥X p.s., alorsE(Y|G)≥E(X|G)p.s.
3. SiX et Y sont indépendantes, etf :R×R→R+est une fonction mesurable, montrer que
E(f(X, Y)|X) =g(X) où on a déni la fonction
g:x7→g(x) =E(f(x, Y)).
Autrement dit, ceci montre que siX etY sont indépendantes alors on calcule E(f(X, Y)|X)en faisant comme siX était une constante et en prenant l'espérance par rapport àY seulement.
Exercice 2. SoitX, Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1). CalculerE(XY2|X),E(X2+XY|X),E(e−XY|X),E(e−XY|X, Y).
On donneE(eλY) =eλ2/2 (question subsidiaire : comment obtient-on cette formule ?)
Lois discrètes
Exercice 3. SoitX, Y des variables aléatoires indépendantes, de loi de Poisson de paramètresλetµ. 1. Calculer la loi deX+Y. Quelle est la loi du couple (X, X+Y)?
2. Calculer la loi deX sachantZ=X+Y. Quel nom porte-t-elle ? 3. CalculerE(X|X+Y)
Lois à densité
Exercice 4. Soit(X, Y)un vecteur aléatoire dont la loi a pour densité f(x, y) =λx−1e−λx1{0<y<x}. 1. Déterminer la loi conditionnelle deY sachantX.
2. CalculerE(Y2|X).
Exercice 5. SoitX, Y deux variables aléatoires indépendantes, de loi N(0,1).
1. Vérier queE(Xϕ(X2)) = 0pour toute fonction borélienne bornéeϕ(penser à la symétriex7→ −x).
En déduireE(X|X2). Que vautE(X|X3)? 2. On poseZ=X+Y.
a) Calculer la densité de la loi du vecteur(X, Z);
b) Déterminer la loi conditionnelle deX sachantZ=z pour toutz∈R; c) En déduireE(X|Z).
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Exercice 6. SoitY une variables aléatoire de densité f(y) = 1
√πye−y1{y>0}.
On suppose que la loi conditionnelle deX sachantY est une loi gaussienneN(0,1/(2Y)). 1. Calculer la loi du couple(X, Y).
2. Calculer la loi conditionnelle deY sachantX. 3. CalculerE(X2Y).
Exercice 7. Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires de densité f(x, y) = 4y(x−y)e−(x+y)1{0≤y≤x}.
1. Calculer la densité deY puis la densité de la loi conditionnelle deX sachantY. 2. CalculerE[X|Y].
3. CalculerP(X <1|Y).
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