Examen partiel du 7 janvier 2019

Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 & M1 – Probabilités Année universitaire 2018–2019

Examen partiel du 7 janvier 2019

Durée : 3 heures

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Le seul document autorisé est une feuille A4 de notes manuscrites, personnelle.

La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération.

Exercice 1. Soitλ >0. On considère un couple(X, Y)de variables aléatoires tel que

— X suit la loi de densité f_X:x7→λ²xe^−λx1_]0,+∞[(x);

— la loi conditionnelle de Y sachantX est la loi uniforme sur [0, X].

1.Déterminer la densitéf_(X,Y)de la loi du couple (X, Y).

2.Calculer la densité de la loi deY.

3.CalculerE[Y|X]etE[Y²|X]. En déduireE[(X+Y)²|X].

4.Pour toute fonction mesurable positiveg:R→R, montrer queE[g ^Y_X

|X] =R1

0 g(u)du, et en déduire la loi de ^Y_X.

5.Calculer la densité conditionnelle deX sachantY.

6.En déduire que, pour toute fonction mesurable positiveg:R²→R,

E[g(X, Y)|Y] =ψ(Y), oùψ(y) =E[g(y+Y⁰, y)],

où Y⁰ suit la loi exponentielle de paramètre λ, puis que E[g(X, Y)] = E[g(Y +Y⁰, Y)], en choisissant Y⁰ indépendante deY. Que peut-on en déduire sur les lois deY +Y⁰ et de _Y+Y^Y 0 ?

Exercice 2. Soitλ >1. Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires à valeurs entières tel que pour tousk, n∈N, P(X =k, Y =n) =e^−λ(λ−1)^n−k

k!(n−k)!1_{k≤n}. 1.Quelle est la loi deY?Penser à ⁿ_k

=_k!(n−k)!^n! . 2.Quelle est la loi deX?

3.Pourn∈N, quelle est la loi de X sachantY =n?Identifier une loi classique.

4.En déduireE[X|Y].

Exercice 3. Soit (X_n)_n≥1 une suite de variables aléatoires réelles, de carré intégrables. On note (Fn)_n≥0 sa filtration naturelle :F0={∅,Ω}et, pourn≥1,Fn=σ(X₁, . . . , X_n). On suppose que, pour toutn≥0, presque sûrement,

E[X_n+1| F_n] = 0 et E[X_n+1² | F_n] =σ²_n+1,

oùσ1, σ2, . . .est une suite de réels strictement positifs. On noteS0= 0,A0= 0et, pour tout n≥1, Sn=X1+· · ·+Xn et An =σ²₁+· · ·+σ²_n.

1.Montrer que(Sn)_n≥0est une martingale. Justifier chaque propriété utilisée (ici et dans la suite).

2.On s’intéresse àVn =S²_n−An.

2.a)Montrer que, si1≤i < j,E[XiXj] = 0.

2.b)Montrer que(Vn)n≥0 est une martingale.

3.On suppose queP

n≥1σ_n² <∞. En déduire que (Sn)n converge p.s. et dans L² vers une variable aléatoire S_∞.

4.On suppose maintenant que(S_n)_n converge p.s. vers une variable aléatoire réelle S_∞. On suppose de plus que(X_n)_n est bornée : il existeM >0 tel que|Xn| ≤M p.s., pour toutn≥1.

4.a)Soita >0. On définit

τ_a = inf n≥0

|S_n|> a ,

avecτa =∞si|Sn| ≤apour toutn. Prouver queτa est un temps d’arrêt pour la filtration(Fn)n≥0. 4.b)Justifier que, pour toutn≥0,E[S_n∧τ² _a] =E[An∧τa].

4.c)Prouver qu’il existe a∈Ntel que P(τ_a =∞)>0.On pourra raisonner par l’absurde.

4.d)En déduire que P

n≥1σ²_n<∞.

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Exercice 4 – Théorèmes d’arrêt. SoitX= (Xn)n≥0 une martingale par rapport à une filtration(Fn)n≥0, etT un temps d’arrêt fini. On considère les différentes hypothèses suivantes :

(0) T est borné (il existe M ∈Ntel queT ≤M p.s.) (1) X est bornée (il existeC >0tel que |X| ≤C p.s.)

(2) T est intégrable, et ∆X est bornée (il existeC >0 tel que|Xn+1−Xn| ≤C p.s. pour toutn∈N) (3) X est bornée dansL² (il existeC >0tel queE[X_n²]≤C pour toutn∈N).

On rappelle que (par le théorème d’arrêt) si (0) est vrai, alorsE[XT] =E[X0].

On souhaite montrer que cette conclusion reste correcte sous les hypothèses (1), (2) et (3) aussi. On va donc supposer successivement chacune de ces hypothèses vérifiée.

1.On suppose que (1) est vraie.

1.a)Justifier que, pour toutn∈N,E[Xn∧T] =E[X0].

1.b)Par un passage à la limite (à justifier), en déduireE[X_T] =E[X₀].

2.On suppose maintenant que (2) est vraie.

2.a)Justifier que, pour toutn∈N,X_T =X_n∧T +

∞

X

k=n

(X_k+1−X_k)1_{k<T}.

2.b)Montrer que E

∞

X

k=n

(Xk+1−Xk)1_{k<T}

≤ CE[T1_{{T >n}}] et justifier que ce terme tend vers 0 quand n→ ∞.

2.c)Conclure queE[X_T] =E[X₀]. On pourra utiliser 1.a) 3.On suppose maintenant que (3) est vraie.

3.a)Justifier (avec des résultats du cours) que, pour toutn,E[X_n∧T² ]≤E[X_n²].

3.b)En déduire que E[X_T²]≤C.On rappelle le lemme de Fatou : si Zn ≥0,E[lim infnZn]≤lim infnE[Zn].

3.c)Montrer que E(|X_n∧T −XT|) =E(|Xn−XT|1_{{T >n}})≤2C^1/2P(T > n)^1/2 et justifier que ce terme tend vers 0 quandn→ ∞.

3.d)Conclure queE[XT] =E[X0]. On pourra utiliser 1.a)

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