Master 1 Math´ematiques appliqu´ees-Module ”Probabilit´es et mod`eles al´eatoires”
Partiel du 13 janvier 2018
Notes de cours et de TD autoris´ees. Mat´eriel ´electronique interdit. Prenez garde `a la propret´e de la copie et justifiez bien vos arguments en vous aidant du cours, le cas ´ech´eant.
Les questions plus d´elicates sont indiqu´ees par une ´etoile.
Exercice 1. Une variable al´eatoireX`a valeurs dans ]0,+∞[ est dite suivre la loi log-normale de param`etres (µ, σ2) si Y = logX suit la loi gaussienne N(µ, σ2). On noteL(µ, σ2) la loi log-normale de param`etres (µ, σ2).
(a) Ecrire la fonction de r´epartition deX ∼ L(µ, σ2),puis calculer explicitement la densit´e deX.
(b) Calculer l’esp´erance et la variance deX ∼ L(µ, σ2).
(c) Montrer que si X ∼ L(µ, σ), alors Xr ∼ L(rµ, r2σ2) pour tout r 6= 0. En d´eduire la valeur deE[Xr] pour toutr ∈R.
(d) CalculerE[euX] pour toutu∈R lorsqueX∼ L(µ, σ2).
Exercice 2. Soit (W, X, Y, Z) quatre variables al´eatoires gaussiennes centr´ees r´eduites, et ind´ependantes. On consid`ere le d´eterminant
∆ =
W X
Y Z
.
(a) CalculerE[eu∆] pour toutu∈]−1,1[.
*(b) En d´eduire que ∆ a pour densit´e e−|x|2 surR.
(c) En d´eduire l’identit´e en loiW2+Z2−X2−Y2 = 2∆.d
Exercice 3. Soit {Xn, n ≥ 1} une suite de variables al´eatoires ind´ependantes telles que P[Xn= 1] = 1/netP[Xn= 0] = 1−1/n.On pose Sn=X1+· · ·+Xn.
(a) Montrer queE[Sn]∼Var[Sn]∼lognquand n→+∞.
*(b) Calculer la transform´ee de Fourier de
Sn−logn
√logn
et montrer `a l’aide d’un d´eveloppement de Taylor `a l’ordre 2 en z´ero des fonctions log(1 +x) etex que
Sn−logn
√logn
→ Nd (0,1), n→+∞.
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Exercice 4. (a) Soit {Xn, n ≥1} une suite de variables al´eatoires de carr´e int´egrable et ayant une mˆeme esp´erance µ.On pose Sn=X1+· · ·+Xnet on suppose qu’il existe δ >0 pournδ−2VarSn→0.Montrer que
Sn
n → µ n→ ∞
dansL2,puis en probabilit´e.
(b) En d´eduire que la loi faible des grands nombres est v´erifi´ee pour une suite {Xn, n≥1}
de variables al´eatoires de mˆeme loi, d´ecorr´el´ees mais pas n´ec´essairement ind´ependantes.
Exercice 5. Soit{Xn, n≥1}une suite de variables ind´ependantes et de mˆeme loiN(0,1).
On poseSn=X1+· · ·+Xn et on consid`ere Mn = 1
√n+ 1 exp
Sn2 2(n+ 1)
.
(a) Montrer que Sn suit une loi gaussienne dont on calculera les param`etres et en d´eduire queE[Mn] = 1 pour toutn≥1.
(b) Montrer queMn est une martingale pour la filtrationFn=σ(X1, . . . , Xn).
(c) A l’aide du th´eor`eme limite central, montrer queMn→0 en probabilit´e quandn→ ∞.
Exercice 6. Soit {Xn, n≥1}une suite de variables ind´ependantes et de mˆeme loi P[Xn= 1] = p = 1−P[Xn=−1]
pour un param`etre p∈(0,1).On poseSn=X1+· · ·+Xn et on consid`ere T = inf{n≥1, Sn=−aouSn=b}
pour deux entiersa, b strictement positifs.
(a) Montrer que T est un temps d’arrˆet pour la filtration Fn =σ{X1, . . . , Xn}. Quelle est la signification deT ?
*(b) En consid´erant les ´ev´enements Ek ={Xk+1 =. . .=Xk+a+b = 1} et en appliquant le deuxi`eme lemme de Borel-Cantelli aux ´ev´enementsEk(a+b), montrer queP[T <∞] = 1.
(c) On suppose p = 1/2. Montrer par le th´eor`eme d’arrˆet que {Sinf(n,T)n ≥ 1} est une martingale et d´eduire `a l’aide du th´eor`eme de convergence domin´ee que
P[ST =−a] = b a+b·
(d) On suppose p 6= 1/2 et on pose ξ = (1−p)/p. Montrer que {ξSinf(n,T), n≥ 1} est une martingale et d´eduire comme pr´ec´edemment que
P[ST =−a] = ξa+b−ξa ξa+b−1 · (e) Quelle est la signification deP[ST =−a] ?
(f) Expliquer `a l’aide d’un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 pourquoi le r´esultat du (c) est une cons´equence de celui du (d).
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