Partiel du 7 janvier

Master Agr´egation - Module ”Chaˆınes de Markov”

Partiel du 7 janvier

Notes de cours autoris´ees. Le sujet est long mais la qualit´e des r´eponses est plus im- portante que leur quantit´e : vous pouvez picorer et n’ˆetes pas oblig´es de tout faire. Les questions plus d´elicates sont pr´ec´ed´ees par une ´etoile. La pr´esentation et la propret´e de la copie entreront en compte dans l’´evaluation.

Exercice 1. Vitesse de convergence de chaˆınes de Markov. Soit P une matrice de transition sur N×Nv´erifiant la condition suivante : il existe une probabilit´ep surN et une constante c >0 telle que

P(x, y) ≥ cp(y) pour tous x, y ∈N.

On note l1(N) l’ensemble des suites r´eelles absolument sommables muni de la norme

||u|| = X

n≥0

|u_n|

qui en fait un espace vectoriel norm´e complet. On identifie toute probabilit´e sur N `a un ´el´ement del₁(N) de norme 1 et dont les composantes sont positives.

(a) Montrer que n´ecessairement c≤ 1. Que se passe-t-il si c= 1 ? Dans la suite, on supposerac <1.

*(b) Soit u∈l₁(N) tel queP

n≥0u_n= 0. Montrer que ||uP|| ≤ (1−c)||u||.

(c) En d´eduire que si µ, ν sont deux mesures de probabilit´e sur N, alors

||µP −νP|| ≤ (1−c)||µ−ν||.

(d) Montrer que si P admet une probabilit´e invariante, alors elle est n´ecessairement unique.

(e) Montrer que siµest une probabilit´e quelconque surN,alors la suite{µPⁿ, n≥0}

est de Cauchy dansl₁(N).En d´eduire que P admet une unique probabilit´e invariante π et que l’on a

||µPⁿ−π|| ≤ Cρⁿ

pour des constantesC >0 et ρ∈(0,1) que l’on pr´ecisera.

Exercice 2. Temps de sortie de la marche al´eatoire simple. Soit {Xn, n ≥ 1} une suite i.i.d. de loi P[X_i = 1] = P[X_i = −1] = 1/2. On pose S_n = X₁ +· · ·+X_n pour tout n ≥ 1. Pour tout x ∈ Z on note P^x la loi de {S_n, n ≥ 1} issue de S0 =x et Tx = inf{n ≥ 0, Sn = x}. Le but de l’exercice est de calculer la quantit´e u(x, a, b) =P^x[T_a < T_b] pour tout a < b et x∈[a, b].

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(a) Faites un dessin repr´esentant l’´ev´enement dontu(x, a, b) est la probabilit´e et mon- trer queu(x, a, b) = u(x−a,0, b−a). Rappeler pourquoi T_a et T_b sont finis p.s. sous P^x. Quelle valeur heuristique peut-on donner `au(x, a, b) ?

(b) On poseN =b−a etv_n =u(n,0, N) pour tout n= 0. . . N. Montrer que v₀ = 1 etv_N = 0.

*(c) En appliquant la propri´et´e de Markov, montrer que 2vn =vn−1+vn+1 pour tout n= 1. . . N −1.

(d) En vous aidant des suites d´efinies par une r´ecurrence lin´eaire du deuxi`eme ordre avec conditions initiale et terminale prescrites, calculer vn pour tout n = 0. . . N. En d´eduire la valeur de u(x, a, b). Est-elle conforme `a l’intuition ?

Exercice 3. Marche al´eatoire r´efl´echie en son maximum. On reprend les notations de l’exercice pr´ec´edent en supposant la marche issue de x = 0. On consid`ere le pro- cessus des maximaMn= max{Sk, 0≤k≤n}et le processus r´efl´echiZn =Mn−Sn.

*(a) Montrer que le processus bivari´e {(M_n, Z_n), n ≥ 0} est une chaˆıne de Markov

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a valeurs dans N×N et dessiner son graphe de transition. Les processus univari´es {M_n, n≥0} et{Z_n, n≥0} sont-ils eux aussi markoviens ?

**(b) En utilisant le processus bivari´e (M_n, Z_n) et l’exercice pr´ec´edent, montrer que

P[max{Z_k, 0≤k≤T_a}< y] = y

1 +y a

pour touta, y∈N.

(c) On poseτy = min{n≥0, Zn=y}qui est le premier temps o`u la marche d´evie de y unit´es de son maximum pass´e. Montrer que la variable al´eatoire M<sub>τy</sub> suit une loi g´eom´etrique de param`etre y/(1 +y).

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