Calculette autoris´ ee. Documents non-autoris´ es. Ce sujet comporte deux pages. La notation accordera la plus grande importance ` a la qualit´ e de la r´ edaction.

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Devoir surveill´e

Modules et espaces quadratiques

le jeudi 24 octobre 2019, de 13h15 ` a 15h15

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Calculette autoris´ ee. Documents non-autoris´ es. Ce sujet comporte deux pages. La notation accordera la plus grande importance ` a la qualit´ e de la r´ edaction.

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Exercice 1 :

Soit A un anneau principal. Soit r un entier positif. Soit M un A-module libre de rang r. Soit N un sous-module de M. Montrez que N est un A-module libre de rang

6

r.

Il s’agit d’une question de cours. Vous donnerez la d´ emonstration d´ etaill´ ee.

Exercice 2 : Construire une matrice de GL

₃

( Z ) dont la premi` ere ligne est (14, 35, 10).

Exercice 3 : On consid` ere le Z -module M = ( Z /350 Z )

×

( Z /144 Z )

×

( Z /216 Z )

×

( Z /49 Z ).

1. Montrez que M est un Z -module de type fini et donnez une famille g´ en´ eratrice.

2. Donnez les diviseurs ´ el´ ementaires de M . 3. Donnez les facteurs invariants de M.

4. Quel est l’id´ eal annulateur de M ?

5. Quelles sont les composantes p-primaires de M ?

6. Pour tout entier premier p on note M(p) =

{v∈

M|p.v = 0}.

Montrez que M (p) est un espace vectoriel sur le corps Z /p Z .

7. Donnez la dimension du ( Z /2 Z )-espace vectoriel M (2). Vous justifierez votre r´ eponse.

8. Donnez la dimension du (Z/pZ)-espace vectoriel M (p) pour p

∈ {3,

5, 7, 11}.

Exercice 4 : Donnez la liste de tous les groupes commutatifs de cardinal 72 ` a isomorphisme pr` es.

Vous justifierez votre r´ eponse.

1

(2)

Exercice 5 :

Dans cet exercice, A est un anneau commutatif unitaire, M est un A-module, et u

∈

End

A

(M ).

1. Rappelez pourquoi End

_A

(M ) est un A-module.

2. On suppose que M est un A-module noeth´ erien. Rappelez la d´ efinition d’un module noeth´ erien.

Rappelez la d´ efinition d’un anneau noeth´ erien. En consid´ erant la suite des sous-modules Ker(u

ⁿ

) de M , montrez que si u est surjectif alors il est injectif.

3. Donnez un exemple d’un A-module noeth´ erien M et d’un endomorphisme u

∈

End

A

(M ) qui soit injectif mais non surjectif (on pourra prendre M = A = Z ).

4. Soit M le A-module A

^(N)

. Rappelez la d´ efinition pr´ ecise de A

^(N)

. Montrez que M n’ est pas noeth´ erien.

5. Soit M le A-module A

⁽^N⁾

. Montrez que l’endomorphisme u : M

→

M qui ` a la suite a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . . associe la suite a

₁

, a

₂

, . . . est surjectif mais pas injectif.

6. Soit A = Z et soit M le A-module Q/Z. Montrez que l’application u : M

^//

M

z

^//

2z.

est surjective mais pas injective. Le module M est il noeth´ erien ? Le module M est il de type fini ?

Exercice 6 : Soit A = R [x] l’anneau de polynˆ omes ` a coefficients r´ eels.

1. Expliquez rapidement pourquoi A est un anneau principal.

2. Quelles sont les unit´ es de A ? Vous justifierez votre r´ eponse.

3. Montrez que tout polynˆ ome unitaire de degr´ e 1 dans R [x] est un ´ el´ ement irr´ eductible de R [x].

4. Donnez une condition n´ ecessaire et suffisante pour qu’un polynˆ ome unitaire de degr´ e 2 dans R [x] soit un ´ el´ ement irr´ eductible de R [x].

5. D´ ecrivez l’ensemble des ´ el´ ements irr´ eductibles de A = R [x] ` a association pr` es. On rappelle que deux ´ el´ ements irr´ eductibles sont dits associ´ es si le second est le produit du premier par une unit´ e.

6. Donnez la factorisation en produits d’irr´ eductibles de A des polynˆ omes suivants : a

₁

(x) = x

⁴

+x

³

, a

₂

(x) = x

⁵−

2x

³

+ x, a

₃

(x) = x

⁶

+ x

⁵

+ x

⁴

, a

₄

(x) = x

⁶−

2x

³

+ 1.

7. On considre le A-module

M = (A/a

₁

A)

⊕

(A/a

₂

A)

⊕

(A/a

₃

A)

⊕

(A/a

₄

A).

Quels sont les diviseurs ´ el´ ementaires de M ? Quels sont les facteurs invariants de M ? Quelles sont les composantes p-primaires de M ?

8. Pour tout polynˆ ome irr´ eductible P(x) dans R [x] on note M (P (x)) =

{v∈