∀E ∈ R , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈] − ∞, A[∩I : f (x) > E

1.

(Eexo129.tex)

√ 1 e

2.

(Eexo228.tex)

∀E ∈ R , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈] − ∞, A[∩I : f (x) > E

3.

(Ecalcloc19.tex)

1 2

4.

(Ecalcloc64.tex)

1 5.

(Ecalcloc138.tex)

|x| ^x = 1 − (x + 1) + o(x + 1).

6.

(Ecalcloc65.tex)

e ⁻

¹⁶

7.

(Ecalcloc111.tex)

g(y) = y − 1

6 y ² + o(y ² ) 8.

(Ecalcloc129.tex)

− ^{√ 1}

3 . 9.

(Ecalcloc103.tex)

e ^−a + xe ^−a ln 1 − b 2 + o(x) 10.

(Eexo125.tex)

oui car √

x + 1 − √

x −−→ ^+∞ 0 11.

(Ecalcloc53.tex)

f minor´ ee.

12.

(Ecalcloc54.tex)

f major´ ee.

13.

(Ecalcloc44.tex)

−5!

14.

(Ecalcloc110.tex)

ln 3 + 4

3 (x − 1) + o(x − 1) 15.

(Eexo6.tex)

x 2 16.

(Eexo13.tex)

1 2 + x

4 + x ² 8 + x ³

16 + o(x ³ )

17.

(Ecalcloc38.tex)

oui pour la direction asymptotique, non pour l’asymptote.

18.

(Eexo44.tex)

x + 1

3 x ³ + o(x ⁴ ) 19.

(Eexo101.tex)

1 20.

(Ecalcloc105.tex)

b < 1

21.

(Eexo209.tex)

1 22.

(Ecalcloc10.tex)

√ e 23.

(Ecalcloc114.tex)

g(y) = y − y ³ + o(y ⁴ )

24.

(Eexo231.tex)

∀E ∈ R , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈]A, +∞[∩I : f (x) > E

25.

(Ecalcloc128.tex)

(6 + 2 cos x)

¹³

= 2 − 1

12 x ² + o(x ² ).

26.

(Eexo117.tex)

non

27.

(Eexo211.tex)

√ e2 ⁿ

28.

(Eexo85.tex)

(x − 1) − 5

2 (x − 1) ² + o((x − 1) ² ) 29.

(Ecalcloc4.tex)

2 ²ⁿ

√ πn 30.

(Ecalcloc12.tex)

1

31.

(Ecalcloc73.tex)

4 e 32.

(Eexo196.tex)

2 ln 2

33.

(Ecalcloc45.tex)

√ 2 + 1

4

√

2 (x − 2) − 1 32

√

2 (x − 2) ² + o((x − 2) ² ) 34.

(Eexo106.tex)

1 + o(x ³ ) 35.

(Ecalcloc75.tex)

th x = x − 1 3 x ³ + 2

15 x ⁵ + o(x ⁶ ) 36.

(Ecalcloc9.tex)

−x

37.

(Ecalcloc137.tex)

x ^x = 1 + (x − 1) + (x − 1) ² + o((x − 1) ² ).

38.

(Eexo184.tex)

−3 39.

(Eexo88.tex)

π

2 − x − 1

6 x ³ + o(x ⁴ ) 40.

(Ecalcloc97.tex)

3

2 − ² ₃ = ⁵ ₆ 41.

(Ecalcloc43.tex)

0

42.

(Eexo24.tex)

1 + 1 2 x − 1

8 x ² + 1

16 x ³ + o(x ³ ) 43.

(Ecalcloc11.tex)

1

44.

(Ecalcloc118.tex)

arctan(1 + u) = π 4 + 1

2 u − 1

4 u ² + o(u ² ) 45.

(Ecalcloc127.tex)

− ln p

p + ln q q

(x − 1) 46.

(Ecalcloc94.tex)

x ^p (1 + x) ^q − x ^q (1 + x) ^p ∼ (q − p)x ^p+q−1 47.

(Ecalcloc30.tex)

4 + 6(x − 1) + 4(x − 1) ² + (x − 1) ³

48.

(Ecalcloc58.tex)

1 + 1 2 x − 1

8 x ² − 1

48 x ³ + o(x ³ ) 49.

(Ecalcloc131.tex)

f

g tend vers 0 en a.

50.

(Ecalcloc63.tex)

0

51.

(Eexo230.tex)

∀E ∈ R , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈]A, +∞[∩I : f (x) < E

52.

(Eexo83.tex)

+∞

53.

(Eexo198.tex)

2 ln 2 + 3 ln 3 = ln 108 54.

(Eexo70.tex)

1 − (x − 1) + (x − 1) ² + o((x − 1) ² ) 55.

(Ecalcloc48.tex)

y = x − 1 56.

(Eexo133.tex)

1

57.

(Ecalcloc52.tex)

f major´ ee.

58.

(Eexo45.tex)

1 −

√ 2 2

√ 1 − x + o( √ 1 − x) 59.

(Eexo218.tex)

6

60.

(Eexo199.tex)

(x − 1) ln 108 61.

(Ecalcloc29.tex)

faux.

62.

(Ecalcloc5.tex)

S 2

63.

(Ecalcloc115.tex)

a = ρ − 1 − x b = 1

2 ρ − (1 + x) ² 64.

(Eexo210.tex)

2 ⁿ .

65.

(Eexo223.tex)

∀ε > 0 , ∃α > 0 tel que ∀x ∈]a − α, a + α[∩I :

|f (x) − l| < ε 66.

(Ecalcloc89.tex)

x − 1 2 x ² + 1

6 x ³ + o(x ³ ) 67.

(Ecalcloc85.tex)

u − v → 0 ⇒ u ∼ v FAUX u ∈ O(v) ⇒ o(u) ∈ o(v) VRAI

u

v → l ∈ R ^∗ ⇒ u ∼ v FAUX

o(u)O(v) ∈ O(uv) VRAI

68.

(Ecalcloc119.tex)

La fonction est impaire.

arcsin 2x

1 + x ² = 2x + o(x ² )

69.

(Eexo229.tex)

∀ε > 0 , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈]A, +∞[∩I :

|f (x) − l| < ε 70.

(Eexo213.tex)

1

ln n

71.

(Eexo226.tex)

∀ε > 0 , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈] − ∞, A[∩I :

|f (x) − l| < ε

72.

(Ecalcloc84.tex)

sin x − x ∼ − x ³ 6 sin x = x − x ³

6 + o(x ³ ) ln(sin x) = ln x − x ²

6 + o(x ² ) 73.

(Ecalcloc126.tex)

ln(1 + ch t) = t − ln 2 + 2e ^−t + o(e ^−t ) 74.

(Eexo214.tex)

1

75.

(Ecalcloc36.tex)

− 1

2 x + o(x) 76.

(Eexo16.tex)

1

77.

(Ecalcloc26.tex)

x << | ln x| ^x << | ln x| << x ^{ln x} 78.

(Eexo113.tex)

x ⁴ 8 79.

(Eexo29.tex)

−e ^−2x 80.

(Ecalcloc51.tex)

f minor´ ee.

81.

(Ecalcloc116.tex)

a = ρ − 1 − x b = −ρ 82.

(Eexo131.tex)

π

4

83.

(Ecalcloc16.tex)

−2e ^−2x 84.

(Eexo20.tex)

− ln 2 + o(x ³ )

85.

(Ecalcloc82.tex)

√

a 2 86.

(Eexo93.tex)

x ³ 6 87.

(Ecalcloc109.tex)

3 + 4(x − 1) + 3(x − 1) ² + o((x − 1) ² ) 88.

(Ecalcloc112.tex)

1 + x + o(x ⁴ ) 89.

(Ecalcloc88.tex)

1 + x − 1 2 x ² − 1

2 x ³ + o(x ³ ) 90.

(Eexo118.tex)

oui

91.

(Eexo19.tex)

1 − 1 2 x ² + 5

24 x ⁴ + o(x ⁴ )

92.

(Eexo79.tex)

cos x ∼ ch x ∼ e ^x sin x ∼ sh x ∼ tan x ln x ∼ ln x + cos x ∼ ln x + x 93.

(Ecalcloc72.tex)

y − y ² + 2y ³ + o(y ³ ) 94.

(Ecalcloc59.tex)

e − e

2 x + o(x) 95.

(Eexo42.tex)

1 + 1

2 x ² + o(x ² ) 96.

(Eexo23.tex)

−x

97.

(Ecalcloc92.tex)

(n ⁿ ) _n∈N

∗

n´ egligeable devant a ^(b

ⁿ

⁾

n∈N

^∗

98.

(Eexo89.tex)

− x ⁴ 8 99.

(Eexo132.tex)

− 1 4x

100.

(Eexo227.tex)

∀E ∈ R , ∃A ∈ R tel que ∀x ∈] − ∞, A[∩I : f (x) < E

101.

(Ecalcloc47.tex)

1 − x + 1

2 x ² + o(x ² ) 102.

(Ecalcloc22.tex)

3e ^−x

103.

(Eexo102.tex)

+∞

104.

(Ecalcloc62.tex)

x + e ^−x − 1

2 e ^−2x + o(e ^−2x ) 105.

(Ecalcloc74.tex)

2 e 106.

(Eexo8.tex)

x e

107.

(Ecalcloc108.tex)

Les propri´ et´ es (a), (d), (e) sont vraies.

108.

(Ecalcloc55.tex)

e − ex + 4

3 ex ² + o(x ² ) 109.

(Ecalcloc34.tex)

(k + 1) + k(k + 1)

2 (x − 1) + o(x − 1)

110.

(Ecalcloc20.tex)

√

3(π ² − 9) 18x 111.

(Ecalcloc91.tex)

y = y(0) + o(x) 112.

(Ecalcloc14.tex)

x

113.

(Ecalcloc101.tex)

e ^ab + e ^ab a ² (1 − b ² ) 2x + o( 1

x ) 114.

(Ecalcloc121.tex)

f (x) = x − 1 2 x ² + 1

6 x ³ + o(x ³ ) g(y) = y + 1

2 y ² + 1

3 y ³ + o(y ³ )

115.

(Eexo224.tex)

∀A ∈ R , ∃α > 0 tel que ∀x ∈]a−α, a +α[∩I : f (x) < A

116.

(Ecalcloc117.tex)

La limite est 0 avec pour d´ eveloppement (b 1 + · · · + b p ) − (a 1 + · · · + a p )

x + o( 1

x ) 117.

(Ecalcloc41.tex)

oui pour la direction asymptotique : − →

j mais pas d’asymptote.

118.

(Ecalcloc27.tex)

x − 1 2 √

2 119.

(Eexo15.tex)

x + ¹ ₃ x ³ + o(x ³ ) 120.

(Eexo104.tex)

non

121.

(Eexo216.tex)

1 3 n ⁻

²³

122.

(Ecalcloc7.tex)

ln 2

123.

(Ecalcloc102.tex)

e ^a + xe ^a ln 1 + b 2 + o(x) 124.

(Ecalcloc57.tex)

x − 1 2 x ² + 1

2 x ³ + o(x ³ ) 125.

(Ecalcloc37.tex)

− 1

2 x + o(x ² ) 126.

(Eexo17.tex)

oui 0.

127.

(Eexo49.tex)

1 128.

(Ecalcloc25.tex)

ln x << x << x ^{ln x} << (ln x) ^x 129.

(Eexo94.tex)

cos x ∼ cos x + √

x ∼ (1 + x ² ) ⁽ 1 x ) tan x ∼ sin x ∼ arcsin x

cos x − 1 ∼ x ⁴ − x ² 2 130.

(Eexo22.tex)

1+o(x)

131.

(Eexo10.tex)

tan x ∼ sin x ∼ x + 1 2 x

³²

1 + x ∼ e ^x ∼ cos x − sin x ∼ 1 + x ∼ e ^x + √

x

− 1

1 + cos x sin ² x ∼ cos x − 1 ∼ (x ² − x) th x

1 + e ^x

132.

(Ecalcloc66.tex)

1 133.

(Eexo14.tex)

ln 2 134.

(Ecalcloc78.tex)

e ^x

√ 1 + x = 1 + 1 2 x + 3

8 x ² + o(x ² ) 135.

(Ecalcloc81.tex)

ln 3e ^x + e ^−x

= 2 ln 2 + 1 2 x + 3

8 x ² + o(x ² ) 136.

(Ecalcloc123.tex)

f(x) = 1 2 x ² − 1

6 x ³ + o(x ³ ) 137.

(Ecalcloc13.tex)

2

√ x−1

138.

(Eexo32.tex)

1 x − x

6 + o(x ² ) 139.

(Eexo100.tex)

−x − 1 2 x ² − 1

3 x ³ + o(x ³ )

140.

(Ecalcloc28.tex)

√

x − 1 2 √

2 ∼ x − 1 4 √

2

141.

(Ecalcloc49.tex)

Il existe des r´ eels a et b tels que, en +∞, f (x) = ax + b + o(1)

142.

(Ecalcloc86.tex)

u − v → 0 ⇒ u − v ∈ O(u) FAUX u ∈ O(v) ⇒ o(u) = o(v) FAUX

u

v → l ∈ R ^∗ ⇒ o(u) = o(v) VRAI

o(u)O(v) ∈ O(uv) VRAI

143.

(Eexo37.tex)

ln 2 144.

(Ecalcloc46.tex)

1 + 1

e (x − e) − 1

2e ² (x − e) ² + o((x − e) ² ) 145.

(Ecalcloc83.tex)

1 e ²

146.

(Eexo225.tex)

∀A ∈ R , ∃α > 0 tel que ∀x ∈]a −α, a+α[∩I : f (x) > A

147.

(Eexo90.tex)

1 x ² − 1

x ³ + o( 1 x ⁴ ) 148.

(Eexo43.tex)

2x ² + 2

3 x ⁶ + o(x ⁶ ) 149.

(Ecalcloc122.tex)

f(x) = x − 1 2 x ² + 1

6 x ³ + o(x ⁾ g(y) = y + 1

2 y ² + 1

3 y ³ + o(y ³ )

150.

(Ecalcloc1.tex)

( _n ³ ) 151.

(Eexo68.tex)

1 + x ²

2 + o(x ³ ) 152.

(Ecalcloc67.tex)

f ⁰⁰ (a)

153.

(Eexo27.tex)

1 x − x

6 + o(x ² ) 154.

(Eexo186.tex)

-1

155.

(Ecalcloc139.tex)

Z x

²

x

³

e ^−t

²

dt = x ² − x ³ + 1

3 x ⁶ + o(x ⁶ ).

156.

(Eexo185.tex)

1 157.

(Eexo99.tex)

1 − 1 2 x − 1

8 x ² + o(x ² ) 158.

(Eexo115.tex)

non

159.

(Ecalcloc2.tex)

e ² 160.

(Eexo122.tex)

en 0 : ∼ − 1 ln x en 1 : ∼ 2 en + ∞ : ∼ x ²

ln x 161.

(Ecalcloc135.tex)

arctan(2 sin x) = π 3 + 1

4 (x − π

3 ) + o((x − π 3 )).

162.

(Ecalcloc33.tex)

x + 1 2 x ² − 2

3 x ³ + o(x ³ ) 163.

(Eexo183.tex)

− x ⁴ 8 164.

(Eexo7.tex)

x

165.

(Eexo18.tex)

x − x ³

3 + o(x ³ ) 166.

(Ecalcloc133.tex)

1.1111 · · · = lim

n

X

k=0

10 ^−k

!

n∈N

= 1

1 − ₁₀ ¹ = 10 9 . 167.

(Eexo35.tex)

− x 2 168.

(Eexo217.tex)

√ 2 3

169.

(Ecalcloc68.tex)

Non ; une fonction admettant un

d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en 0 n’est pas forc´ ement

deux fois d´ erivable en 0.

170.

(Ecalcloc31.tex)

2 ln x + 1 x + 1

2x ² − 2 3x ³ + o

1 x ³

171.

(Ecalcloc39.tex)

oui pour la direction asymptotique et pour l’asymptote.

y = −x + ln 2 172.

(Eexo38.tex)

x

173.

(Eexo9.tex)

1 − 1 2 x ² + 3

8 x ⁴ + o(x ⁴ ) 174.

(Eexo112.tex)

1 x + x

6 + o(x ² ) 175.

(Ecalcloc90.tex)

1

2 x ² + o(x ² ) 176.

(Eexo81.tex)

−x ² + o(x ³ ) 177.

(Ecalcloc70.tex)

na ⁿ⁻¹ (a − x) 178.

(Ecalcloc107.tex)

3

179.

(Ecalcloc23.tex)

√

2 − 1 180.

(Eexo80.tex)

x − x ⁵

5! + o(x ⁵ ) 181.

(Eexo105.tex)

1 − x + x ² − x ³ + o(x ³ ) 182.

(Ecalcloc136.tex)

ln(1 + x + x ² ) = x + 1 2 x ² − 2

3 x ³ + 1 4 x ⁴ + 1

5 x ⁵ + o(x ⁵ ).

183.

(Eexo145.tex)

non 184.

(Eexo134.tex)

e ^−x 185.

(Ecalcloc99.tex)

cos(ln(cos x)) = 1 − 1

8 x ⁴ + o(x ⁴ ) 186.

(Ecalcloc69.tex)

7 180 x ³ 187.

(Eexo4.tex)

e

188.

(Eexo127.tex)

8 9

189.

(Ecalcloc120.tex)

1 − x ²

1 + x ² = −(x − 1) + 1

2 (x − 1) ² + o((x − 1) ² ) 190.

(Eexo103.tex)

0 191.

(Eexo33.tex)

1

192.

(Eexo124.tex)

1 2 e

√ n

193.

(Ecalcloc100.tex)

−3 194.

(Ecalcloc6.tex)

n ^p p!

195.

(Ecalcloc8.tex)

x 196.

(Ecalcloc79.tex)

ln ² (1 + x) = x ² − x ³ + o(x ³ ) 197.

(Eexo25.tex)

−x − 1 2 x ² − 1

6 x ³ 198.

(Ecalcloc42.tex)

2 ^(x

²

⁾ e ⁻

¹⁴

199.

(Ecalcloc24.tex)

√

2 − 1 200.

(Ecalcloc106.tex)

1 + 1

8 x ⁴ + o(x ⁴ ) 201.

(Eexo128.tex)

(e

ⁿ¹

− 1) ∼ ( 1 n ) (cos 1

n ) ∼ (e

¹ⁿ

) ∼ (e ^cos

^2n+1πn

) (ln n) ∼ (ln(n + √

n)),

202.

(Eexo197.tex)

2 ln 2(x − 1) 203.

(Eexo215.tex)

−2( 2 3 ) ⁿ 204.

(Ecalcloc124.tex)

f (x) = 1 − 1 2 x ² − 1

2 x ³ − 1

4 x ⁴ + o(x ⁴ ) 205.

(Ecalcloc61.tex)

1 − 1 x + 1

2x ² + o( 1 x ² )

206.

(Ecalcloc40.tex)

oui pour la direction asymptotique et pour l’asymptote.

y = x 2 − 1

4 207.

(Ecalcloc96.tex)

(1 + x ^p ) ^q ∼ 1 (1 + x ^p ) ^q − 1 ∼ qx ^p Comme p < q, px ^q est n´ egligeable devant qx ^p et

(1 + x ^p ) ^q − (1 + x ^q ) ^p ∼ qx ^p 208.

(Ecalcloc132.tex)

(1 + a 1 x)(1 + a 2 x) · · · (1 + a p x) = 1 +

p

X

k=1

a k

!

x + o(x)

n p

= 1

p! n ^p − 1

2 (p − 2)! n ^p−1 + o(n ^p−1 ).

209.

(Eexo130.tex)

0

210.

(Ecalcloc104.tex)

b > −1 211.

(Ecalcloc56.tex)

(x − 1) + 2(x − 1) ² + o((x − 1) ² ) 212.

(Ecalcloc60.tex)

x − 1

3 x ³ + o(x ⁴ ) 213.

(Ecalcloc18.tex)

0

214.

(Ecalcloc21.tex)

ln 3

215.

(Eexo123.tex)

d´ efinie dans ]1, +∞[

en 1 : ∼ x − 1 en + ∞ : ∼

√ x e

216.

(Ecalcloc113.tex)

ϕ(x) = −3x ³ + o(x ³ ) 217.

(Eexo36.tex)

x e 218.

(Ecalcloc95.tex)

(1 + x ^p ) ^q ∼ x ^pq (1 + x ^p ) ^q − x ^pq ∼ qx ^(q−1)p Comme (q − 1)p > (p − 1)q,

(1 + x ^p ) ^q − (1 + x ^q ) ^p ∼ qx ^(q−1)p 219.

(Eexo114.tex)

2x

π sin(ln π 2 ) 220.

(Ecalcloc3.tex)

( 3e ²

n ) 221.

(Ecalcloc80.tex)

sin x

x + x ² + x ³ = 1 − x − 1

6 x ² + o(x ² ) 222.

(Eexo72.tex)

1

x − 1 + o(x) 223.

(Ecalcloc125.tex)

e ^x et 1 e e ^(xe

^x

⁾ 224.

(Eexo110.tex)

x + 1

6 x ³ + o(x ⁴ ) 225.

(Ecalcloc15.tex)

x

226.

(Eexo86.tex)

0 (fonction paire) 227.

(Eexo273.tex)

1 2 − 1

8 √

x + o( 1

√ x ) 228.

(Eexo5.tex)

1 229.

(Ecalcloc98.tex)

x ⁴

230.

(Eexo87.tex)

oui 231.

(Eexo116.tex)

oui

232.

(Ecalcloc77.tex)

ln(ch x) = 1 2 x ² − 1

12 x ⁴ + o(x ⁴ ) 233.

(Ecalcloc71.tex)

y + 1 2 y ² − 5

6 y ³ + o(y ³ ) 234.

(Ecalcloc32.tex)

− 4 3x ³ 235.

(Ecalcloc134.tex)

e ^x = a + a(x − ln a) + a

2 (x − ln a) ² + o((x − ln a) ² ).

236.

(Eexo84.tex)

ln 2 237.

(Ecalcloc76.tex)

ln(cos x) = − 1 2 x ² − 1

12 x ⁴ + o(x ⁴ ) 238.

(Ecalcloc87.tex)

u − v → 0 ⇒ e ^u ∼ e ^v VRAI

u ∼ v ⇒ e ^u ∼ e ^v FAUX

u ∼ v ⇒ o(u) = o(v) VRAI u ∼ v

u → +∞

)

⇒ ln(u) ∼ ln v VRAI

239.

(Ecalcloc130.tex)

f

g localement born´ ee en a.

240.

(Eexo39.tex)

0 241.

(Eexo41.tex)

x − x ³

3 + o(x ³ ) 242.

(Ecalcloc35.tex)

1 + x + x ² + x ³ + o(x ³ ) 243.

(Eexo69.tex)

1

3

244.

(Eexo40.tex)

1 3

245.

(Eexo291.tex)

Elle converge ` a cause de la continuit´ e de la fonction exponentielle.

246.

(Eexo21.tex)

x − 1

3 x ³ + o(x ⁴ )