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La qualit´e de la r´edaction sera largement prise en compte

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Academic year: 2022

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(1)

Universit´e de Strasbourg S´egolen Geffray

M1 - Magist`ere Ann´ee 2014/2015

Statistique - ´etude de cas Lundi 11 mai 2015

Contrˆole continu

La dur´ee de l’´epreuve est 2h.

Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints et rang´es.

Les notes de cours (comme tout autre document) et les calculatrices ne sont PAS autoris´ees.

La qualit´e de la r´edaction sera largement prise en compte.

Rappels sur la fonction Gamma : Γ(u) =

Z

0

eyyu−1dy, u >0.

La fonction Γ(.) est c sur R∗+ et ses d´eriv´ees sont donn´ees par : Γ(k)(u) =

Z

0

(logy)keyyu−1dy, u >0.

En voici quelques valeurs remarquables :

Γ(1) = 1, Γ0(1) =−γ, Γ00(1) =γ22 6 Γ(2) = 1, Γ0(2) = 1−γ, Γ00(2) = (1−γ)22

6 −1 exprim´ees au moyen de la constante d’Euler not´eeγ :

γ =− Z

0

log(y)eydy≈0.577 215

Exercice 1.

Soit (X1, ..., Xn) un ´echantillon i.i.d. de variable parente X de loi de Gumbel d´efinie par sa fonction de r´epartition Fα,β, param´etr´ee par θ =

α β

avec α ∈ R et β > 0, de la fa¸con suivante :

Fα,β(x) = exp

−exp

−x−α β

, x∈R.

La loi de Gumbel est tr`es fr´equemment utilis´ee en hydrologie, par exemple pour mod´eliser le niveau maximal annuel de crue d’un fleuve.

1. V´erifier qu’il s’agit bien d’une fonction de r´epartition. Justifier l’existence d’une densit´e.

D´eterminer l’expression de cette densit´e. Le mod`ele est-il homog`ene ? Appartient-il `a la famille exponentielle ?

(2)

2. Calculer les quantit´es suivantes :

Eθ

"

X−α β

k#

pourk = 1,2,3,4 et Varθ

X−α β

.

3. D´eterminer l’estimateur deθ= α

β

par la m´ethode des moments. On noteraθen =

αen βen

cet estimateur.

4. Etudier son comportement asymptotique.

5. Montrer que l’estimateur du maximum de vraisemblance deβsatisfait l’´equation suivante :

n

X

i=1

(Xi−Xn+β) exp

−Xi β

= 0

en notant Xn = 1 n

n

X

i=1

Xi. Quelle est l’´equation satisfaite par l’estimateur du maximum de vraisemblance de α?

On notera θbn =

αbn βbn

l’estimateur du maximum de vraisemblance de θ.

6. Calculer pour k = 0,1,2 :

Eθ

"

X−α β

k

exp

−X−α β

# .

7. En admettant que le mod`ele est r´egulier, calculer la matrice d’information de Fisher (dans le mod`ele probabiliste `a une observation).

8. Que peut-on dire du comportement asymptotique de θbn si l’on sait trouver une solution au probl`eme d’optimisation du maximum de vraisemblance qui soit consistante pour θ (toujours en admettant que le mod`ele est r´egulier) ?

9. On se donne une probabilit´e p∈]0,1[ (par exemple 10−4). Proposer un estimateur de xp d´efini par la relation P(X > xp) =p. Justifier.

10. On consid`ere dans cette question le cas particulier o`uβ = 1.

(a) Le mod`ele est-il exponentiel ?

(b) D´eterminer une statistique exhaustive pour α dans le mod`ele `a n observations. Est- elle compl`ete ? minimale ?

(c) D´eterminer l’estimateur du maximum de vraisemblance de α not´e αbn. (d) Etudier son comportement asymptotique.

(e) Construire un intervalle de confiance bilat´eral sym´etrique asymptotique pour α au niveau de confiance 95%.

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