• Aucun résultat trouvé

(a) Établir que ∀n∈N et∀θ∈R,Pfn(cos(θ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "(a) Établir que ∀n∈N et∀θ∈R,Pfn(cos(θ"

Copied!
4
0
0

Texte intégral

(1)

Problème : « Probabilité » pour que deux entiers soient premiers entre-eux Dans ce problème N désigne un entier naturel supérieur à 2.

On notePN la probabilité uniforme sur [[1, N]]2. Le but de ce problème est de prouver que

N→+∞lim PN

(a, b)∈[[1, N]]2 / a∧b= 1

= 6 π2.

Ce résultat s’appelle le théorème de Cesàro et s’interprète comme « la probabilité que deux entiers soient premiers entre-eux vaut π62 ».

Partie I : Polynômes de Tchebychev de première espèce

On définit une suite de polynômes(Pn)n∈Nen posantP0= 1,P1=Xet∀n∈N,Pn+2= 2XPn+1−Pn. Ces polynômes sont appelés polynômes de Tchebychev de première espèce.

1. (a) CalculerP2 etP3.

(b) Déterminer le degré de Pn ainsi que son coefficient dominant.

2. (a) Établir que ∀n∈N et∀θ∈R,Pfn(cos(θ)) = cos(nθ).

(b) En déduire les valeurs dePfn(1) etPfn0(1).

(c) Pourn∈N?, déterminer les racines réelles de Pn. Partie II : Calcul de ζ(2)

L’objectif de cette partie est d’établir la convergence et de calculer la limite de la suite (Sn) définie par

∀n∈N?, Sn=

n

X

k=1

1 k2.

1. (a) Réaliser, dansR(X), la décomposition en éléments simples de X(X1−1). (b) En déduire la valeur de la somme

n

X

k=2

1

k(k−1) et en déduire que ∀n∈N?,Sn62− 1n. (c) En déduire que la suite (Sn) converge. On note `sa limite.

2. On introduit Sn0 =

n

X

k=1

1 (2k−1)2.

(a) Former une relation exprimantS2n,Sn etSn0.

(b) En déduire que la suite (Sn0) converge et exprimer sa limite `0 en fonction de `.

3. Soientn∈N? et, pourk∈ {1,· · ·n},xk= cos(2k−1)π

2n

. (a) Montrer que PPn0

n =

n

X

k=1

1 X−xk. (b) En déduire que

n

X

k=1

1 1−cos(2k−1)π

2n

=n2, puis calculer la valeurs des sommes

n

X

k=1

1 sin2(2k−1)π

4n

et

n

X

k=1

1 tan2(2k−1)π

4n

.

1

(2)

(c) Montrer que∀x∈ 0,π2

,06sin(x)6x6tan(x).

(d) En déduire un encadrement de Sn0 puis les valeurs de`0 et`.

Partie No3 : Premiers résultats et le début des ennuis 1. Si A∈ P([[1, N]]2) alors que vaut PN(A)?

On pose définitivementA={(a, b)∈[[1, N]]2 / a∧b= 1} etpN = PN(A).

On notep1,· · ·, pk la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux àN. Pour 16i6k, on note Ui ={(a, b)∈[[1, N]]2 / pi diviseaetpi divise b}.

2. Montrer que

A=

k

\

i=1

Uic.

3. Soit16i6k. Combien y-a-il de multiples de pi dans[[1, N]]? En déduire la valeur dePN(Ui).

4. Les évènements U1,· · · , Uk sont-ils mutuellement indépendants ? 5. Montrer que le théorème de Cesàro revient à calculer pN = PN(A).

Expliquer pourquoi c’est le début des ennuis et justifier l’intérêt de montrer la formule de Poincaré généralisée dans la partie suivante.

Partie No4 : La formule de Poincaré généralisée Dans cette partie, on fixe E un ensemble fini et nun entier naturel non nul.

1. Donner la formule de Poincaré pour deux sous-ensembles deE.

2. SoitI une partie non vide de {1,· · ·, n+ 1}. Montrer que

— soit, I est une partie non vide de{1,· · · , n},

— soit, I ={n+ 1},

— soit, I =J∪ {n+ 1}, oùJ désigne une partie non vide de{1,· · ·, n}.

3. Établir la formule de Poincaré suivante :

SiA1,· · ·, An sont des sous-ensembles deE alors

n

[

i=1

Ai

= X

I⊂{1,···,n}

I6=∅

(−1)|I|+1×

\

i∈I

Ai

.

Partie No5 : La fonction de Möbius La fonction de Möbius est la fonctionµ:N? →Zdéfinie par

— µ(1) = 1.

— µ(p1× · · · ×pr) = (−1)r sip1, . . . , pr sont des nombres premiers deux à deux distincts.

— µ(n) = 0 sinon.

La fonction de Möbius est une fonction qui possède diverses propriétés et qui est utilisée dans différentes branches des mathématiques.

Nous montrons ici deux de ses propriétés qui seront utiles dans la suite.

2

(3)

1. Dans cette question, on prouve que X

d|n

µ(d) =

1 sin= 1 0 sin>2 . La somme portant sur tous les entiersdsupérieurs à1 et divisantn.

(a) Vérifier le résultat pour n= 1.

On supposen>2dans la suite de la question.

On noten=

k

Y

i=1

pαii la décomposition denen facteurs premiers.

(b) Montrer que

X

d|n

µ(d) =

k

X

j=0

k j

(−1)j

(c) Conclure.

2. Dans cette question, on démontre que la suiteu=

n

X

d=1

µ(d) d2

!

n>1

converge vers π62.

On rappelle1 que la suitev=

N

X

k=1

1 k2

!

N>1

converge vers π62. (a) En observant que, pour tout`>2, 1` 6R`

`−1 1

t dt, monter que, pour toutn>1,

n

X

`=1

1

` 61 + ln(n).

(b) Montrer de la même manière que la suite (Sn)définie par Sn=

n

X

k=1

1 k3/2 est majorée.

En déduire que cette suite converge. On note Ssa limite.

(c) Soitnun entier naturel non nul. Montrer que le nombre de diviseurs positifs denest majoré par2√

n.

(d) En exploitant que, π2

6 = lim

N→+∞ vN, montrer que, pour toutn>1,

π2 6 ×

n

X

d=1

µ(d) d2

!

= lim

N→+∞

N n

X

`=1

min(`,n)

X

d=dN`e

d|`

µ(d)

`2

 .

dxe désignant la partie entière supérieure àx, autrement dit le plus petit entier supérieur ou égal à x.

1. Cf partie No2

3

(4)

(e) Montrer que, pour tous N >n>2,

N n

X

`=1

min(`,n)

X

d=dN`e

d|`

µ(d)

`2

−1 =

nN

X

`=n+1

n

X

d=dN`e

d|`

µ(d)

× 1

`2.

(f) En déduire que, pour tousN >n>2,

N n

X

`=1

min(`,n)

X

d=dN`e

d|`

µ(d)

`2

−1

62S−2Sn.

(g) Montrer la propriété énoncée.

Partie No6 : Preuve du théorème de Cesàro On reprend les notations de la partie No3.

1. Montrer que

PN(A) = 1 + 1 N2

X

I⊂{1,···,k}

I6=∅

(−1)|I|× N

Q

i∈I pi

2

.

2. En déduire que

pN = 1 N2

N

X

d=1

µ(d) N

d 2

.

3. En observant que, pour tout16d6N, N12dN2 < N12

N

d

2

d12 60, montrer que

pN

N

X

d=1

µ(d) d2

62×ln(N) + 1

N .

4. Montrer le théorème de Cesàro.

* * * FIN DU SUJET * * *

4

Références

Documents relatifs

[r]

Le fait que l'aire d'une bande sphérique soit égale à sa projection sur le cylindre de même rayon implique qu'une répartition uniforme de la direction du

• Si on suppose le tube initialement vide (rempli d'air), la rotation du tourniquet (initialement immobile) pourrait commencer dès que du liquide entre à l'extrémité ; si

[r]

Le moment des poids des masses est nul par rapport

Car l’écoulement est irrotationnel.. Ce résultat

[r]

Tracer à l’aide de la calculatrice leur représentation graphique. Faire une conjecture sur les variations de la fonction puissance et la valeur