Propriétés d'une fonction arithmétique

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C ESÀRO

Propriétés d’une fonction arithmétique

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 3 (1884), p. 431-434

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P \ R M. E. CESARO.

J. Ayant décomposé />, de toutes les manières pos- sibles, en // nombres entiers, .r,, ,r², .r,^?. . . . , xⁱⁿ

(3)

( 43a posons

Cette fonction u jouit de curieuses propriétés, que nous allons énoncer, en laissant au lecteur le soin de chercher les démonstrations.

Nous supposons u,^^p=o, si n est inférieur à i, ou supérieur à p.

II. THÉORÈME. — Bp étant le pième des nombres de BernoulU, déjinis par V égalité sj mbolique

( B -+- \)t>—B/>= o,

on a

B „ = 1.2.3.../?[—!—- | ' \

pourvu que, après avoir développé le second membre par rapport aux puissances croissantes de w, on rem- place un par u,liP.

En d'autres termes,

Par exemple,

1 . 2 . 3 . 4

Or

TT-T = \ Wi 4-f" 1 0 ^ 2 , 4 — 2 ° ^3,V-^~ 35 W4 34

5'

i 1 1 i 3 2 . j o . J 4 - ^ * i l )

1 i 1 j

2 . 2 . 2 . 2

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par conséquent

III. S«?^ étant la somme des produits p à p, des premiers nombres naturels, on a symboliquement

Par exemple, pour p = 3, on trouve, après quelques transformations,

Si l'on ordonne S„}P par rapport aux puissances de /*, reconnaît que

1

JV. Si l'on pose

on reconnaît que est le coefficient de /?.

1 P

j \ — _i_ _ | _ _ _j_ _ — _ _f_ ,

' I 1.2 I . 2 . i 1.2.3.4

on a, symboliquement,

i -h A x

c'est-à-dire

3+ i ^ a + ^

7, 'X\ Tb D76O

V. On a

2 / 1 I I

P+--

On peut calculer les valeurs de la fonction u au

^//?«. de Mathémat., 3' série, t. III. (Septembre 1884.) 2&

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( 434 ) moyen de la relation

(n -^p)un p— (n ~hp — \)u,i,p-\-t-

On obtient ainsi le Tableau suivant :

" / l . V

uUp

1 2

1

1 4

1

7;

U2j>

O

1

1 3

«$b

U.

A 0

•

" 3 . / ;

O

~8

1

1 1

48

• ()

O

1 1 (<

1 6

o o o o

1 _ i 2

VI. Voici quelques autres propriétés de lafoiietion u :

i . > i . ' j t . 3

i . > i . *>. 3 i . >. 3 .

i . i . 3 . . . ( / > — i ) I T I

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