1. Car l’écoulement est irrotationnel. On a alorsÐ→v =ÐÐ→
grad(Φ) =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
∂ v 1∂r r
∂ v
∂ v∂θ
∂z 2. ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
irrotationnel→Ð→v =ÐÐ→
grad(Φ)
incompressible→divÐ→v =0 donc ∆Φ(M, t) =0
On propose de chercher une solution sous la forme Φ(r, θ) =f(r).g(θ). On donne l’expression d’un Laplacien en coor- données cylindriques :
∆Φ=1 r.∂
∂r(r.∂Φ
∂r) + 1 r2
∂2Φ
∂θ2 +∂2Φ
∂z2 3. ici
∂
∂r (r.dpartΦr) = ∂
∂r (r.f′.g) =r.f′′.g+f′.g
∆Φ=f′′.g+f′.g r + 1
r2.f.g′′=0 1
f.(r.f′+r2.f′′) = −g′′
g =K 4. (Ð→v .Ðu→θ)(∀rθ=0)= (Ð→v .Ðu→θ)(∀r,θ=α)=0. Or (Ð→v .Ðu→θ) = 1
r.f.g′ doncg′(0) =g′(α) =0.
Seule la forme sinusoïdale de la solution de l’ED peut permettre de vérifier ces conditions initiales, donc K >0. Alors g′′+K.g=0 admet comme solution g(θ) =λ.cos(k.θ) +µ.sin(k.θ)avec k=√
K.
5. ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
g′(0) =0 Ð→ µ=0
g′(α) =0 Ð→ sin(k.α) =0Ð→ k=n.π
α (n∈N∗) . Doncg(θ) =λ.cosn.π.θ α .
La seule valeur physiquement acceptable estn=1 car dans le cas contraire on aurait pour 0<θ<αla fonctiong′(θ) =0, ce qui voudrait dire que la composante radiale de la vitesse serait nulle en ces points. Ce résultat est incohérent. Par conséquent
g(θ) =λ.cosπ.θ α
6. On considère f(r) =λ.rβ dans l’équation différentielle vérifiée parf(r). On obtient alorsβ2= (π
α)2 soit β= π α. 7. Le potentiel des vitesses, à une constante près est donc
Φ=λ.r π
α .cosπ.θ α
On utilise alors la condition en(r=D, θ=0) où Ð→v .Ðu→r= −V0 ce qui donneλ= −V0
D π α−1 8. Ð→v = ∂ φ
∂r.Ðu→r+1 r
∂Φ
∂θ .Ðu→θ donne
Ð→v = −V0
D π α−1
.r π
α−1(cosπ.θ
α .Ðu→r−sinπ.θ
α .ÐÐÐ→utheta)
