I. Quelques propriétés de F = θ(f )

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/17

CCP Maths 1 PSI 2005 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Vincent Perrier (ENS Cachan) ; il a été relu par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) et David Lecomte (Université de Stanford).

Dans ce problème, on propose d’étudier l’endomorphisme deC⁰ défini par θ : f ∈C⁰7−→

F : x7→

Z ^x+1

x

f(t) dt

Peu d’outils d’algèbre linéaire sont nécessaires pour la résolution de ce problème.

En effet, l’endomorphismeθ est défini sur un espace vectoriel de dimension infinie, alors que la plupart des théorèmes au programme portent sur la dimension finie.

En revanche, il nécessite une bonne connaissance des principaux théorèmes d’analyse.

L’épreuve se compose de trois parties.

• Dans la première partie, on étudie des propriétés de F = θ(f), plus particu- lièrement sa monotonie, sa régularité, sa limite éventuelle en l’infini, ainsi que quelques propriétés de son graphe. Cette partie se termine par un exemple faisant intervenir une série de fonctions.

• Dans la deuxième partie, on étudie les éléments du noyau de θ. On montre également que tous les réels positifs sont valeurs propres de l’endomorphisme.

• Enfin, dans la troisième partie, on construit une suite de fonctions qui sont des vecteurs propres deθ associés à une même valeur propreλ.

La première partie ne pose pas de difficulté technique particulière, mais elle est relativement longue et demande de la rigueur dans la rédaction. L’étude de l’exemple, en particulier, demande des applications directes des théorèmes de régularité des suites de fonctions, et du théorème de convergence dominée, théorèmes qu’il est indis- pensable de maîtriser. Savoir traiter cette première partie en entier et correctement devrait être l’objectif à atteindre pour les élèves moyens. Les parties II et III sont plus difficiles et demandent davantage d’initiative. La question III.2.2, en particulier, demande de la dextérité dans les calculs impliquant des nombres complexes.

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Indications

I. Quelques propriétés de F =θ(f)

I.2.4 Montrer queFest constante et calculerF(0).

I.2.5 Montrer queFadmet la même limite quef en⁺∞.

I.4.1 Montrer que la série définissantf est normalement convergente surR. I.4.2 Calculer la valeur maximale det7→te^−kt² pour montrer la convergence nor-

male de la série dérivée.

I.4.3 Montrer que lim

t→+∞f(t) = 0.

I.4.5 Utiliser le théorème de convergence dominée.

I.4.6.2 MajorerFparf surR₊.

II. L’endomorphismeθ

II.1 Utiliser la question I.2.1.

II.2.3.2 Remarquer queWⁿ= Z ⁿ+1

n

ϕⁿ(t)

t² dtet en déduire quePWⁿest absolument convergente.

II.2.3.3 Montrer que la sérieP

Wⁿa le même comportement que la série harmonique P1/n.

III. Une suite de fonctions propres de l’endomorphismeθ

III.1.2 Pour étudierg aux bornes deI^k, poseru=t−2kπetv= (2k+ 1)π−t.

III.2.2 Calculer Z

h(t) dt en remarquant que Re e⁽^a⁺ⁱ^b⁾^t

= eâtcos (bt). Expliciter ensuite une condition sur K ∈ C pour que t 7→ eâtRe Keîbt

soit propor- tionnelle àh. Faire ensuite apparaîtregdans les deux expressions trouvées.

III.3 Manipuler les équations trouvées à la question précédente afin de faire appa- raître une équation sur g(b). Utiliser ensuite la question III.1.2 pour trouver une infinité de a^k et b^k tels que les t 7→ e^a^k^tcos (b^kt) soient des vecteurs propres de l’endomorphismeθassociés à une même valeur propre λ.

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I. Quelques propriétés de F = θ(f )

Certaines questions de cette partie peuvent sembler être très simples.

Cependant, il faut bien faire attention à en rédiger les réponses correctement.

Par exemple, avant de calculer la dérivée d’une fonction, on doitsystémati- quement préciser quef est bien dérivable.

Il est également très mal vu, par exemple, de confondre la fonction f avec l’image d’un élémentf(t)par cette même fonction.

I.1.1 Si la fonctionf est définie surRparf(t) = 1, alors

∀x∈R F(x) = Z ^x+1

x

1 dt= [t]^xx⁺¹=x+ 1−x= 1

d’où ∀x∈R F(x) = 1

I.1.2 Si la fonctionf est définie surRparf(t) =t^k, alors

∀x∈R F(x) = Z ^x+1

x

t^kdt= t^k⁺¹

k+ 1 ^x⁺¹

x

d’où ∀x∈R F(x) =(x+ 1)^k⁺¹−x^k k+ 1

I.2.1 Notons ϕ une primitive de f. Comme f est continue, ϕ est C¹. De plus, on peut écrire

∀x∈R F(x) =ϕ(x+ 1)−ϕ(x)

Par composition et addition de fonctionsC¹,FestC¹. En outre, on a

∀x∈R F^′(x) =ϕ^′(x+ 1)−ϕ^′(x)

d’où ∀x∈R F^′(x) =f(x+ 1)−f(x)

I.2.2 Supposons que f soit croissante sur un intervalle[x0;⁺∞[. Alors

∀x>x0 f(x+ 1)>f(x)

d’où ∀x>x0 F^′(x) =f(x+ 1)−f(x)>0 doncFest croissante sur[x0;⁺∞[. On en déduit

f croissante sur[x0;⁺∞[ =⇒ Fcroissante sur[x0;⁺∞[ On montre de même que

f décroissante sur[x0;⁺∞[ =⇒ Fdécroissante sur[x0;⁺∞[

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I.2.3 La fonctionFétantC¹, on a

F constante ⇐⇒ ∀x∈R F^′(x) = 0

⇐⇒ ∀x∈R f(x+ 1) =f(x)

d’où F constante ⇐⇒ f ∈C⁰

1

I.2.4 Si f est définie surRparf(t) =|sin (πt)|, alors

∀t∈R f(t+ 1) =|sin (π(t+ 1))|

=|sin (πt+π)|

=|−sin (πt)|

=|sin (πt)|

f(t+ 1) =f(t)

On en déduit que f appartient à C₁⁰, donc que Fest constante d’après la question I.2.3. Par ailleurs,

F(0) = Z 1

0

|sin (πt)| dt

= Z 1

0

sin (πt) dt

cart7→sin (πt)est positive sur[ 0 ; 1 ]; d’où F(0) =

−cos (πt) π

1

0

= 2 π Fétant constante, on en déduit

∀t∈R F(t) = 2 π

Les valeurs absolues posent souvent des problèmes à de nombreux étu- diants. Bien souvent, la seule chose à connaître sur la valeur absolue est sa définition :

• siv >0alors|v|=v

• et siv <0alors|v|=−v

Ensuite, pour manipuler |v|, on est bien souvent amené à étudier deux cas, selon que v >0, ou que v 60. Par exemple, pour calculer l’intégrale de|f| sur un intervalle I, on commence par déterminer les sous-intervalles I^k de I sur lesquels

∀t∈I^k f(t)>0 et on note A =∪I^k. On peut ensuite écrire

Z

I

|f|= Z

A

|f|+ Z

IrA

|f|

= Z

A

f− Z

IrA

f