Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attribution d’une note.

Universit´ e Claude Bernard Lyon 1

M1 EADM – G´ eom´ etrie

Corrig´ e de l’examen du 6 janvier 2012

Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attribution d’une note.

Les questions. – Les questions sont ind´ ependantes les unes des autres.

Chaque question rapporte 2 points.

1.– Montrer qu’une ´ equation polaire d’une ellipse d’excentricit´ e e et de dis- tance foyer-directrice h est donn´ ee par ρ = eh

1 + e cos θ .

R´ep.– Soit M un point de coordonn´ees polaires (ρ, θ). On a, dans le rep`ere ´evident (d’origine le foyerF) :

−−→F M =

ρcosθ ρsinθ

et −−→

M K=

h−ρcosθ 0

o`uK est le projet´e orthogonal de M sur la directrice. Ainsi F M =eM K ⇐⇒ F M²−e²M K²= 0

⇐⇒ ρ²−e²(h−ρcosθ)²= 0

⇐⇒ (ρ−e(h−ρcosθ))(ρ+e(h−ρcosθ)) = 0

⇐⇒ ρ= eh

1 +ecosθ ou ρ= −eh 1−ecosθ. Puisque ρ >0,on choisitρ= eh

1 +ecosθ.

2.– Montrer que les valeurs propres d’une matrice orthogonale sont de mod- ule 1.

R´ep.– SoitM une matrice orthogonale,λ∈Cune valeur propre etX un vecteur propre non nul. On a

M X=λX =⇒ ^tX^tM =λ^tX

=⇒ ^tX^tM M X=λλ^tXX avec^tM M =IdpuisqueM est orthogonale. Ainsiλλ= 1

3.– Le lieu des points C := {(x, y) ∈ R

| 4x

+ 4xy + y

+ 3x − y + 1 = 0}

est-il une ellipse ? Justifier.

R´ep.– La forme quadratique `a l’infini de f(x, y) = 4x²+ 4xy+y²+ 3x−y+ 1 est q(x, y) = 4x²+ 4xy+y².Cette forme s’´ecritq(x, y) =^tXQX avec

Q=

4 2

2 1

et X =

x

y

.

Un calcul imm´ediat montre que les valeurs propres deQsont 0 et 5.Ainsi,Cne peut ˆetre une ellipse.

4.– Soit N la normale (unitaire) principale d’une courbe plane γ param´ etr´ ee par la longueur d’arc. Montrer que

(s) = −k(s)T (s) o` u T (s) = γ

(s).

R´ep.– En d´erivant la relation hN(s), N(s)i= 1 on obtienthN⁰(s), N(s)i= 0.Il existe donc une fonctionαtelle queN⁰(s) =α(s)T(s).En d´erivant la relationhN(s), T(s)i= 0 on obtienthN⁰(s), T(s)i=−hN(s), T⁰(s)i.OrT⁰(s) =k(s)N(s) par d´efinition de la courbure et de la normale principale. Par cons´equent α(s) = hN⁰(s), T(s)i =−k(s) et finalement N⁰(s) =−k(s)T(s).

5.– Montrer que l’h´ elico¨ıde, c’est-` a-dire la surface param´ etr´ ee f : [0, 2π] × R −→ R

(u, v) 7−→ (v cos u, v sin u, u) est une surface r´ egl´ ee.

R´ep.– En effet, pour tout (u, v) ∈ [0,2π]×R, on a f(u, v) = α(u) + vβ(u) avec α(u) = (0,0, u) etβ(u) = (cosu,sinu,0).

Le probl` eme. – (10 pts) On note D = {z ∈ C | |z| < 1} le disque unit´ e ouvert et f

l’application

f

: D −→ D z 7−→ az + b

bz + a

o` u a et b sont deux nombres complexes tels que |a|

− |b|

= 1.

1) Montrer que l’application f

est bien d´ efinie sur D (i. e. qu’elle n’a pas de pˆ ole dans D).

R´ep.– En effet −^a

b

<1 entraˆıne|a|²<|b|²soit encore|a|²−|b|²<0.Or, par hypoth`ese,

|a|²− |b|²= 1.

2) Montrer que pour tout z ∈ D on a

|f(z)|

< 1.

En d´ eduire que l’application f

pr´ eserve bien D i. e. f

(D) ⊂ D.

R´ep.– On a

|f(z)|²=f(z)f(z) = az+b bz+a.az+b

bz+a = |a|²|z|²+|b|²+ (abz+abz)

|b|²|z|²+|a|²+ (abz+abz) or |a|²= 1 +|b|² ainsi

|f(z)|²= |b|²|z|²+|z|²+|b|²+ (abz+abz)

|b|²|z|²+ 1 +|b|²+ (abz+abz) et puisque|z|²<1 on obtient|f(z)|²<1.

3) Montrer que l’on a f

(D) = D et que f

est bijective. D´ eterminer l’in- verse de f

.

R´ep.– Soitw∈D.Un simple calcul montre que az+b

bz+a =w ⇐⇒ z= aw−b

−bw+a.

Ainsi z:=f_a,−b(w)∈D est tel quef_a,b(z) =w. Par cons´equent f_a,b(D) =D.Le calcul que l’on vient d’effectuer montre quefa,b est bijective d’inversef_a,−b.

4) Montrer que f

◦ f

= f

pour un certain couple (A, B) ∈ C

que l’on d´ eterminera. Montrer aussi que |A|

− |B|

= 1.

R´ep.– Un calcul direct montre queA=ac+bdetB =ad+bc.Ce calcul est facilit´e si on se souvient de son cours :fa,best la restriction surDd’une homographie dont la forme matricielle est

et la compos´ee des homographies revient `a multiplier les matrices. De mˆeme|A|²− |B|² est un d´eterminant et la propri´et´e de multiplicativit´e du d´eterminant permet d’´ecrire

|A|²− |B|²= (|a|²− |b|²)(|c|²− |d|²) = 1.

5) Soient O l’origine de C et w un point quelconque de D. Montrer qu’il existe f

telle que f

(O) = w. En d´ eduire que pour tout couple (z, w) de points de D, il existe f

telle que f

(z) = w.

R´ep.– On chercheaetbtels que w=fa,b(O) = b

a et |a|²= 1 +|b|².

Choisissons b=aw. On a alors 1 +|b|² = 1 +|a|²|w|² et le nombreadoit ˆetre choisi tel que |a|² = 1 +|a|²|w|², c’est-`a-dire |a|² = _1−|w|¹ ₂. En fin de compte, le couple (a, b) =

√ 1

1−|w|²,√ ^w

1−|w|²

convient. Soient maintenant f_a,b et f_c,d telles que f_a,b(O) = w et f_c,d(O) =z.Ainsif_c,d⁻¹(z) =f_c,−d(z) =O et doncf_a,b◦f_c,−d(z) =w.D’apr`es la question pr´ec´edente, cette compos´eef_a,b◦f_c,−d est de la formef_A,B avec|A|²− |B|²= 1.

6) Montrer que le d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 par rapport ` a u de f

s’´ ecrit au point z ∈ D :

f

(z + u) = f

(z) + u

(bz + a)

+ o(|u|).

En d´ eduire l’expression de la diff´ erentielle d(f

)

(u).

R´ep.– Ecrivons le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 par rapport `a u: f_a,b(z+u) = a(z+u) +b

b(z+u) +a

= (a(z+u) +b).(bu+bz+a)⁻¹

= a(z+u) +b bz+a .

1 + b

bz+au

⁻¹

= a(z+u) +b bz+a .

1− b

bz+au+o(|u|)

= az+b bz+a+ au

bz+a−az+b bz+a. b

bz+au+o(|u|)

= az+b

bz+a+a(bz+a)u

(bz+a)² −b(az+b)

(bz+a)²u+o(|u|)

= fa,b(z) +|a|²− |b|²

(bz+a)²u+o(|u|)

= f_a,b(z) + 1

(bz+a)²u+o(|u|).

Par cons´equent :d(fa,b)z(u) = u (bz+a)².

7) Montrer que

1 − |f

(z)|

= 1 − |z|

|(bz + a)

| .

R´ep.– On a

1− |f_a,b(z)|² = 1−

az+b bz+a

2

= (bz+a)(bz+a)−(az+b)(az+b) (bz+a)(bz+a)

= 1− |z|²

|bz+a|² et bien sˆur|bz+a|²=|(bz+a)²|.

8) Pour chaque point z ∈ D on d´ efinit une norme par

1

qui est appel´ ee norme hyperbolique de u au point z. On dit qu’une application f : D −→ D est une isom´ etrie pour la norme hyperbolique si

∀z ∈ D, ∀u ∈ C , kdf

(u)k

= kuk

. Montrer que f

est une isom´ etrie pour la norme hyperbolique.

R´ep.– On a

kd(fa,b)z(u)k_fa,b(z) = 1

1− |f_a,b(z)|²|d(fa,b)z(u)|

= |(bz+a)²|

1− |z|² |d(fa,b)_z(u)|

= |(bz+a)²| 1− |z|²

u (bz+a)²

= |u|

1− |z|²

= kukz.

Note.– Le disque D muni de la norme hyperbolique est appel´ e le disque de

Poincar´ e. Il joue un rˆ ole tr` es important en g´ eom´ etrie.