Universit´ e Claude Bernard Lyon 1
M1 EADM – G´ eom´ etrie
Corrig´ e du partiel du XX octobre 2010
Les documents et les calculettes sont interdits. Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction pour l’attribution d’une note.
Les questions. – Les questions sont ind´ ependantes les unes des autres.
Chaque question rapporte 2 points.
1.– Soient s
Det s
D0deux r´ eflexions planes d’axe deux droites D et D
0s´ ecantes en I. Soit θ l’angle ∠ 2(D, D
0). Montrer que s
D0◦ s
Dest la rotation de centre I et d’angle θ.
R´ep.– Soit M ∈E, N = sD(M) et M0 =sD0(N). On note −→u (resp.−→
u0) un vecteur directeur (non nul) deD(resp. deD0). Les droitesDetD0sont les bissectrices de (−−→
IM ,−→
IN) et (−→
IN ,−−→
IM0) respectivement. Donc
∠(−−→ IM ,−→
IN) = 2∠(−→u ,−→
IN) et ∠(−→
IN ,−−→
IM0) = 2∠(−→
IN ,−→ u0) Ainsi
∠(−−→ IM ,−−→
IM0) = 2∠(−→u ,−→ u0) =θ.
De plus,IM =IN =IM0 carsDetsD0 sont des isom´etries. Il en r´esultesD0◦sD=RI,θ.
2.– Soit f : E −→ E une isom´ etrie, F = F ix f, A ∈ E \ F, A
0= f(A), H l’hyperplan m´ ediateur de [A, A
0] et s
Hla r´ eflexion hyperplane d’hyperplan H. Montrer que F ix g o` u g = s
H◦ f contient F et A.
R´ep.– Notons queAest fixe pargpuisque sH(A0) =A.
Soit M ∈ F alors A0M0 = AM car f est une isom´etrie etA0M =AM car M est fixe.
DoncM est dans l’hyperplan m´ediateur de [A, A0], i. e.M ∈H.Mais alorsg(M) =M et M ∈F ix g.
3.– Soient n + 1 points A
1, ..., A
n+1formant un rep` ere affine de E. Soient
M et N deux points de E tels que, pour tout i ∈ {1, ..., n + 1}, M A = N A .
Montrer que M = N.
R´ep.– SiM etN´etaient distincts, alors les pointsAiseraient dans l’hyperplan m´ediateur de [M, N] ce qui contredirait l’ind´ependance affine des (n+ 1) points.
4.– Soit (ABC) un triangle non plat d’un plan orient´ e. Montrer que la somme des angles orient´ es (de fa¸con coh´ erente) est ´ egale ` a π mod 2π.
R´ep.– On a
S = ∠(−−→ AB,−→
AC) +∠(−−→ BC,−−→
BA) +∠(−→
CA,−−→ CB)
= ∠(−−→ AB,−→
AC) +∠(−−→ BC,−−→
BA) +∠(−→
AC,−−→ BC)
car−Id∈SO(2).D’o`u
S = ∠(−−→ AB,−→
AC) +∠(−→
AC,−−→
BC) +∠(−−→ BC,−−→
BA)
= ∠(−−→ AB,−−→
BA).
5.– Soient C un cercle de centre O et de rayon R, ∆ une droite coupant C en deux points distincts A et B. Montrer que h −−→
M A, −−→
M Bi = OM
2− R
2.
R´ep.– SoitC le point deC diam´etralement oppos´e `aB.On a h−−→
M A,−−→
M Bi = h−−→
M C,−−→
M Bi = h−−→
M O+−−→ OC,−−→
M O+−−→ OBi
= h−−→
M O−−−→ OB,−−→
M O+−−→
OBi = OM2−R2.
Le probl` eme. – (10 pts) Soit E un espace affine de dimension n ≥ 2.
1) Soient A, B et C trois points align´ es, A distinct de C, et − → u un vecteur non nul de la droite vectoriel −−−→
(AC). On rappelle que la mesure alg´ ebrique AB de (A, B ) est le r´ eel λ tel que −→
AB = λ − → u . Il d´ epend du choix de − → u mais le rapport vectoriel AB/AC lui n’en d´ epend pas. Montrer qu’une application affine conserve le rapport vectoriel.
R´ep.– Soient A, B et C les trois points align´es de l’´enonc´e, il existe k ∈ R tel que
−−→
AB=k−→
AC. Notons que kest la mesure alg´ebrique deAB pour le choix−→u =−→
AC.Bien sˆurAC= 1,si bien que
k=AB/AC.
Par lin´earit´e de −→ f ,−−−→
A0B0 =k−−→
A0C0 et comme pr´ec´edemment kest le rapportA0B0/A0C0. Le rapport vectoriel est donc bien conserv´e.
2) Soit H un hyperplan affine de E et − →
D une direction de droite telle que
−
→ H ⊕ − → D = − →
E . On rappelle que la projection sur D parall` element ` a − → H est l’application p : E −→ E telle que, pour tout M ∈ E, M
0= p(M ) ∈ D et
−−−→ M M
0∈ − →
H . Montrer que p est une application affine (on pensera ` a introduire un point interm´ ediaire O ∈ D).
R´ep.– On a
−−−−−−−→
p(M)p(N) =−−−→
M0N0=−−→
ON0−−−−→ OM0
Notons π : −→
E −→ −→
E la projection vectorielle sur −→
D parall`element `a −→
H . Par d´efinition d’une projection vectorielle, si−→v =−→
d +−→ h ∈−→
D⊕−→
H on aπ(−→v) =−→
d .Puisque
−−→OM =−−−→
OM0+−−−→
M0M
avec−−−→ OM0∈−→
D (carO etM0 sont dansD) et −−−→
M0M ∈−→
H (par d´efinition), il s’en suit que π(−−→
OM) =−−−→ OM0.
Au bilan
−−−−−−−→
p(M)p(N) =−−→
ON0−−−−→
OM0=π(−−→
ON)−π(−−→
OM) =π(−−→
M N).
Ainsipest affine et−→p =π.
3) Soit f : E −→ E une application affine, on suppose que − → f : − →
E −→ − → E est la projection vectorielle sur − →
D parall` element ` a − →
H . L’application f est-elle une projection affine ?
R´ep.– Pas n´ecessairement. Soit−→ d ∈−→
D un vecteur non nul etf =t−→
d ◦p.Alors−→ f =−→p maisf n’est pas une projection affine puisqu’elle est sans point fixe.
4) Soient H, H
0et H
00trois hyperplans parall` eles, D
1et D
2deux droites donc aucune n’est contenue dans un hyperplan parall` ele ` a H. Soient A
i= D
i∩ H, A
0i= D
i∩ H
0et A
00i= D
i∩ H
00, i = 1 ou 2. Montrer que
A
1A
001A
1A
01= A
2A
002A
2A
02.
R´ep.– Soitp:E−→Ela projection surD2parall`element `a−→
H .Cette projection envoie A1 surA2,A01surA02et A001 surA002. Puisquepest une application est affine,pconserve le rapport vectoriel et donc
A1A001
=A2A002 .
5) Soit B un point de D
1v´ erifiant l’´ egalit´ e A
1B
A
1A
01= A
2A
002A
2A
02. Montrer que B = A
001.
R´ep.– L’´egalit´e A1B
A1A01 = A2A002
A2A02 implique que
−−→A1B =A2A002 A2A02
−−−→A1A01.
De mˆeme, l’´egalit´e A1A001
A1A01 =A2A002
A2A02 implique que
−−−→A1A001 = A2A002 A2A02
−−−→A1A01.
La comparaisons de ces deux r´esultats conduit `a B=A001.
6) Soit ABC un triangle non plat et ∆ une droite du plan (ABC) ne passant pas par les sommets et coupant (BC), (CA) et (AB) respectivement en P, Q, R. Soit enfin B
0intersection de la droite (AC) avec la parall` ele ` a ∆ passant par B. Montrer que
a) RA
RB = QA QB
0, b) P B
P C = QB
0QC , c) P B
P C · QC QA · RA
RB = 1.
R´ep.– a) C’est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme de Thal`es (question 4) b) Idem
c) On a
P B P C ·QC
QA · RA RB =QB0
QC · QC QA· QA
QB0 = 1.
7) Si f et g sont deux applications affines, montrer que −−→
f ◦ g = − →
f ◦ − → g .
R´ep.– On noteM0=g(M) etN0 =g(N).On a
−−−−−−−−−−−−→
f◦g(M)f◦g(N) =−−−−−−−−→
f(M0)f(N0) =−→ f(−−−→
M0N0) =−→
f(−−−−−−−→
g(M)g(N)) =−→
f(−→g(−−→
M N)).
Ainsi−−→
f◦g=−→ f ◦ −→g .
8) D´ emontrer que h est une homoth´ etie affine de rapport k (6= 1) ssi − → h est une homoth´ etie vectorielle de mˆ eme rapport
1. En d´ eduire que si h
1et h
2sont deux homoth´ eties de E de rapport k
1et k
2respectivement et si k
1k
26= 1 alors h
1◦ h
2est une homoth´ etie de rapport k
1k
2.
R´ep.– On a
−−−−−−−→
h(M)h(N) =−−−−−−−−−−−−−−−−−→
(Ω +k−−→
ΩM)(Ω +k−−→
ΩN) =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
(Ω +k−−→
ΩM)(Ω +k−−→
ΩM +k−−→
M N) =k−−→
M N .
Donc−→
h est une homoth´etie vectorielle de rapport k.
R´eciproquement, si−→
h est une homoth´etie vectorielle de rapportk(6= 1) alorsha n´ecessairement un point fixe unique. En effet, soitO∈E un point quelconque, la relation de Grassmann s’´ecrit
h(M) =h(O) +−→ h(−−→
OM) =O0+k−−→
OM =O0+k−−→
OO0+k−−−→ O0M
d’o`u
−−−−→
O0M0=k−−→
OO0+k−−−→ O0M . AinsiM est point fixe dehssi
−−−−→
O0M =k−−→
OO0+k−−−→
O0M ⇐⇒ −−−→ O0M = k
1−k
−−→OO0.
On note Ω ce point fixe. Si on ´ecrit de nouveau la relation de Grassmann, on obtient cette fois
h(M) =h(Ω) +−→ h(−−→
ΩM) = Ω +k−−→
ΩM l’applicationhest donc une homoth´etie de rapportket de centre Ω.
La d´eduction est imm´ediate. On a en effet
−−−−→
h1◦h2=−→ h1◦−→
h2=k1k2Id.
Puisquek1k26= 1,h1◦h2est une homoth´etie et son rapport est celui de−−−−→
h1◦h2, c’est-`a-dire k1k2.
1. Conventionnellement, l’identit´e n’estpasune homoth´etie.
9) On se propose de retrouver le r´ esultat du 6) c) en introduisant trois ho- moth´ eties du plan (ABC) judicieusement choisies. Soit h
1l’homoth´ etie de centre R et de rapport RA
RB , h
2l’homoth´ etie de centre Q et de rapport QC QA et h
3l’homoth´ etie de centre P et de rapport P B
P C . a) Montrer que h
3◦ h
2◦ h
1(∆) ⊂ ∆.
b) Montrer que h
3◦ h
2◦ h
1n’est pas une homoth´ etie.
c) En d´ eduire que P B P C · QC
QA · RA RB = 1.
R´ep.– a) La droite ∆ contient les trois centres des trois homoth´eties, donch=h3◦h2◦h1
pr´eserve ∆.
b) On a h1(B) = A, h2(A) = C, h3(C) = B et donc h3◦h2◦h1(B) = B. Or B n’est pas dans ∆ par hypoth`ese, par cons´equent h3◦h2◦h1 ne peut ˆetre une homoth´etie sur (ABC).
c) D’apr`es les questions 7 et 8, le produit des rapports P B P C ·QC
QA · RA
RB des homoth´eties h1,h2 eth3 vaut n´ecesairement 1 car sinonhserait une homoth´etie.
