Universit´e Paris-Dauphine Ann´ee universitaire 2016-2017 Deuxi`eme ann´ee du DE MI2E Probabilit´es multidimensionnelles et th´eor`emes limite
1. Vous ˆetes vivement invit´e `a lire le sujet dans son int´egralit´e avant de commencer `a composer.
2. Si, au cours de l’´epreuve, vous rep´erez ce qui vous semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, vous le signalez sur la copie et poursuivez l’examen en expliquant les raisons des initiatives que vous ˆetes amen´e `a prendre.
3. Seules les r´eponses soigneusement justifi´ees seront prises en compte.
4. Un point pourra ˆetre attribu´e en plus ou en moins suivant la qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation.
5. Les notes de cours, les calculatrices ainsi que tous autres documents ou dispositifs ´electroniques sont interdits.
Exercice 1.Dans chacune des deux situations donn´ees plus bas, comment placer 20 boules dont 10 sont noires et 10 sont blanches dans deux urnes de mani`ere `a maximiser la probabilit´e de tirer une boule blanche dans l’exp´erience suivante :on choisit d’abord une urne au hasard, chaque urne ayant mˆeme probabilit´e d’ˆetre tir´ee puis on tire une boule dans l’urne choisie
1. Premi`ere situation : on est contraints `a placer 5 boules dans une urne et 15 dans l’autre ;
2. Deuxi`eme situation : on n’a pas de contrainte sur le nombre de boules `a placer dans chaque urne.
Exercice 2.SoitX une variable al´eatoire de loiN(0,1). Pour touta >0 on pose Y(a)=X1|X|<a−X1|X|≥a.
1. Montrer que pour touta >0 la variable al´eatoireY(a) est de loiN(0,1) mais que pour touta >0 le couple (X, Y(a)) n’est pas un vecteur gaussien.
2. Montrer qu’il existeb >0 tel que 1
√2π Z b
0
t2e−t
2 2dt=1
4.
3. CalculerCov(X, Y(b)). Les variablesX etY(b)sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 3.SoientX1etX2deux variables al´eatoires ind´ependantes de loisN(0, σ21) etN(0, σ22). Montrer que (X1+X2)2 et (X1−X2)2 sont ind´ependantes si et seulement siσ12=σ22.
On rappelle que si U est une variable al´eatoire de loi N(0, a2)alorsE[U4] = 3a4.
Exercice 4.On consid`ere la densit´e de probabilit´e de la loi Γ(α, β) (α, β >0), d´efinie surRpar f(x) = βα
Γ(α)xα−1e−βx1R∗+(x).
1. Montrer que pour tousα, β >0 on a Γ(α) =βα
Z
R+
xα−1e−βxdx= Z
R+
xα−1e−xdx.
2. D´eduire de la question pr´ec´edente que pour toutα >0 on a Γ(α+ 1) =αΓ(α).
3. D´eduire de la question pr´ec´edente que pour tout entier n≥1 on a Γ(n) = (n−1)! (On rappelle que 0! = 1).
Soient U1 et U2 deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes. On suppose queU1 (resp.U2) est de loi Γ(α1, β) (resp. Γ(α2, β)) avec α1, α2, β >0.
4. CalculerE[U1].
5. Quelle est la loi de (S, T) o`uS=U1+U2 et T =UU1
1+U2? 1
6. Montrer queSetT sont ind´ependantes et calculer leurs lois respectives.A cette fin on rappelle que` la densit´e de la loi B(a, b)(a, b >0) est donn´ee par
g(x) = Γ(a+b)
Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−11]0,1[(x).
Soit (Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de mˆeme loi exponentielle de param`etre β >0, qui admetg(x) =βe−βx1R∗+(x) pour densit´e.
7. Quelle est la loi de Sn =X1+· · ·+Xn? On admettra que pour tout entier n ≥2 les variables al´eatoires X1+· · ·+Xn−1 etXn sont ind´ependantes.
8. Donner la limite en +∞de la suite (un)n≥1d´efinie par un=
Z nβ
0
βn
(n−1)!xn−1e−βxdx.
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