PCSI5
Lyc´ ee Saint Louis
Devoir maison ` a rendre le 29/09/15
DM1
La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies.
Exercice 1
1. Montrer, en utilisant ses variations, que la fonction ch r´ ealise une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle ` a pr´ eciser. On note argch (argument cosinus hyperbolique) sa r´ eciproque.
2. Donner le domaine de d´ erivabilit´ e de argch et montrer que, sur ce domaine, argch
0(x) = 1
√
x
2− 1 .
3. Dresser le tableau de variation de la fonction argch. Tracer sur un mˆ eme dessin les courbes repr´ esentatives de ch et argch.
4. (a) Calculer argch(2) (r´ esoudre ch(x) = 2).
(b) Exprimer la fonction argch ` a l’aide de fonctions usuelles (R´ esoudre ...).
5. Montrer que la fonction sh r´ ealise une bijection de R sur un intervalle ` a pr´ eciser. On note argsh sa r´ eciproque. Montrer que la fonction argsh est impaire, puis l’´ etudier de la mˆ eme fa¸ con que argch.
Exercice 2
On d´ efinit la fonction tangente hyperbolique, not´ ee th, par :
∀x ∈ R , th(x) = sh(x) ch(x) .
1. Faire l’´ etude compl` ete de la fonction th et tracer sa courbe repr´ esentative.
2. (a) Montrer que la fonction th r´ ealise une bijection de R sur un intervalle ` a pr´ eciser. On note argth sa r´ eciproque. Montrer que argth est impaire.
(b) Exprimer la d´ eriv´ ee de th en fonction de th. Montrer que argth est d´ erivable et calculer sa d´ eriv´ ee. Donner son tableau de variation et sa courbe repr´ esentative.
(c) Exprimer argth ` a l’aide de fonctions usuelles.
1
