PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

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Devoir surveill´ e du 21/11/15

DS3

La calculatrice est interdite. Dur´ ee: 3h

La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Les r´ esultats doivent ˆ etre encadr´ es.

Exercice 1

1. D´ eterminer les racines carr´ ees de −48 + 14i. (On pourra utiliser : √

48 ² + 14 ² = 50).

2. D´ eterminer les racines cubiques de 1−i. On donnera leur expression sous forme trigonom´ etrique.

3. D´ eterminer les racines cubiques de −8i. On donnera leur expression sous forme trigonom´ etrique puis sous forme alg´ ebrique.

4. R´ esoudre l’´ equation (E ₁ ) d’inconnue z ∈ C :

z ² + (−1 + 9i)z − 8 − 8i = 0. (E ₁ )

5. On consid` ere l’´ equation (E 2 ) d’inconnue z ∈ C :

z ⁶ + (−1 + 9i)z ³ − 8 − 8i = 0. (E ₂ )

Donner la forme trigonom´ etrique des solutions de (E ₂ ).

Exercice 2

R´ esoudre l’´ equation suivante, d’inconnue x ∈ R :

arccos x = 2 arccos 3 4 .

Exercice 3

Les questions 1,2 et 3 de cet exercice sont ind´ ependantes.

1. Calculer Z 3

1

dx

x ² − 5x + 7 puis Z 3

1

x + 1

x ² − 5x + 7 dx (on donnera les r´ esultats sous forme simplifi´ ee).

2. Calculer l’int´ egrale Z e

1

sin(ln(x))dx ` a l’aide d’un changement de variable.

3. R´ esoudre y ⁰⁰ + 2y ⁰ + y = cos ² (t).

Exercice 4

Soit m ∈ R . R´ esoudre, en utilisant le pivot de Gauss-Jordan, le syst` eme d’inconnues x, y, z ∈ R :







x + y − 2z = 0 x + 2my − 4mz = 1 − 2m

mx + y − mz = 1.

On pr´ ecisera l’ensemble des solutions obtenu.

1

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Probl` eme 1

On s’int´ eresse ici ` a la r´ esolution sur I =]0, +∞[ de l’´ equation diff´ erentielle : y ⁰⁰ − 2x

1 + x ² y ⁰ + 2

1 + x ² y = (1 + x ² ) ln x. (E )

On notera (E ₀ ) l’´ equation homog` ene associ´ ee.

I Calculs pr´ eliminaires :

1. (a) Montrer qu’il existe des r´ eels (a, b, c) ∈ R ³ tel que

∀x ∈ R ^∗ + , 1

x(x ² + 1) = a

x + bx + c 1 + x ² . (b) En d´ eduire une primitive de f : I → R , x 7→ 1

x(x ² + 1) . 2. Donner une primitive de g : I → R , x 7→ (1 − x ² ) ln x.

3. Donner une primitive de h : I → R, x 7→ x ln x.

II R´ esolution de l’´ equation sans second membre : 1. Montrer que y 1 : x 7→ x est solution de (E 0 ).

2. Soit y : I → R deux fois d´ erivable, on pose z : I → R , x 7→ ^y(x) _x .

Montrer que y est solution de (E ₀ ) si et seulement si z ⁰ est solution de l’´ equation diff´ erentielle (E ⁰ ) xu ⁰ + _1+x ²

u = 0.

3. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle (E ⁰ ).

4. Donner l’ensemble des solutions de (E ₀ ).

III R´ esolution de l’´ equation :

1. On cherche une solution particuli` ere de (E) sous la forme y <sub>P</sub> : x 7→ λ(x)x + µ(x)(x <sup>2</sup> − 1) o` u λ et µ sont deux fonctions deux fois d´ erivables de I dans R v´ erifiant

∀x ∈ I , xλ ⁰ (x) + (x ² − 1)µ ⁰ (x) = 0.

(a) Exprimer y ⁰ _P et y ⁰⁰ _P en fonction de λ et µ.

(b) Montrer que y _P est solution de (E) si et seulement si

pour tout x ∈ I, λ ⁰ (x) + 2xµ ⁰ (x) = (x ² + 1) ln x

.

(c) D´ eterminer λ ⁰ et µ ⁰ ` a l’aide des questions pr´ ec´ edentes puis en d´ eduire une solution partic- uli` ere de (E).

2. Donner l’ensemble des solutions de (E ).

2

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Probl` eme 2

On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle non lin´ eaire du premier ordre :

y ⁰ (x) − |y(x)| = 2e ^−x (E ) On d´ esire r´ esoudre cette ´ equation sur R , i.e. trouver les fonctions y, d´ efinies et d´ erivables sur R , telles que (E) est v´ erifi´ ee pour tout x ∈ R.

Pour cela, on introduit les deux ´ equations diff´ erentielles suivantes :

y ⁰ (x) − y(x) = 2e ^−x (E + )

et

y ⁰ (x) + y(x) = 2e ^−x . (E − )

1. (a) D´ eterminer toutes les solutions y 1 de (E + ) sur R.

(b) D´ eterminer toutes les solutions y 2 de (E − ) sur R . 2. Supposons que f soit une fonction solution de (E) sur R.

(a) Montrer que f est strictement croissante sur R . (b) Montrer que f n’est pas strictement positive sur R.

(c) Montrer que f n’est pas strictement n´ egative sur R .

(d) En d´ eduire que f s’annule une, et une seule fois, sur R en un r´ eel que l’on notera α.

Pr´ eciser une ´ equation de la tangente, en x = α, ` a la courbe repr´ esentative de f . 3. Montrer que les solutions de (E) sur R sont exactement les fonctions de la forme

x 7→

2(x − α)e ^−x si x ∈] − ∞, α[

(e ^2(x−α) − 1)e ^−x si x ∈ [α, +∞[

o` u α est un r´ eel.

3