PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

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Suites num´ eriques

TD10

Limites de suites

Exercice 1

D´ eterminer les limites des suites suivantes, n ∈ N − {0, 1}, x ∈ R : a) u n = √

n + 1 − √ n

b) u n = n ³ + 5n 5n ³ + cos(n) + _n ¹

c) u n = a ⁿ − b ⁿ

a ⁿ + b ⁿ , (a, b) ∈ ( R ^∗ + ) ²

d) u _n = 1 n ²

n

X

k=1

bkxc

e) u _n =

2n+1

X

k=1

√ 1 n ² + k f) u n =

n

X

k=1

√ 1 n ² + k

g) u n = p

2 + (−1) ⁿ h) u n =

1 + x n

ⁿ

i) u n = (ln n) ^1/n j) u _n =

sin 1

n ^{1/ ln n}

Exercice 2

Montrer que : ∀x ∈ R , | sin(x) − x| ≤ x ²

2 . En d´ eduire lim

n→+∞

n

X

k=1

sin k

n ²

.

Exercice 3

Soit (u n ) une suite r´ eelle telle que : ∀n ∈ N , u n ∈ Z . Montrer que (u n ) converge si et seulement si (u n ) est stationnaire.

Exercice 4 (Moyenne de C´ esaro)

Soit (u _n ) _{n∈ N} ∈ R ^N . On pose pour tout n ∈ N ^∗ , v _n = 1 n

n

X

k=1

u _k .

1. Montrer que si (u _n ) _{n∈ N} est monotone, alors la suite (v _n ) _{n∈ N} est monotone et de mˆ eme sens que (u _n ) _{n∈ N} . 2. (a) Montrer que si (u _n ) _{n∈ N} converge vers 0, (v _n ) _{n∈ N} aussi. Que pensez-vous de la r´ eciproque ?

(b) Montrer que si (u _n ) _{n∈ N} converge vers une limite l ∈ R , (v _n ) _{n∈ N} aussi.

(c) Montrer que si lim(w n+1 − w n ) = 0, alors lim ^w _n

= 0. Donner un exemple d’une telle suite qui ne soit pas convergente.

Exercice 5 (R` egle de D’Alembert) Soit (u _n ) _{n∈ N} ∈ ( R ^∗ + ) ^N . On suppose que

u _n+1 u n

n∈ N

converge vers une limite l.

1. Si l < 1, montrer que (u n ) _n∈N converge vers 0.

2. Si l > 1, monter que (u n ) _n∈N diverge vers +∞.

3. Que dire quand l = 1 ?

Exercice 6

Soit A une partie non vide et major´ ee de R , et soit M ∈ R un majorant de A. Montrer l’´ equivalence : M = sup(A) ⇔ ∃(a n ) ∈ A ^N , M = lim a _n .

1

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Exercice 7

Soit (u n ) une suite born´ ee.

a) Montrer que l’on peut poser pour tout n ∈ N , v _n = sup{u _k |k ≥ n} et w _n = inf{u _k |k ≥ n}.

b) Montrer que les suites (v n ) et (w n ) sont convergentes.

c) Montrer que la suite (u _n ) est convergente si et seulement si lim v _n = lim w _n .

Suites implicites

Exercice 8

Soient n ∈ N , I _n =]nπ − ^π ₂ , nπ + ^π ₂ [ et (E) l’´ equation tan x = x.

1. Soit n ∈ N . Montrer que l’´ equation (E) admet une unique solution x n dans I n . 2. D´ eterminer la limite de (x _n ) _{n∈ N} , et montrer que 1

nπ x _n −→

n→+∞ 1.

3. Montrer qu’il existe (v _n ) _{n∈ N} qui converge vers 0 telle que x _n = nπ + ^π ₂ + v _n pour tout n ∈ N .

Exercice 9

a) Montrer que pour tout n ∈ N , l’´ equation x ³ + nx = 1 admet une unique solution r´ eelle. On note u _n cette solution.

b) Montrer que la suite (u n ) est strictement d´ ecroissante.

c) En d´ eduire qu’elle converge et calculer sa limite.

Exercice 10

a) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , l’´ equation x + x ² + · · · + x ⁿ = 1 admet une unique solution r´ eelle dans l’intervalle [0, +∞[. On note x n cette solution.

b) Montrer que la suite (x n ) est monotone, puis convergente, et calculer sa limite.

Suites extraites

Exercice 11

a) Soit u n = sin(nπ/4) + cos(nπ/2). Est-elle convergente ? b) Mˆ eme question pour la suite v n = sin(nπ/3) + ¹ _n .

Exercice 12

Soit (u n ) _n∈N ∈ R ^N telle que les suites (u 2n ) _n∈N , (u 2n+1 ) _n∈N et (u 3n ) _n∈N convergent. Montrer que (u n ) _n∈N converge.

Exercice 13

On dit qu’une suite est p´ eriodique si ∃p ∈ N ^∗ , ∀n ∈ N , u _n+p = u _n . Montrer que toute suite r´ eelle p´ eriodique et convergente est constante.

Exercice 14

1. Soit (u n ) une suite r´ eelle monotone admettant une sous-suite convergente. Montrer que la suite (u n ) est convergente.

2. Soit (u n ) une suite non born´ ee. Montrer qu’il existe une sous-suite de (u n ) qui tend vers l’infini.

2

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Suites adjacentes

Exercice 15

Soit (a, b) ∈ R ² tels que 0 < a < b. On pose u ₀ = a, v ₀ = b et :

∀n ∈ N , u n+1 = √

u n v n , v n+1 = u n + v n

2 .

1. Montrer que : ∀n ∈ N , 0 < u n < v n . 2. Montrer que : ∀n ∈ N , v _n − u _n ≤ 1

2 ⁿ (v ₀ − u ₀ ) 3. Montrer que (u n ) et (v n ) sont adjacentes.

Exercice 16

Soit pour tout n ∈ N ^∗ , H n =

n

X

k=1

1

k , u n = H n − ln n et v n = H n − ln(n + 1).

On se propose de montrer de calculer de deux fa¸ cons la limite de H n en +∞.

1. (a) Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , 1 n + 1 ≤ ln

n + 1 n

≤ 1 n . (b) Montrer que les suites (u n ) _n∈N

et (v n ) _n∈N

sont adjacentes.

(c) En d´ eduire l’existence de γ ∈ R et d’une suite (w n ) _n∈N

qui converge vers 0 tels que pour n ∈ N ^∗ ,

n

X

k=1

1

k = ln n + γ + w n (γ est appel´ ee constante d’Euler).

(d) Quelle est la limite de H n en +∞ ? (e) D´ eterminer la limite de

2n

X

k=n

1 k

!

n∈N

.

2. (a) Montrer que : ∀n ∈ N ^∗ , H _2n − H _n ≥ 1 2 (b) En d´ eduire que lim

n→+∞ H _n = +∞.

Suites r´ ecurrentes

Exercice 17

Donner le terme g´ en´ eral des suites d´ efinies par : a) u 0 = 0 et : ∀n ∈ N , u n+1 = 1

3 u n + 2. b) u 0 = 1 et : ∀n ∈ N , u n+1 = −u n + 4.

Exercice 18

Donner le terme g´ en´ eral et ´ etudier la convergence des suites d´ efinies par (u ₀ , u ₁ ) ∈ R ² et pour tout n ∈ N : a) u n+2 = u n+1 − 1

4 u n ; b) u n+2 = u n+1 − 1

2 u n ; c) u n+2 = 1

2 (u n+1 + u n ).

Exercice 19

Etudier les suites d´ ´ efinies par : a) ∀n ∈ N , u n+1 = 2u n (1 − u n ) ; b) u 0 = 1/2 et ∀n ∈ N , u n+1 = 1

3 (4 − u n ) ;

c) ∀n ∈ N , u n+1 = u n e ^−u

et u 0 = 1 ; d) ∀n ∈ N , u _n+1 = ln(1 + 2u _n ) et u ₀ ∈ R .

3

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Exercice 20

Soit (u n ) _n∈N la suite d´ efinie par r´ ecurrence par u 0 = 2 et u n+1 = 1 2

u n + 2

u _n

. 1. Montrer que u _n existe et u _n ≥ √

2 pour tout n ∈ N . 2. Montrer que ∀n ∈ N , |u _n+1 − √

2| ≤ |u n − √ 2| ²

2 .

3. En d´ eduire que ∀n ∈ N , |u n − √

2| ≤ 1

2 ²

⁻¹ et donner la limite de (u n ) n∈ N . 4. Combien de termes de la suite faut-il calculer pour avoir une approximation de √

2 ` a 10 <sup>−100</sup> pr` es ?

Exercice 21

Soient x > 1, (u n ) n∈ N et (v n ) n∈ N d´ efinies par r´ ecurrence par u 0 = x, v 0 = 1 et ∀n ∈ N , u n+1 = ¹ ₂ (u n + v n ), v _n+1 = _u ^2u

^v

n

+v

.

1. Montrer que (u _n ) _{n∈ N} et (v _n ) _{n∈ N} sont bien d´ efinies et ` a termes > 0.

2. Montrer que ∀n ∈ N , u n ≥ v n .

3. Montrer que (u n ) _n∈N et (v n ) _n∈N convergent vers la mˆ eme limite.

4. Montrer que la suite (u n v n ) _n∈N est constante. En d´ eduire la valeur de la limite commune ` a (u n ) _n∈N et (v n ) _n∈N .

Suites complexes

Exercice 22

Etudier la convergence des suites complexes (z ´ n ) d´ efinies par :

1. pour tout n ∈ N , z _n = x _n + iy _n avec (x ₀ , y ₀ ) ∈ R ² et pour tout n ∈ N , x _n+1 = 1

2 (x _n − y _n ) et y _n+1 = 1

2 (x n + y n ).

2. pour tout n ∈ N , z n+1 = i 2 z n + 1.

Exercice 23

On consid` ere la suite complexe (z _n ) d´ efinie par z ₀ = re ^iθ (−π ≤ θ ≤ π) et :

∀n ∈ N , z _n+1 = z _n + |z _n |

2 .

On d´ esigne par r _n le module de z _n et par θ _n l’argument de z _n tel que −π ≤ θ _n ≤ π.

a) Effectuer la construction g´ eom´ etrique de z _n+1 ` a partir de z _n .

b) Exprimer r _n+1 et θ _n+1 en fonction de r _n et de θ _n , et en d´ eduire lim θ _n . c) ´ Etudier la suite u n = r n sin ₂ ^θ

, et en d´ eduire r n et lim r n , puis lim z n .

4