PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

Int´ egration

TD19

Propri´ et´ es de l’int´ egrale

Exercice 1

Soit (a, b) ∈ R ² tel que a < b. Soit f continue sur [a, b]. Montrer que :

Z b a

f

= Z b

a

|f | ⇔ f garde un signe constant sur [a, b].

Exercice 2

Soit f ∈ C ⁰ ([a, b]). Montrer que ∃c ∈ [a, b], f(c) = 1 b − a

Z b a

f.

Exercice 3

Soit f ∈ C ⁰ ([0, +∞[) telle que lim

x→+∞ f (x) = ` ∈ R . On d´ efinit F :







]0, +∞[→ R , x 7→ ¹ _x

Z x 0

f(t)dt.

Montrer que lim

x→+∞ F (x) = `.

Exercice 4

Soit f une fonction continue sur [0, 1] telle que Z 1

0

f (t)dt = 0 et Z 1

0

tf(t)dt = 0.

Montrer que f s’annule au moins deux fois sur ]0, 1[.

Exercice 5

Soit f une fonction continue sur [0, 1] ` a valeurs dans R telle que Z ₁

0

f (t) dt = 1

2 · Montrer que f admet au moins un point fixe dans [0, 1].

Exercice 6

Soit a et b deux r´ eels tels que a < b, et f et g deux fonctions continues sur [a, b] avec g positive.

a) Montrer qu’il existe un r´ eel c dans [a, b] tel que Z b

a

f (t)g(t) dt = f (c) Z b

a

g(t) dt.

b) Soit f continue au voisinage de 0.

(i) Calculer lim x→0 1 x

²

R x

0 tf(t)dt. (ii) Calculer lim x→0 R 2x x

f (t) t dt.

Exercice 7

Soit f une fonction continue et positive sur R + . On suppose qu’il existe un r´ eel k positif tel que :

∀x ∈ R ^∗ ₊ , f (x) ≤ k Z x

0

f (t)dt.

Montrer que f est nulle.

1

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis Exercice 8 (Lemme de Riemann-Lebesgue.)

Soit a et b deux r´ eels tels que a < b et f une fonction d´ efinie sur un segment [a, b] ` a valeurs dans R telle que pour tout n dans N , c _n (f ) =

Z b a

f (t)e ^−int dt soit d´ efinie.

a) Montrer que si f est de classe C ¹ sur [a, b], alors la suite (c n (f )) n∈ N converge vers 0.

b) ´ Etablir un r´ esultat analogue dans le cas o` u f est une fonction en escalier sur [a, b].

c) Peut-on ´ etendre ce r´ esultat au cas o` u f est une fonction continue sur [a, b] ?

Exercice 9 Soient I n =

Z 1 0

x ⁿ

1 + x dx et J n = Z n

0

x ⁿ e ^−nx dx. Montrer que (I n ) et (J n ) tendent vers 0.

Exercice 10

Soient 0 < a < b, d´ eterminer lim

n→+∞

Z b a

cos(nt ² )dt.

Exercice 11

Soit f une fonction continue et positive sur [a, b]. Pour tout n ∈ N ^∗ , on pose I n = Z b

a

f (x) ⁿ dx

_n¹

. Montrer que la suite (I _n ) converge vers M = sup

[a,b]

f (x).

Exercice 12

Pour tout n ∈ N, on pose I n = Z 1

0

x ⁿ sin(πx)dx.

a) Montrer que ∀n ∈ N , 0 ≤ I n ≤ 1

1 + n . En d´ eduire que (I n ) converge vers 0.

b) Trouver une relation de r´ ecurrence entre I n−2 et I n pour tout entier n ≥ 2.

c) D´ emontrer que l’on a :

∀p ≥ 0, I _2p = (−1) ^p 2(2p)!

π ^2p+1 +

p−1

X

k=0

(−1) ^k (2p)!

π ^2k+1 (2p − 2k)! .

Calcul de primitives et d’int´ egrales

Exercice 13

a) Soit f continue sur [a, b] telle que ∀x ∈ [a, b], f (a + b − x) = f(x). Montrer que Z b

a

xf (x)dx = a + b 2

Z b a

f (x)dx.

b) Application : Calculer Z π

0

x sin(x) 1 + cos ² (x) dx.

2

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis Exercice 14

D´ eterminer les primitives des fonctions suivantes : a) t 7→ t sin ³ t ;

b) t 7→ sin(ln t) ; c) t 7→ 1

t + t(ln t) ² ;

d) t 7→ 1 e ^t + 1 ; e) t 7→ ln t

√ t ; f) t 7→ 1

t ² (t + 1) ;

g) t 7→ t ⁴ + 1 t ³ − t ; h) t 7→ 1

t ³ − 1 ; i) t 7→ t + 1

t ² − t − 6 ;

Exercice 15 Calculer : a)

Z 1 0

x p

1 − x ² dx ;

b) Z 2

−1

x|x|dx ;

c) Z 1

0

e

√ x dx ;

d) I _n = Z e

1

t ⁿ ln(t)dx ;

e) Z 1/2

0

x ⁴

√

1 − x ² dx ; f)

Z 1 0

x arctan ² (x)dx.

Sommes de Riemann

Exercice 16

D´ eterminer les limites des suites de terme g´ en´ eral : a)

n

X

k=1

n n ² + k ² ;

b)

n

X

k=1

k n ² + k ² ;

c) 1 n

n−1

X

k=0

√

n

2 ^k ;

d) 1 n

n−1

X

k=0

1 1 + 3(k/n) .

e)

(2n)!

n ⁿ n!

¹_n

;

f)

n

Y

k=1

1 + k

n !

_n¹

;

Fonctions d´ efinies par une int´ egrale

Exercice 17

Soit f une fonction continue sur [0, 1]. On consid` ere la fonction F d´ efinie par :

∀x ∈ [0, 1], F (x) = Z 1

0

min(x, t)f (t)dt.

a) Montrer que F est de classe C ² .

b) Calculer F ⁰ et en d´ eduire que ∀x ∈ [0, 1], F (x) = R _x

0

R ₁

u f (t)dt

du.

Exercice 18

Sans calculer les int´ egrales correspondantes, d´ eterminer les limites suivantes : a) lim

x→0

Z x

−x

sin(t ² ) dt b) lim

x→+∞

Z 2x x

dt

(ln t) ² c) lim

x→0

Z 2x x

e ^t

t dt d) lim

x→+∞

Z 2x x

e ^1/t t dt

3

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis Exercice 19

On consid` ere pour tout x > 0, la fonction d´ efinie par : f (x) = Z 2x

x

cos(t) t dt.

a) ` A l’aide d’une int´ egration par parties, montrer que : ∀x > 1, |f (x)| ≤ 2

x . En d´ eduire la limite de f lorsque x → +∞.

b) D´ eterminer lim

x→0

⁺

f (x).

c) Montrer que f est d´ erivable sur R ^∗ + et calculer f ⁰ (x).

Exercice 20

Etudier les fonctions suivantes : ´ a) f (x) =

Z 2x x

e ^−t

²

dt (parit´ e, d´ erivabilit´ e, limites) ;

b) g(x) =

Z sin

²

(x) 0

arcsin( √ t)dt +

Z cos

²

(x) 0

arccos( √

t)dt (parit´ e, p´ eriode, d´ erivabilit´ e, d´ eriv´ ee, valeurs)

; c) h(x) =

Z 2x x

t ²

t ² + sin ² (t) dt (D _h , parit´ e, continuit´ e et d´ erivabilit´ e en 0, y = x asymptote).

Applications des formules de Taylor

Exercice 21

a) Montrer que pour tout x dans R + , x − x ²

2 ≤ ln(1 + x) ≤ x − x ² 2 + x ³

3 · b) Montrer que pour tout x dans [0, π/2], 1 − x ²

2 ≤ cos x ≤ 1 − x ² 2 + x ⁴

24 · Exercice 22

Soit x un r´ eel.

a) Montrer que sin x = lim

n→+∞

n

X

k=0

(−1) ^k x ^2k (2k)! · b) Montrer que cos x = lim

n→+∞

n

X

k=0

(−1) ^k x ^2k+1 (2k + 1)! · Exercice 23

Soit f de R dans R de classe C ² telle que f et f ⁰⁰ soient born´ ee. On pose M ₀ = sup _{x∈ R} |f (x)| et M 2 = sup _{x∈ R} |f ⁰⁰ (x)|.

a) ` A l’aide d’une formule de Taylor, montrer que :

∀x ∈ R , ∀h > 0, |f ⁰ (x)| ≤ 2M ₀

h + hM ₂ 2 . b) En d´ eduire que :

sup

x∈ R

|f ⁰ (x)| ≤ 2 p

M ₀ M ₂ .

4