Op´ erations matricielles

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

Calcul matriciel

TD12

Op´ erations matricielles

Exercice 1

R´esoudre l’´equation X²−2X =

−1 0

6 3

.

Exercice 2

On consid`ere l’ensemble suivant :

Z ={M ∈ M_n(K),∀A∈ M_n(K), AM =M A}.

a) Proposer deux matrices appartenant `a Z.

b) La matrice 1 0

0 2

appartient-elle `a Z ?

c) D´eterminer Z (On pensera `a utiliser les matrices ´el´ementaires Ei,j).

Exercice 3

On dit qu’une matriceA = (a_i,j) deM_n(R) est stochastique si pour tout (i, j) dans [|1, n|]², a_i,j est un r´eel positif et quePn

j=1ai,j = 1.

Soitλ∈[0,1]. Montrer que siAetB sont deux matrices stochastiques, alorsλA+ (1−λ)B etA×B sont stochastiques.

Exercice 4

Soit M = (mi,j)∈ M_n(K). On appelle trace deM, et on notetr(M) le nombre : tr(M) =

n

X

i=1

mi,i.

a) SoientA, B ∈ M_n(K), λ, µ∈K. Montrer que :

tr(λA+µB) =λtr(A) +µtr(B).

b) Montrer que tr(^tA) =tr(A) pour tout A∈ M_n(K).

c) Montrer quetr(AB) =tr(BA) pour tout A∈ M_n(K).

d) SoientA∈ M_n(K) et P ∈GLn(K). Montrer que :

tr(P AP⁻¹) =tr(A).

Puissances d’une matrice carr´ ee

Exercice 5

Calculer Aⁿ pourn∈N avec :

1

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a) A= a b

0 a

,a, b∈R;

b) A= 0 1

2 0

;

c) A=

cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)

,θ∈R;

d) A=





3 2 3 0 3 4 0 0 3



.

Exercice 6

Soient (xn), (yn), (zn) trois suites r´eelles d´efinies parx0, y0, z0 ∈Ret :

∀n∈N,







x_n+1 = ²₃x_n+¹₆y_n+¹₆z_n yn+1 = ¹₆xn+²₃yn+¹₆zn

z_n+1 = ¹₆x_n+¹₆y_n+²₃z_n D´eterminerxn, yn etzn en fonction de n∈N,x0, y0 etz0.

Exercice 7 Montrer que A =





−9 7 3

−13 10 4

4 −3 −1



 est nilpotente et pr´eciser son ordre de nilpotence. En d´eduire (I₃+A)¹⁰ et l’inverse deI₃−A.

Op´ erations ´ el´ ementaires sur une matrice

Exercice 8

Soit la matrice A =









1 3 4 8

2 −1 1 2

−3 2 −1 −2

1 2 3 −3









. D´eterminer l’unique matrice R ´echelonn´ee r´eduite (en lignes) ´equivalente (par lignes) `a A. Expliciter la matrice E, produit de matrices d’op´erations

´

el´ementaires, telle queEA=R.

Exercice 9

Soit la matrice A=









1 −4 −3 −2 −2

2 −6 −6 −4 −2

−3 12 12 6 3

0 2 3 0 −1









. TransformerA avec des op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes pour obtenir une matrice J_r ∈ M_4,5(R). D´eterminer alors deux matrices U etV inversibles telles queU AV =Jr.

Matrices carr´ ees inversibles

Exercice 10 On pose :

A=





8 −1 2

7 0 2

−18 3 −4





a) CalculerA³−4A²+ 5A.

b) Montrer que A est inversible, et exprimerA⁻¹ en fonction de A²,A etI3.

2

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Exercice 11 Soit la matriceA=

3 2 1 1

.

a) Montrer que A est inversible et calculerA⁻¹.

b) Retrouver ce r´esultat en montrant que A²−4A+I₂= 0.

Exercice 12

D´eterminer l’inverse, s’il existe, des matrices suivantes :

A=





3 2 −1

1 −1 1

2 −2 1



 ; B =





−1 0 2

0 0 1

0 −1 1



 ; C =





1 −1 0

1 2 1

1 1 0



.

Exercice 13

D´eterminer si les matrices suivantes sont inversibles en discutant suivant le param`etre r´eel α et dans ce cas, calculer leur inverse :

a)

coshα sinhα sinhα coshα

b)





α 1 1

1 α 1

1 1 α



 c)





1 2 1

1 1 1 +α 1 1 −α²



.

Exercice 14

On consid`ere les matrices :

A=





0 −1 1

1 2 −3

1 1 −2



 et P =





1 1 0

1 −1 1

1 0 1



.

a) Montrer que P est inversible et calculerP⁻¹.

b) Calculer la matrice D=P⁻¹DP ainsi que Dⁿ pour toutn∈N. c) En d´eduireAⁿ pour toutn∈N.

d) Mˆemes questions avec les matrices :

A=





3 4 −4

−2 −1 2

−2 0 1



 et P =





1 0 −1

0 1 1

1 1 1



.

Exercice 15

On consid`ere les matrices A=

−1 2

−4 5

, D= 1 0

0 3

, P = 1 1

1 2

. 1. Montrer queP est inversible et que P⁻¹=

2 −1

−1 1

. 2. V´erifier que A=P ·D·P⁻¹.

3. Montrer queAⁿ=P·Dⁿ·P⁻¹ pour toutn∈N.

3

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4. On consid`ere les suites (un) et (vn) d´efinies par u0, v0 ∈R et :

∀n∈N,

un+1 = −u_n+ 2vn

v_n+1 = −4u_n+ 5v_n On pose pour toutn∈N,Xn=

u_n vn

. Montrer que pour toutn∈N,X_n+1 =AX_n.

En d´eduire, pour tout n∈N, (u_n) et (v_n) en fonction de u₀ etv₀ et de n.

Etudier le comportement de ces deux suites.

5. On consid`ere deux fonction d´efinies sur Ret `a valeurs r´eelles x ety d´erivables surR. On suppose quex ety v´erifient le syst`eme diff´erentiel suivant :

x⁰ = −x+ 2y y⁰ = −4x+ 5y On poseX =

x y

etX⁰= x⁰

y⁰

.

On d´efinit deux fonctionsx1, y1 :R→RparX1 = x1

y₁

etX1=P⁻¹·X. On poseX₁⁰ = x⁰₁

y₁⁰

Montrer queX₁⁰ =D·X1.

En d´eduire deux ´equations diff´erentielles v´erifi´ees par x1 ety1, puis d´eterminer les fonctionsx1

ety₁, et en d´eduire les solutionsx ety du syst`eme de d´epart.

4