Lyc´ ee Saint Louis

PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis

Primitives

TD5

Exercice 1

D´ eterminer une primitive des fonctions suivantes et pr´ eciser le domaine de validit´ e : 1. x 7→ e

cos 2x

2. x 7→ ln(x) x 3. x 7→ x √

1 − x

4. x 7→ cos

(x) 5. x 7→ e

√ 1 + e

6. √

x(1 − x) 7. x 7→ arcsin x 8. x 7→ x arctan x 9. x 7→ x

ln x o` u α ∈ R 10. x 7→ sin(ln x)

11. x 7→ x

cos(x)

12. x 7→ 1 x

− 3x + 2 13. x 7→ 1

x

+ 1 14. x 7→ 1

x

+ 1 15. x 7→ x

(x

− 4)

Exercice 2

A l’aide d’un changement de variable, d´ eterminer une primitive des fonctions suivantes et pr´ eciser le domaine de validit´ e :

1. x 7→ x

(x

+ 1)

2. x 7→ 1

chx 3. x 7→ 1

(1 + x) √ x 4. x 7→ e

√x

5. x 7→ 1 e

(e

+ 1)

6. x 7→ 3 x

r x − 1

x + 1 (poser u =

r x − 1 x + 1 ) 7. x 7→ 1

tan x + 1 (poser u = tan(x))

Exercice 3

Calculer les primitives des fonctions suivantes : x 7→ sin x

sin x + cos x et x 7→ cos x sin x + cos x Exercice 4

Soit α ∈ C avec a = Re(α), b = Im(α). Montrer que Z dt

t − α = 1

2 ln((t − a)

+ b

) + i arctan

t − a b

+ K (K ∈ C ).

Exercice 5

Calculer les int´ egrales suivantes : 1.

Z

2

0

r arcsin t 1 − t

dt 2.

Z

2

0

cos

(t) sin

(t)dt

3.

Z

−1

(t

+ t + 1)e

dt

4.

Z

−1

(t

− 1)ch(t)dt

5.

Z

dt 2t

+ 2t + 1 6.

Z

dt e

+ 1

1

PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis Exercice 6

On chercher ` a calculer l’int´ egrale : I = Z

2

π 3

1

sin(t) + tan(t) dt.

1. En effectuant le changement de variable u = cos t, montrer que l’on peut ´ ecrire I = Z

α

R(u)du o` u R est une fraction rationnelle.

2. En d´ eduire la valeur de l’int´ egrale I .

Exercice 7

En posant t = tan(x/2), calculer les int´ egrales suivantes : 1.

Z

2

0

dx

2 + cos(x) 2.

Z

2

0

dx

2 − sin(x) 3.

Z

4

0

dx

sin(x) − cos(x) + √ 2

Exercice 8

Soit (I

)

la suite d´ efinie pour tout n ∈ N par I

= Z

1

(ln x)

dx.

1. Montrer que pour tout n ∈ N, I

= Z

0

t

e

dt.

2. Montrer que (I

)

converge et d´ eterminer sa limite.

3. Donner une relation de r´ ecurrence entre I

et I

. 4. En d´ eduire la limite de la suite (n × I

).

Exercice 9

On consid` ere la suite (I

) d´ efinie par :

∀n ∈ N , I

= Z

0

x

sin xdx 1. Etablir une formule de r´ ecurrence

2. En d´ eduire, pour tout p ∈ N , I

et I

sous forme de sommes.

Exercice 10

On consid` ere deux entiers naturels p et q et on pose I (p, q) = Z

0

t

(1 − t)

dt.

1. Etablir une relation de r´ ecurrence entre I (p, q) et I (p + 1, q − 1) lorsque q ≥ 1.

2. En d´ eduire I(p, q) en fonction de p!, q! et (p + q + 1)!.

3. En d´ eduire une expression factoris´ ee de

−

+

− · · · +

.

Exercice 11

Soient a < b ∈ R et f : [a, b] → R de classe C

telle que f

soit born´ ee sur [a, b].

Montrer que lim

n→+∞

Z

a

f (t) cos(nt)dt = 0 (Lemme de Riemann-Lebesgue).

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