PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

Programme de colle du 14 au 18 mars

Semaine 20

Cours.

Chapitre 16 : Polynˆ omes

I. Ensemble K [X].

(1) D´ efinitions.

(2) Degr´ e d’un polynˆ ome.

(3) Fonctions polynomiales.

II. Divisibilit´ e et division euclidienne dans K [X].

(1) Divisibilit´ e dans K [X].

(2) Division euclidienne dans K [X].

III. D´ erivation dans K [X].

IV. Racines d’un polynˆ ome.

(1) Racines.

(2) Ordre de multiplicit´ e des racines d’un polynˆ ome.

Chapitre 17 : Espaces vectoriels

I. Espaces vectoriels.

(1) G´ en´ eralit´ es.

(2) Espaces vectoriels de r´ ef´ erence.

(3) Combinaisons lin´ eaires.

II. Sous-espaces vectoriels.

(1) D´ efinition, exemples.

(2) Sous-espace vectoriel engendr´ e par une partie.

Questions de cours.

ˆ Degr´ e d’une somme et d’un produit (avec le lemme) ;

ˆ Division euclidienne dans K[X] ;

ˆ (X − a) ^r divise P ⇔ P(a) = P ⁰ (a) = · · · = P ^(r−1) (a) = 0 ;

ˆ (∀1 ≤ i ≤ n, a _i racine de multiplicit´ e au moins r _i de P ) ⇔ ((X − a ₁ ) ^r

. . . (X − a _n ) ^r

divise P ) ;

ˆ Intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels.

Pr´ evisions.

Espaces vectoriels de dimension finie.

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