1) D´ eterminer le domaine de d´ efinition naturel des fonctions d´ efinies par les formules suivantes f (x) =

Universit´ e Ren´ e Descartes - Paris 5 UFR de Math´ ematiques et Informatique 45, rue des Saints-P` eres 75270 Paris cedex 06

Licence 1` ere ann´ ee, 2012-2013, Math´ ematiques et Calcul 1 (MC1)

Feuille de TD n ^◦ 3 : Limites - Continuit´ e

Exercice 1

1) D´ eterminer le domaine de d´ efinition naturel des fonctions d´ efinies par les formules suivantes f (x) =

r 1 + 2x

4 − 3x , g(x) = p

x ² + 3x − 4, h(x) = ln (2x + 5)

2) Pour chacune des fonctions suivantes, d´ ecrire le domaine D de d´ efinition naturel, puis d´ etailler les op´ erations alg´ ebriques et les compositions en jeu pour justifier la continuit´ e de la fonction sur D.

a) f (x) = √

x ³ − 2; b) g(x) = ln n

(x − 1) ² (x + 2) ⁴ o

; c) h(x) = ^{√ x}

x

²

+1−3 ; Exercice 2 D´ eterminer les limites suivantes quand elles existent.

a) lim

x→+0

1 x ( p

1 + x + x ² − 1), b) lim

x→+∞

x ² − 4

x ² − 3x + 2 , c) lim

x→0

x ² + 2|x|

x d) lim

x→+∞

√ x + 1 − √

x − 4, e) lim

x→1

1

1 − x − 2

1 − x ² , f ) lim

x→+∞ x + √ x sin(x) Exercice 3

1) a - En utilisant la d´ efinition de la d´ eriv´ ee en 0 de la fonction f (y) = ln(1 + y), montrer que

y→0 lim

ln(1 + y) y = 1.

b - En d´ eduire lim x→+∞ 1 + ¹ _x x

.

2) a - D´ eterminer la limite suivante lim _x→0 ^sin _x ^x . b - En d´ eduire lim _{x→0 sin} ^x _x

x−sin^sinxx

.

Exercice 4 D´ eterminer les limites suivantes quand elles existent.

a) lim

x→1

x − 1

x ⁿ − 1 , b) lim

x→0

sin(3x)

sin(2x) , c) lim

x→π/2 (π − 2x) tan x, d) lim

x→+∞ x sin x, e) lim

x→0

sin x 1 − cos x Exercice 5

1) Etudier les limites suivantes:

a) lim

x→1

1

x − 1 − 2

x ² − 1 , b) lim

x→0

√ 1 + x − 1

x , , c) lim

x→0

sin 4x

tan 5x , d) lim

x→

^π₂

cos x

x − ^π ₂ , e) lim

x→0

tan x x . 2) Etudier les limites suivantes en fonction des valeurs du param` etre λ ∈ R .

a) lim

x→+∞

λx + p x ² + 1

, b) lim

x→2

⁺

1

x − λ − 1 (x − 2) ²

!

, lim

x→1

⁺

x ² + λx + 1 x ² − 1 Exercice 6 Montrer que les ´ equations suivantes ont au moins une racine dans l’intervalle I:

1) x ⁷ − x ² + 1 = 0, I = [−2, 0].

2) √

³

x ³ + 6x + 1 − 3x = 2, I = R . 3) tan x = ³ ₂ x, I =] ^π ₄ , ^π ₃ [.

4) e ^x − 3 √

x = 0, I = [0, 1].

5) x + sin x = _x

₂

¹ ₊₄ , I = [0, π].

1

2

Exercice 7 Vrai ou faux? Donner une preuve ou un contre-exemple.

1) Soit f : [a, b] → R une fonction continue et positive. Si f (a) = 0, il existe c ∈ [a, b] tel que f soit croissante sur [a, c].

2) Une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.

3) Soit f : R → R continue telle que lim _x→−∞ f (x) = lim _x→+∞ f (x) = +∞, alors f atteint sa borne inf´ erieure sur R .

4) Soit f : R → R continue et born´ ee, alors f ( R ) est un segment.

5) Soit f [a, b] → R continue, alors f est born´ ee.

Exercice 8 Soit P un polynˆ ome ` a coefficients r´ eels de degr´ e impair. Montrer que P admet une racine r´ eelle.

Exercice 9 Soit P (x) = x ³ − 2x ² + 2.

1) Calculer P (−1) et P (1). En d´ eduire que P poss` ede au moins une racine dans [−1, 1].

2) P poss` ede-t-il une racine dans [0, 1]?

Exercice 10 Soit P (x) = x ³ − 5x ² + 2x + 1.

Montrer que P admet 3 z´ eros r´ eels et encadrer chacun d’eux par deux entiers relatifs cons´ ecutifs.

Exercice 11 Soit f : [a, b] → [a, b] une application continue.

1) En ´ etudiant l’application g d´ efinie sur [a, b] par g(x) = f (x) − x, montrer que f admet au moins un point fixe (i.e. un r´ eel c dans [a, b] tel que f (c) = c).

2) On suppose de plus que |f (x) − f (y)| < |x − y| pour tout x 6= y dans [a, b]. Montrer que f admet un seul point fixe.

Exercice 12 Soit α > 0 et la fonction f : R ^∗ + → R telle que f (x) = ^sinx _x

α

. 1) Etudier la continuit´ e de f sur son intervalle de d´ efinition.

2) Pour quels param` etres α la fonction f peut-elle ˆ etre prolong´ ee par continuit´ e en 0?

Exercice 13 Soit la fonction f : R ^∗ + → R telle que f (x) = x ^1/x 1) Etudier la continuit´ e de f sur son intervalle de d´ efinition.

2) La fonction f peut-elle ˆ etre prolong´ ee par continuit´ e en 0?

Exercice 14 Soit f la fonction partie enti` ere : f : R → Z x → bxc

On rappelle que pour tout r´ eel x, la partie enti` ere de x est le plus grand entier relatif inf´ erieur ou ´ egal ` a x.

1) Tracer la courbe de f . En quels points est-elle continue? Parmi ses points de discontinuit´ e, en quels points est-elle continue ` a gauche? continue ` a droite?

2) Etudier la continuit´ e de la fonction g : R → R

x → bxc + (x − bxc) ² et tracer la courbe de g.

Exercice 15 On consid` ere la fonction f (x) = sin _x ¹ d´ efinie sur ]0, +∞[.

1) Soient les suites u n = _2π(n+1) ¹ et v n = _2π(n+1/4) ¹ . Que valent f (u n ) et f (v n )?

2) Que peut-on en d´ eduire pour la limite de f en 0 ⁺ ?

Exercice 16 On rappelle que tout r´ eel est limite d’une suite de rationnels, c’est-` a-dire que pour tout x ∈ R , il existe une suite (x n ) d’´ el´ ements de Q telle que lim n→+∞ x n = x. Soient f et g deux fonctions continues sur R .

1) Montrer que si f est nulle sur Q , alors f est identiquement nulle.

2) Si f et g sont ´ egales sur Q , que peut-on dire de f et g?

Exercice 17 On s’int´ eresse aux fonctions continues f : R → R telles que f (x + y) = f (x) + f (y) pour tous x et y r´ eels.

1) Montrer qu’il existe un r´ eel a tel que f (n) = an pour tout n entier naturel, puis pour tout n entier relatif.

2) Montrer que f (x) = ax pour pour tout x rationel, puis pour tout x r´ eel (on rappelle que tout r´ eel est limite d’une suite de rationnels).

3) D´ eterminer toutes les fonctions continues g : R → R telles que g(x + y) = g(x)g(y) pour tous x et y r´ eels

(indication: commencer par d´ emontrer que f (x) > 0 pour tout x r´ eel, puis on examiner le cas o` u f s’annule).