Donner le domaine de d´ efinition et de d´ erivabilit´ e et calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes :

Corrig´e de l’exercice 3.18

Ir` ene Waldspurger

(waldspurger@ceremade.dauphine.fr)

Exercice 3.18

Donner le domaine de d´ efinition et de d´ erivabilit´ e et calculer la d´ eriv´ ee des fonctions suivantes :

(a) f

: x → cos(x)e

;

(b) f

: x → sin(x) arctan(x) ; (c) f

: x → x

sin(x) ;

(d) f

: x → tan(x)e

; (e) f

: x → arccos(x) √

x ; (f) f

: x → x

ln(x).

Correction

[Remarque : ce corrig´ e est volontairement tr` es d´ etaill´ e. Vous pouvez adopter une r´ edaction plus concise ; attention n´ eanmoins ` a n’omettre aucun argument.]

(a) La fonction f

est d´ efinie et d´ erivable sur R , comme produit de fonctions d´ efinies et d´ erivables sur R . Pour tout x ∈ R ,

f

(x) = cos

(x) exp(x) + cos(x) exp

(x)

= (cos(x) − sin(x))e

.

(b) La fonction f

est d´ efinie et d´ erivable sur R , comme produit de fonctions d´ efinies et d´ erivables sur R . Pour tout x ∈ R ,

f

(x) = sin

(x) arctan(x) + sin(x) arctan

(x)

= cos(x) arctan(x) + sin(x) 1 + x

.

1

(c) La fonction f

est d´ efinie et d´ erivable sur R , comme produit de fonctions d´ efinies et d´ erivables sur R . Pour tout x ∈ R ,

f

(x) = (y → y

)

(x) sin(x) + x

sin

(x)

= 2x sin(x) + x

cos(x)

= x(2 sin(x) + x cos(x)).

(d) La fonction x → e

est d´ efinie et d´ erivable sur R (c’est la compos´ ee de la fonction exp et de la fonction (x → −x), toutes deux d´ efinies et d´ erivables sur R ). La fonction tan est d´ efinie et d´ erivable sur R −

2

+ kπ, k ∈ Z . Par produit, la fonction f

est donc d´ efinie et d´ erivable sur

R − n π

2 + kπ, k ∈ Z o

. Pour tout x ∈ R −

2

+ kπ, k ∈ Z ,

f

(x) = tan

(x)e

+ tan(x)(y → e

)

(x)

= (1 + tan

(x))e

+ tan(x)(−e

)

= (1 − tan(x) + tan

(x))e

.

(e) La fonction arccos est d´ efinie sur [−1; 1] et la fonction √

. sur R

. La fonction f

est donc d´ efinie sur l’intersection de ces deux ensembles, c’est-` a- dire sur [0; 1].

La fonction arccos est d´ erivable sur ]− 1; 1[ et la fonction √

. sur R

. D’apr` es les r´ esultats g´ en´ eraux sur la d´ erivabilit´ e des produits, la fonction f

est d´ erivable sur l’intersection de ces deux ensembles, c’est-` a-dire sur ]0; 1[.

Pour montrer que le domaine de d´ erivabilit´ e est exactement ]0; 1[, il faut montrer que f

n’est d´ erivable ni en 0 ni en 1.

La fonction f

n’est pas d´ erivable en 0 car son taux d’accroissement entre 0 et x n’admet pas de limite finie lorsque x tend vers 0

:

f

(x) − f

(0)

x = arccos(x) √ x − 0 x

= arccos(x)

√ x

x→0⁺

−→ arccos(0)

0

= π/2

0

= +∞.

1. Attention : le th´ eor` eme sur la d´ erivation d’un produit ne permet pas de dire que f

est d´ erivable en 0 ou en 1 mais il ne permet pas non plus de dire qu’elle n’est pas d´ erivable en 0 ou en 1. D´ emontrer cela demande un argument diff´ erent.

2

Montrons que la fonction f

n’est pas non plus d´ erivable en 1. Remarquons que, pour tout x ∈]0; 1],

arccos(x) = f

(x)

√ x . La fonction √

. est d´ erivable en 1 et ne s’y annule pas. Ainsi, si f

´ etait d´ erivable en 1, arccos serait d´ erivable en 1, comme quotient de deux fonctions d´ erivables dont le d´ enominateur ne s’annule pas. Or arccos n’est pas d´ erivable en 1 (c’est une propri´ et´ e du cours). Donc f

n’est pas d´ erivable en 1.

Ainsi, le domaine de d´ erivabilit´ e de f

est ]0; 1[.

Pour tout x ∈]0; 1[,

f

(x) = arccos

(x) √

x + arccos(x) √ .

(x)

= − r x

1 − x

+ arccos(x) 2 √

x .

(f) La fonction x → x

est d´ efinie sur R et la fonction ln est d´ efinie sur R

. La fonction f

est donc d´ efinie sur R

.

La fonction x → x

est d´ erivable sur R − {0} et la fonction ln est d´ erivable sur R

. Par produit, f

est donc d´ erivable sur R

.

Pour tout x ∈ R

,

f

(x) = (y → y

)

(x) ln(x) + x

ln

(x)

= ln(x)

3x

+ x

x

= 1

x

ln(x) 3 + 1

.

3