D´eriv´ee des fonctions trigonom´e- triques

Chapitre 9

D´ eriv´ ee des fonctions trigonom´ e- triques

9.1 Rappels sur les fonctions trigonom´ etriques

9.1.1 Le radian

Le radian (Rad) est une mesure d’angle o` u un angle est mesur´ e en longueur d’arc sur la circonf´ erence de cercle de rayon 1.

1 Rad θ

1

Comme la circonf´ erence d’un cercle de rayon 1 correspond ` a un arc d’un tour complet, un angle θ de 2π Rad correspond ` a un angle de 360 degr´ es ou d’un tour.

θ Rad

2π Rad = θ Deg

360 Deg = θ Tour 1 Tour

Ces proportions servent ` a convertir la mesure d’un angle d’une unit´ e ` a une autre.

Pourquoi le radian ?

C’est l’unit´ e de mesure d’angle la plus naturelle dans le contexte du calcul diff´ erentiel car les formules de d´ erivations des fonctions trigonom´ etriques s’expriment plus simplement en radian.

9.1.2 Cercle trigonom´ etrique

Le cercle trigonom´ etrique permet de repr´ esenter les angles de mani` ere standardis´ ee

et d’´ etablir des liens entre diff´ erentes longueurs d´ etermin´ ee par un angle donn´ e. Le

cercle trigonom´ etrique est le cercle de rayon 1 centr´ ee ` a l’origine. Chaque angle

θ correspond ` a un unique point P(θ) sur le cercle trigonom´ etrique.

θ P(θ)

Par convention, on mesure les angles dans le cercle trigonom´ etrique ` a partir d’un angle 0 situ´ e sur l’axe des x positifs. Les angles positifs correspondent aux angles mesur´ es dans le sens anti-horaire, les angles n´ egatifs correspondent aux angles mesur´ es dans le sens horaire.

+ θ

− θ

Enfin, bien que ces angles n’aient pas de sens g´ eom´ etrique, on peut consid´ erer des angles de plus d’un tour.

Note 9.1. Il est g´ en´ eralement plus facile de rep´ erer un angle dans le cercle trigo- nom´ etrique sans faire la conversion ` a l’aide des proportions pr´ ec´ edentes. Il est plus simple de penser en « demi-tours » plutˆ ot qu’en tours. Cela est plus facile que de convertir en degr´ es. Par exemple, pour situer rapidement un angle de

Rad, on le consid` ere comme un multiple de

:

3π 5 = 3 π

5 .

Comme il est facile de diviser le demi-tour π en 5 angles de π/5, il est simple de situer l’angle de

.

P

5

9.1.3 Les fonctions trigonom´ etriques

Afin de pouvoir d´ efinir les fonctions trigonom´ etrique pour tout angle possible θ ∈ R , on doit exprimer la d´ efinition ` a l’aide du cercle trigonom´ etrique.

D´ efinition 9.1. Les fonctions cos(θ) et sin(θ) sont d´ efinies comme les coordon-

θ

1

P(θ) = cos(θ),sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

En utilisant le th´ eor` eme de Pythagore, on obtient l’importante identit´ e trigonom´ e- trique suivante :

Proposition 9.1.

cos

(θ) + sin

(θ) = 1.

Note 9.2. On utilise ici une convention de notation tr` es r´ epandue : pour simplifier un peu l’´ ecriture, on ´ ecrit sin

( x) au lieu de

sin(x)

et cos

( x) au lieu de

cos(x)

. On utilisera une convention similaire pour toute les autres fonctions trigonom´ etriques.

On peut se servir du cercle trigonom´ etrique pour d´ emontrer plusieurs identit´ es trigonom´ etriques importantes.

Exemple 9.1. D´ emontrons que cos(θ + π) = − cos(θ) ` a l’aide du cercle trigonom´ e- trique. Il suffit de repr´ esenter les angles impliqu´ es (ici θ et −θ) et de repr´ esenter les longueurs impliqu´ ees dans l’identit´ e. L’´ egalit´ e entre ces longueurs peut ensuite ˆ etre d´ eduite g´ eom´ etriquement.

P(θ)

P(θ + π)

cos(θ)

cos(θ+π)=

−cos(θ)

9.1.4 Triangles comportant des angles usuels

Pour le calcul des valeurs de sin(θ) et cos(θ), on utilise les grandeurs des cˆ ot´ es de certains triangles remarquables, pour lesquel il est possible de d´ eterminer les longueurs des cˆ ot´ es g´ eom´ etriquement, ` a l’aide de la relation de Pythagore, de la loi des cosinus ou d’autres astuces g´ eom´ etriques.

1 ^√₂

2

√ 2 2 π/4

π/4 1 ₁

2

√3/2 π/6

π/3

1

1

1 ^√

2−√ 3 2

q 2+√

3/2 π/12

5π/12

1

Exemple 9.2. D´ eterminons cos

3

` a l’aide du cercle trigonom´ etrique. On com- mence par situer le point P

3

et son cosinus.

P

3

cos_π

3

Le triangle impliqu´ e a comme angle ` a l’origine π/3 rad. Le triangle usuel comportant cet angle est le suivant.

1

2

√3/2 π/6

π/3

En repla¸cant les mesures de ce triangles dans la figure initiale, on a que cos

3

=

P

3

1 2

√ 3 2

D´ efinition 9.2. Les fonctions trigonom´ etriques tangente, s´ ecante, cos´ ecante et cotangante sont d´ efinie ` a partir des fonctions sinus et cosinus de la mani` ere suivante.

tan(θ) = sin(θ)

cos(θ) cotan(θ) = cos(θ)

sin(θ) = 1 tan(θ) sec(θ) = 1

cos(θ) csc(θ) = 1

sin(θ)

Ces diff´ erentes fonctions trigonom´ etriques correspondent aux mesures suivantes.

θ

P(θ)

tan( θ )

cos(θ)

sin( θ )

sec(

θ )

θ

P(θ) cotan(θ)

cos(θ)

sin( θ )

csc(

θ )

Comme toutes ces fonctions trigonom´ etriques peuvent ˆ etre exprim´ ees en fonction de sinus et cosinus, on peut d´ eterminer leur valeurs pour diff´ erents angles ` a partir des valeurs de sinus et cosinus.

Exemple 9.3.

sec π

3

= 1 cos

3

= 1 1/2

= 2

9.2 Graphe des fonctions trigonom´ etriques

π 2

π

2

2π

−1 1

x

sin(x)

π 2

π

2

2π

−1 1

x cos(x)

−

π

2

2π x

tan( x)

−

π

2π x

cotan(x)

−

0 π

2

2π x

sec(x)

−

π

2

2π

−1 1

x csc(x)

Comme un angle θ correspond au mˆ eme point du cercle trigo si on y ajoute un multiple entier de 2π, les valeurs fonctions trigonom´ etriques sont les mˆ emes si on ajoute un multiple de entier de 2π.

Proposition 9.2. Toutes les fonctions trigonom´ etriques sont p´ eriodiques de p´ eriode 2π, c’est ` a dire

sin(θ + 2π) = sin(θ), cos(θ + 2π) = cos(θ), etc.

Les in´ egalit´ es suivantes sont tr` es utiles pour analyser des fonctions comportant des fonctions trigonom´ etriques dans leurs d´ efinitions.

Proposition 9.3.

−1 ≤ sin(θ) ≤ 1 − 1 ≤ cos(θ) ≤ 1.

9.3 Limites des fonctions trigonom´ etriques

Comme les fonctions trigonom´ etriques sont d´ efinies par des constructions g´ eom´ e- triques, il est raisonnable de faire l’hypoth` ese suivante.

Hypoth` ese 7. Les fonctions trigonom´ etriques sont continues partout o` u elles sont d´ efinies.

Cela permet d’´ evaluer des limites de fonctions trigonom´ etriques par substitution.

Exemple 9.4.

x→π/3

lim sin(x)

= sin π

3 =

√ 3 2

x→3π/4

lim tan(x)

= tan 3π 4

!

= sin

4

cos

4

=

√ 2/2

− √

2/2 = −1

Les limites de fonction trigonom´ etriques quand x → ±∞ n’existent pas. ` A cause de la p´ eriodicit´ e des fonctions trigonom´ etriques, leurs valeurs en y ne s’approchent jamais d’une valeur limite.

Proposition 9.4.

θ→±∞

lim sin(θ) @ lim

θ→±∞

cos(θ) @

et de mˆ eme pour toutes les autres fonctions trigonom´ etriques.

Enfin, pour d´ eterminer le comportement des limites ` a gauche ou ` a droite impliquant les fonctions trigonom´ etriques, on peut utiliser le cercle trigonom´ etrique. Il faut garder en tˆ ete le sens de parcours des angles dans le cercle trigonom´ etrique. Par exemple, voici de quelle mani` ere un angle s’approche de

par la gauche

2

−

et par la droite

2+

.

θ →

θ →

θ →

Exemple 9.5.

lim

x→

(

)

sec( x) = lim

x→

(

)

1 cos(x)

= 1

cos

2

1 0

ou 1

0

?

!

θ →

cos(θ) → 0

9.4 D´ eriv´ ee des fonctions trigonom´ etriques

Lemme 9.1.

∆

lim

sin(∆ x)

∆ x = 1.

D´ emonstration. Par d´ efinition des fonctions trigonom´ etrique et par les relations g´ eom´ etriques entre les longueurs auxquelles elles correspondent, on a que

sin( ∆ x) ≤ ∆ x ≤ tan( ∆ x).

h

h

sin(∆x)

tan(∆x)

En divisant par sin( ∆ x) on obtient : sin( ∆ x)

sin(∆ x) ≤ ∆ x

sin(∆ x) ≤ tan( ∆ x) sin(∆ x) , Ce qui donne, en simplifiant,

1 ≤ ∆ x

sin( ∆ x) ≤ cos( ∆ x).

Si on inverse chaque membre de ces in´ egalit´ es, on trouve que 1 ≥ sin(∆ x)

∆ x ≥ 1 cos( ∆ x) .

En prenant la limite quand ∆ x → 0 des membres de droite et de gauche de la chaine d’in´ egalit´ e :

∆

lim

1 = 1 lim

∆x→0

1

cos( ∆ x) = 1 cos(0) = 1

donc, par la propri´ et´ e des gendarmes (thm du sandwich), le membre central doit avoir la mˆ eme limite :

∆

lim

sin(∆ x)

∆ x = 1

Note : ce r´ esultat justifie l’approximation sin(x) ≈ x quand x est petit. Cette ap- proximation est souvent utilis´ e en physique, par exemple pour obtenir l’importante

´ equation d´ ecrivant le mouvement et la propagation des ondes.

Lemme 9.2.

∆

lim

cos(∆ x) − 1

∆ x = 0

D´ emonstration.

∆

lim

cos(∆ x) − 1

∆ x = lim

∆x→0

cos(∆ x) − 1

∆ x

cos(∆ x) + 1 cos( ∆ x) + 1

= lim

∆x→0

cos

(∆ x) − 1

∆ x

1 cos( ∆ x) + 1

= lim

∆x→0

− sin

(∆ x)

∆ x

1 cos(∆ x) + 1

= lim

∆x→0

sin(∆ x)

∆ x

− sin(∆ x) cos( ∆ x) + 1

= lim

∆x→0

sin( ∆ x)

∆ x lim

∆x→0

− sin( ∆ x) cos( ∆ x) + 1

= (1) 0 2

!

= 0

Th´ eor` eme 9.1. La d´ eriv´ ee de la fonction sinus est sin(x)

= cos(x).

D´ emonstration. (avec les diff´ erentilles) Soit y = sin(x). On calcule dy : dy = sin(x + dx) − sin(x)

= (sin(x) cos(dx) + sin(dx) cos(x)) − sin(x)

= sin(dx) cos(x) + sin(x) cos(dx) − sin(x)

= sin(dx) cos(x) + (sin(x) cos(dx) − sin(x))

= sin(dx) cos(x) + sin(x)(cos(dx) − 1)

≈ (1) cos(x) + sin(x)(0)

= cos(x)

D´ emonstration. (avec la d´ efinition en terme de limites) (sin(x))

= lim

∆x→0

sin(x + ∆ x) − sin(x)

∆ x

= lim

∆x→0

(sin(x) cos(∆ x) + sin(∆ x) cos(x)) − sin(x)

∆ x

= lim

∆x→0

sin( ∆ x) cos(x) + sin(x) cos( ∆ x) − sin(x)

∆ x

= lim

∆x→0

sin(∆ x) cos(x) + (sin(x) cos(∆ x) − sin(x))

∆ x

= lim

∆x→0

sin(∆ x) cos(x)

∆ x + sin(x) cos( ∆ x) − sin(x))

∆ x

= lim

∆x→0

sin( ∆ x)

∆ x cos( x) + sin(x) cos(∆ x) − 1

∆ x

= lim

∆x→0

sin(∆ x)

∆ x cos( x) + lim

∆x→0

sin(x) cos( ∆ x) − 1

∆ x

= (1) cos(x) + sin(x)(0)

= cos( x)

Exemple 9.6. En combinant la formule de d´ erivation de sin(x) et la r` egle de chaine :

sin

x

= cos

x

x

= 2x cos x

.

En combinant la formule de d´ erivation de sin(x) et la r` egle du quotient : sin (x)

x

!

=

sin(x)

( x) − sin(x)(x)

x

= x cos(x) − sin(x)

x

.

9.5 D´ eriv´ es des autres fonctions trigonom´ etriques

Les d´ eriv´ ees des autres fonctions trigonom´ etriques sont trouv´ ees en utilisant leur d´ efinition, des identit´ es alg´ ebriques et les formules de d´ erivation connues.

Proposition 9.5 (D´ eriv´ ee des fonctions trigonom´ etriques).

(a)

cos(x)

= − sin(x) (b)

tan( x)

= sec

( x) (c)

cot( x)

= − csc

(x)

(d)

sec(x)

= sec(x) tan(x) (e)

csc(x)

= − csc( x) cot(x)

D´ emonstration. Preuve de (a). On utilise les identit´ es cos(θ) = sin(θ + π/2) et − sin(θ) =

cos(θ + π/2).

cos(x)

=

sin(x + π/2)

= cos(x + π/2)(x + π/2)

= cos(x + π/2)

= cos(x + π/2)

= − sin(x)

Preuve de (b). On utilise la d´ efinition de tan( x) en terme de sin(x) et cos(x), ainsi que l’identit´ e cos

(x) + sin

(x) = 1.

tan(x)

=



 

 

  sin(x) cos(x)



 

 

 

0

=

sin(x)

cos(x) − sin(x)

cos(x)

cos

(x)

= cos(x) cos(x) − sin(x)(− sin(x)) cos

(x)

= cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) cos

( x)

= cos

(x) + sin

(x) cos

(x)

= 1 cos

(x)

= sec

( x)

Les preuves des formules de d´ erivations de sec(x), csc(x) et cotan(x) sont similaires et

sont laiss´ ees en exercice.

Exemple 9.7.

tan

x 2

= sec

x

2 x 2

= 1 2 sec

x 2

sec x

= sec x

tan

x

x

= 2x sec x

tan x

Remarque 9.1. Dans ce dernier exemple, la fonction « ` a l’int´ erieur » de sec est substitu´ ee ` a deux endroits, dans tan et dans sec. C’est ce que la r` egle de chaine dit. En effet la r` egle de chaine pour des fonctions quelconques est

f (g(x))

= f

(g( x))g

(x)

Les d´ eriv´ ees de s´ ecante et cos´ ecantes sont les seules d´ eriv´ ees que nous avons vu

pour lesquelles l’argument de la fonction x apparait ` a plusieurs endroits dans la

formule de d´ erivation et o` u il faut faire attention en applicant la r` egle de chaine.