Exercice 1 Apr` es avoir d´ etermin´ e le domaine d’existence, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

TD 7 : R´evisions de la D´eriv´ee

Exercice 1 Apr` es avoir d´ etermin´ e le domaine d’existence, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

(a) cos x, (b) sin x, (c) tan x,

(d) arccos x, (e) arcsin x, (f) arctan x,

(g) cosh x, (h) sinh x, (i) tanh x,

(j) x

, avec n ∈ Z , (k) e

, (l) ln x, (m) x

, avec α ∈ R \ Z , (n) α

, avec α ∈]0, ∞[.

En particulier, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions 1 x

, √

x et √

x o` u n ∈ N \{0}.

Exercice 2 Apr` es avoir d´ etermin´ e le domaine d’existence, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

(a) x 7→ arctan x

x

+ 1 (b) x 7→ 1

(x + 1)

(c) x 7→ sin x (cos x + 2)

Exercice 3 Apr` es avoir d´ etermin´ e le domaine d’existence, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

(a) x 7→ arctan

√ 1 − cos x

√ 1 + cos x (b) x 7→ e

(c) x 7→ (sin(x

))

Exercice 4 Calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes : f

(x) = arctan (e

) , f

(x) = arctan (sinhx) et f

(x) = arctan

tanh x 2

On admet que si la d´ eriv´ ee d’une fonction d´ erivable est z´ ero, alors cette fonction est constante. Que peut-on en d´ eduire ?

Exercice 5 Calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes (en n´ egligeant le do- maine d’existence) :

(a) x 7→ ln |x| (b) x 7→ 1 2 ln

1 + x 1 − x

(c) x 7→ ln |x + √

x

+ α|

Les feuilles de TD sont disponibles ` a la page:

http://webusers.imj-prg.fr/˜jie.lin/jussieu/Enseignements.html

MM2, analyse, 2014-2015 Groupe MASS1

J. LIN jie.lin@imj-prg.fr

(d) x 7→ − ln |cos x| (e) x 7→ ln | sin x| (f) x 7→ ln

tan( x 2 + π

4 )

(g) x 7→ ln

tan( x 2 )

Exercice 6

(a) Si f : R → R est une fonction d´ erivable, alors x 7→ e

l’est aussi. De plus, calculer sa d´ eriv´ ee.

(b) Si f : R → R et g : R → R

sont deux fonctions d´ erivables, alors x 7→ g(x)

l’est aussi. De plus, calculer sa d´ eriv´ ee.

Exercice 7 Apr` es avoir d´ etermin´ e le domaine d’existence, calculer les d´ eriv´ ees des fonctions suivantes :

(a) x 7→ x

(b) x 7→ (coshx)

(c) x 7→ (x

+ 1)

Exercice 8 Pour chaque point suivant, ´ ecrire une fonction d´ erivable telle que sa d´ eriv´ ee est comme dans la liste suivante (on n´ eglige le domaine d’existence dans cet exercice) :

(a) cos 2x (b) sin x (c) 1

√ 1 − 4x

(d) − 1

√ 1 − 3x

(e) 1

cos

x (f) 1

1 + x

(g) cosh x (h) sinh x (i) 1/2x

(j) x

, avec α ∈ R \{−1} (k) e

(l) α

, avec α > 0 (m) e

, avec α ∈ R \{0}

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