La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Les r´ esultats doivent ˆ etre encadr´ es.

PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis

Devoir surveill´ e du 19/09/15

DS1

La calculatrice est interdite. Dur´ ee: 3h

La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Les r´ esultats doivent ˆ etre encadr´ es.

Exercice 1

On consid` ere la suite (u n ) d´ efinie par u 0 = 4, u 1 = 11 et :

∀n ∈ N \ {0, 1}, u _n = 3u n−1 + 4u n−2 . Montrer que : ∀n ∈ N , u _n = (−1) ⁿ + 3 · 4 ⁿ .

Exercice 2

1. (a) ´ Enoncer la d´ efinition d’une fonction croissante sur [0, +∞[.

(b) ´ Enoncer l’in´ egalit´ e triangulaire dans R.

2. Montrer que la fonction f suivante est croissante : f : [0, +∞[ → R

x 7→ _1+x ^x .

3. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que :

∀x, y ∈ R , |x + y|

1 + |x + y| ≤ |x|

1 + |x| + |y|

1 + |y| .

Probl` eme I

Le but de cet exercice est d’´ etudier la fonction f :

]0, +∞[ → R

x 7→ e ^x 1 − e ^x

et sa r´ eciproque.

1. ´ Etude de f

(a) Montrer que f est d´ erivable sur ]0, +∞[ et calculer sa d´ eriv´ ee.

(b) Dresser le tableau de variations de f sur ]0, +∞[ (en pr´ ecisant les limites aux bornes du do- maine) et donner l’allure de son graphe. On tracera ´ egalement les ´ eventuelles d’asymptotes.

(c) Montrer que pour tout x ∈]0, +∞[, f ⁰ (x) = f(x) + f (x) ² .

2. Montrer que f est bijective de ]0, +∞[ dans I , o` u I est un intervalle que l’on pr´ ecisera.

3. On note φ : I →]0, +∞[ la r´ eciproque de f. Quelle est la monotonie de φ ? Tracer l’allure du graphe de φ.

4. Montrer que φ est d´ erivable sur I et calculer sa d´ eriv´ ee.

5. (a) Montrer, ` a la main, que f est bijective de ]0, +∞[ dans I.

(b) En d´ eduire une expression de φ et retrouver le r´ esultat de la question 4. ` a partir de cette expression.

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Probl` eme II

Le but de cet exercice est de d´ eterminer toutes les fonctions f de R dans R v´ erifiant la relation :

∀x, y ∈ R, |f (x) + f (y)| = |x + y|. (E) 1. (a) On pose :

f ₁ : R → R x 7→ x.

Montrer que f 1 v´ erifie (E).

(b) On pose :

f 2 : R → R x 7→ −x.

Montrer que f ₂ v´ erifie (E).

2. Soit f une fonction de R dans R . Parmi les deux propri´ et´ es suivantes, une est vraie, laquelle ? On prouvera cette propri´ et´ e.

(∀x ∈ R , |f (x)| = |x|) ⇔ (∀x ∈ R , f (x) = x) ou (∀x ∈ R , f (x) = −x) (P ₁ ), (∀x ∈ R , |f (x)| = |x|) ⇔ (∀x ∈ R , f(x) = x ou f (x) = −x) (P ₂ ).

3. Soit f une fonction de R dans R v´ erifiant (E ).

(a) Montrer que f (0) = 0.

(b) Montrer que :

∀x ∈ R, |f(x)| = |x|.

(c) i. Ecrire la n´ egation de la propri´ et´ e :

(∀x ∈ R, f (x) = x) ou (∀x ∈ R, f (x) = −x).

ii. En raisonnant par l’absurde, montrer que :

(∀x ∈ R , f (x) = x) ou (∀x ∈ R , f (x) = −x).

4. Conclure. On pr´ ecisera bien le raisonnement utilis´ e.

Probl` eme III

Le but de cet exercice est d’´ etudier l’´ equation suivante (o` u λ est un r´ eel strictement positif) :

e ^λe

= x. (E )

Partie I : R´ eduction du probl` eme.

On pose f (x) = exp(λx).

1. ´ Etudier le domaine de d´ efinition de f , ses variations ainsi que les limites aux bornes de son domaine de d´ efinition.

2. Dans cette question nous montrons qu’un r´ eel x est solution de (E ) si et seulement si f (x) = x.

(a) Soit x ∈ R tel que f (x) = x. Montrer que x est solution de (E).

(b) R´ eciproquement, montrer que si x est solution de (E), alors f (x) = x.

Indication : On raisonnera par l’absurde, en diff´ erenciant les cas f (x) > x et f (x) < x.

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Partie II : ´ Etude de l’´ equation f (x) = x.

3. ´ Etudier les variations de g : x 7→ f (x) − x en pr´ ecisant les limites aux bornes de son domaine de d´ efinition. Pr´ eciser la valeur de ses extremum ´ eventuels.

4. En d´ eduire que :

ˆ si λ > ¹ _e , alors l’´ equation f (x) = x n’a pas de solution,

ˆ si λ = ¹ _e , alors l’´ equation f (x) = x admet une unique solution ` a d´ eterminer,

ˆ si λ < ¹ _e , alors l’´ equation f (x) = x admet exactement deux solutions, l’une d’elles appar- tenant ` a l’intervalle ]0, − <sup>ln(λ)</sup> <sub>λ</sub> [ et l’autre ` a l’intervalle ] − ^ln(λ) _λ , +∞[.

Partie III : ´ Etude d’une suite associ´ ee ` a f.

On suppose dans cette partie 0 < λ < ¹ _e et on note α l’unique solution de l’´ equation f (x) = x dans l’intervalle ]0, − ^ln(λ) _λ [. On consid` ere la suite (u _n ) d´ efinie par u ₀ = 0 et

∀n ∈ N , u _n+1 = f (u _n ).

5. Montrer par r´ ecurrence que pour tout n ∈ N , u n ∈ [0, α].

6. Montrer que u n+1 − u n = g(u n ). En d´ eduire la monotonie de la suite (u n ).

7. Montrer alors que la suite (u n ) converge vers une limite finie qu’on notera `, appartenant ` a l’intervalle [0, α].

8. Montrer que f (`) = `. En d´ eduire que ` = α.

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