Int´ egrales de Wallis et int´ egrale de Gauss

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PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis

Devoir maison ` a rendre le 08/04/16

DM10

La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies.

Int´ egrales de Wallis et int´ egrale de Gauss

On appelle int´ egrale de Gauss la limite I = lim

x→+∞

Z

x 0

e

^−t²

dt qu’on notera encore Z

+∞

0

e

^−t²

dt.

Le but de ce probl` eme est de justifier l’existence et de calculer la valeur de l’int´ egrale de Gauss.

I. Int´ egrales de Wallis

Pour tout entier n ≥ 0, on pose :

W

n

= Z

^π

2

0

cos

ⁿ

(x)dx.

1. Montrer que, pour tout n ≥ 0, on a W

n

= Z

^π

2

0

sin

ⁿ

(x)dx.

2. Calculer W

0

et W

1

.

3. Montrer que la suite (W

n

) est d´ ecroissante en d´ eduire qu’elle converge.

4. Justifier que pour tout n ∈ N , W

_n

6= 0.

5. Montrer que pour tout n ∈ N , on a :

W

_n+2

=

n + 1 n + 2

W

_n

.

6. Montrer que la suite ((n + 1)W

_n+1

W

_n

)

n∈N

est constante et calculer la valeur de cette constante.

7. En utilisant la monotonie de la suite (W

_n

), prouver que, pour tout n ∈ N , on a : n + 1

n + 2 ≤ W

_n+1

W

n

≤ 1.

En d´ eduire que W

n

∼

n

W

n+1

.

8. D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que W

_n

∼

n

r π

2n . En d´ eduire lim

n→+∞

W

_n

. 9. Montrer que pour tout p ≥ 0, on a :



 



 



W

_2p

= (2p)!

2

^2p

(p!)

²

× π 2 , W

_2p+1

= 2

^2p

(p!)

²

(2p + 1)! .

1

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PCSI5

Lyc´ ee Saint Louis

II. Int´ egrale de Gauss

On pose F :

R

+

→ R x 7→

Z

x 0

e

^−t²

dt .

1. Montrer que F est strictement croissante.

2. Pour x ∈ [1, +∞[, montrer que e

^−x²

≤ e

^−x

.

3. En d´ eduire que F est major´ ee puis que F admet une limite en +∞.

Dans toute la suite, on notera Z

+∞

0

e

^−x²

dx cette limite.

4. Montrer que : ∀u ∈] − 1, +∞[, ln(1 + u) ≤ u.

5. Soit n ∈ N

^∗

. (a) Montrer que

Z

√n

0

1 − t

²

n

dt ≤ Z

√n

0

e

^−x²

dx.

(b) En utilisant le changement de variable t = √

n cos u, montrer que :

√ nW

2n+1

≤ Z

√n

0

e

^−x²

dx.

6. Soit n ∈ N

^∗

.

(a) Montrer que : ∀t ∈ R , e

^−t²

≤

1 + t

²

n

−n

. (b) En posant le changement de variable t = √

n tan u, montrer que Z

√n

0

1 + t

²

n

⁻ⁿ

dt =

√ n Z

B

0

cos

^2p

(t)dt o` u B ∈ [0,

^π₂

] et p ∈ N sont ` a d´ eterminer.

(c) Montrer que Z

B

0

cos

^2p

(t)dt = Z

^π

2

π 2−B

sin

^2p

(t)dt.

(d) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que : Z

√n

0

e

^−x²

dx ≤ √

nW

2n−2

.

7. D´ eterminer alors la valeur de Z

+∞

0

e

^−x²

dx.

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