PCSI5 Lyc´ ee Saint Louis
Devoir surveill´ e du 23/01/15
DS5
La calculatrice est interdite. Dur´ ee: 3h
La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Les r´ esultats doivent ˆ etre encadr´ es.
Exercice 1
Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N. Calculer X
X ∈P(E)
5 Card(X) .
Exercice 2 Soit n ≥ 2.
1. Montrer que :
pgcd(2 8n − 3 2n + 13, 2 4n − 3 n ) = pgcd(2 4n − 3 n , 13).
2. Montrer que 13 divise 2 4n − 3 n . 3. En d´ eduire la valeur de :
pgcd(2 8n − 3 2n + 13, 2 4n − 3 n ).
Exercice 3
Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N ∗ . Soit a ∈ E.
D´ eterminer le nombre de couples (X, Y ) ∈ P(E) 2 tels que X ⊂ Y ∪ {a}.
Exercice 4
On va r´ epondre au probl` eme suivant : Combien y-a-t-il de fa¸ cons de monter un escalier de n marches en faisant des pas qui montent de 1 ou 2 marches de fa¸ con al´ eatoire. On appelle T n ce nombre. On convient que T 0 = 1.
1. ´ Etudier les cas n = 1, 2, 3, 4.
On se propose d’´ etudier le cas g´ en´ eral de deux mani` eres diff´ erentes.
2. On note i le nombre de pas de 2 marches.
(a) Expliquer pourquoi 0 ≤ i ≤ b n 2 c, b c d´ esignant la partie enti` ere.
(b) i ´ etant fix´ e. Combien y-a-t-il de pas ` a une marche ? combien y-a-t-il de pas en tout ? (c) Combien y-a-t-il de fa¸ con de monter l’escalier de n marches sachant que l’on fait i pas de
2 marches ?
(d) Montrer que pour tout n ∈ N ∗ , T n =
b
n2c
X
i=0
n − i i
. 3. (a) En consid´ erant la nature du premier pas, montrer :
∀n ∈ N , T n+2 = T n+1 + T n . (b) Calculer T n en fonction de n.
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Exercice 5
Tout au long de ce probl` eme, A d´ esigne la matrice carr´ ee d’ordre 3 ` a coefficients r´ eels d´ efinir par :
A =
−7 0 −8
4 1 4
4 0 5
Partie I : Une premi` ere m´ ethode de calcul des puissances de M . On pose :
J = 1
4 (A + 3I 3 ).
1. Calculer J 2 . En d´ eduire J n pour tout n ∈ N.
2. Soit n un entier naturel non nul. D´ eterminer une expression matricielle de A n en fonction de n, I 3 et J.
3. Pour tout n appartenant ` a N , en d´ eduire une ´ ecriture matricielle de A n ne faisant intervenir que l’entier n.
Partie II : Une seconde m´ ethode de calcul des puissances de A.
1. On pose:
P =
−2 0 1
1 1 0
1 0 −1
.
Montrer que P est inversible et d´ eterminer P −1 .
2. Montrer que P −1 AP = D avec D =
−3 0 0
0 1 0
0 0 1
3. Calculer, pour tout n ∈ N , D n . En d´ eduire une ´ ecriture matricielle de A n ne faisant intervenir que l’entier n.
Partie III : ´ Etude du commutant.
Pour toute matrice B ∈ M n (R), on note C(B ) l’ensemble des matrices qui commutent avec B (appel´ e le commutant de la matrice B. Autrement dit :
C(B) = {M ∈ M n (R)|BM = M B}
1. Soit B ∈ M n ( R ). On d´ esire prouver quelques propri´ et´ es sur C(B).
(a) Donner deux ´ el´ ements ´ evidents de C(B).
(b) Montrer que, si M et M 0 sont dans C(B), et λ, µ des r´ eels, alors λM + µM 0 est encore un
´ el´ ement de C(B ). On dit que l’ensemble C(B) est stable par combinaison lin´ eaire.
(c) Montrer que, si M et M 0 sont dans C(B), alors le produit M M 0 est encore un ´ el´ ement de C(B). On dit que l’ensemble C(B) est stable par produit matriciel.
(d) D´ eduire des questions pr´ ec´ edentes que tout polynˆ ome en B, c’est ` a dire toute matrice de la forme
k
X
i=0
a i B i avec k ≥ 0 et a 0 , . . . , a k ∈ R , est un ´ el´ ement de C(B ).
(e) Montrer que, si M est dans C(B), et M inversible, alors son inverse M −1 est encore un
´ el´ ement de C(B ). On dit que l’ensemble C(B) est stable par passage ` a l’inverse.
(f) Comparer t B × B et B × t B pour B = 1 2
3 4
. L’ensemble C(B) est-il stable par transposition ?
Quelle hypoth` ese peut-on faire sur B pour que cette propri´ et´ e soit satisfaite ?
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2. Soit D une matrice diagonale de M n (R) dont les coefficients diagonaux λ i sont suppos´ es distincts deux ` a deux, et soit M ∈ C(D).
(a) Interpr´ eter les produits DM et M D en termes d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes et les colonnes de la matrice M .
(b) Montrer que M est n´ ecessairement une matrice diagonale.
(c) Conclure que C(D) est l’ensemble des matrices diagonales.
3. On s’int´ eresse d´ esormais au commutant de la matrice A d´ efinie au tout d´ ebut du probl` eme et on utilisera les notations de la partie II.
(a) Prouver que pour toute matrice M ∈ M 3 ( R ), on a l’´ equivalence suivante : M ∈ C(A) ⇐⇒ P −1 M P ∈ C(D)
(b) Montrer que les ´ el´ ements de C(D) sont exactement les matrices de la forme
a 0 0 0 b c 0 d e
o` u a, b, c, d et e sont des r´ eels.
(c) En d´ eduire C(A) comme combinaison lin´ eaire de cinq matrices que l’on d´ eterminera.
Exercice 6
1. Etude de ´ f .
On consid` ere la fonction f : x 7→ 1 x − bxc . (a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de f .
Montrer que f est p´ eriodique de p´ eriode 1.
(b) ´ Etudier f : on donnera en particulier une expression simplifi´ ee de f sur tout intervalle de la forme ]k, k + 1[ avec k entier puis on pr´ ecisera ses variations, son ensemble image et on tracera son graphe dans un rep` ere orthonorm´ e.
(c) D´ emontrer que pour tout nombre x irrationnel (resp. rationnel non entier) f(x) est irra- tionnel (resp. rationnel).
2. Une suite r´ ecurrente.
On pose x 0 ∈ R tel que x 0 > 0 et on s’int´ eresse lorsque cela est possible ` a la suite (x n ) n∈ N d´ efinie par la relation de r´ ecurrence
∀n ∈ N, x n+1 = f (x n ).
(a) On suppose dans cette question que x 0 ∈ R \ Q .
D´ emontrer que pour tout entier naturel n, x n est bien d´ efini.
(b) On suppose dans cette question que x 0 ∈ Q et que pour tout entier naturel n, x n est bien d´ efini.
On consid` ere u 0 et v 0 deux entiers (u 0 ∈ N, v 0 ∈ N ∗ ) tels que x 0 = u v
00
.
i. D´ emontrer que pour tout entier naturel n, x n ∈ Q et que pour n ≥ 1, x n > 1.
ii. On d´ efinit par r´ ecurrence deux suites d’entiers (u n ) n∈ N et (v n ) n∈ N en posant, pour tout n ≥ 0, u n+1 = v n et v n+1 ´ egal au reste de la division euclidienne de u n par v n lorsque v n est non nul et 0 sinon.
D´ emontrer que l’on a, pour tout entier naturel n, v n > 0 et x n = u v
nn
