PCSI5 Lyc´ee Saint Louis
Devoir maison ` a rendre le 14/09/15
DM1
La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1
Premi` ere partie :
1. Soit gl’application d´efinie surR+ parg(x) = 2x2
x2+ 1−ln(x2+ 1).
(a) Etudier les variations deg, d´eterminer sa limite en +∞.
(b) En d´eduire que l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [1,+∞[.
(c) Prouver que 74 < α <2.
2. On note Γ la courbe repr´esentative de g. (On ne demande pas la construction de Γ).
(a) Ecrire une ´equation de la tangente T `a Γ au point d’abscisse 2.
D´eterminer la valeur exacte de l’abscisse x0 du point d’intersection de T et de x0Ox.
On noteν1 etν2 respectivement les valeurs approch´ees par d´efaut et par exc`es dex0 `a 10−3 pr`es. Des signes de g(ν1) et de g(ν2), d´eduire un encadrement de α `a 10−3 pr`es.
(b) Pr´eciser le signe de g sur R+.
Deuxi` eme partie :
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O,~i,~j), unit´e 2 cm. Soit f l’application d´efinie sur R parf(0) = 0 et
f(x) = ln(x2+ 1)
x si x6= 0.
On appelleC la courbe repr´esentative de f.
1. Montrer quef est d´erivable en 0. Etudier les variations def et sa limite en +∞.
2. Montrer que pour tout r´eel x >−1, on a ln(1 +x)≤x. En d´eduire la position relative deC et de sa tangente en 0.
3. Tracer la courbe C.
Exercice 2
On consid`ere la fonction f(x) = −x2+ 8x−12 x2−4x+ 3 .
a) Etudier la fonctionf, d´eterminer ses limite en ±∞et construire sa courbe repr´esentative.
b) Pour tout nombre r´eel r, on consid`ere l’ensemblef−1({r}) = [{x∈R/f(x) =r}.
Montrer qu’il contient en g´en´eral deux ´el´ements, et pr´eciser les cas d’exception.
c) On consid`ere la fonctiong d´efinie par g(x) = maxf−1({f(x)}).
Etudier la fonctiong et construire sa courbe repr´esentative.
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