Devoir surveill´ e du 13/02/16

PCSI5 Lyc´ee Saint Louis

Devoir surveill´ e du 13/02/16

DS6

La calculatrice est interdite. Dur´ee: 3h

La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. Les r´esultats doivent ˆetre encadr´es.

Exercice 1

Soit a,b deux r´eels fix´es tels que a < b. Soitf ∈ C²([a, b],R), trois fois d´erivable sur ]a, b[.

On souhaite prouver que :

∃c∈]a, b[, f(b) =f(a) + (b−a)f⁰

a+b 2 +x

+(b−a)³ 24 f⁽³⁾(c) Pour ce faire, on consid`ere la fonctionφ d´efinie par :

∀x∈

0,b−a 2

, φ(x) =f

a+b 2 +x

−f

a+b 2 −x

−2xf⁰

a+b 2

−Kx³

o`u K est choisi tel que φ

b−a 2

= 0.

1. Justifier queφ est bien d´efinie sur

0,b−a 2

. D´eterminer la constanteK.

2. Prouver qu’il existe c1 ∈

0,b−a 2

tel queφ⁰(c1) = 0.

3. Prouver qu’il existe c₂ ∈]0, c₁[ tel queφ⁰⁰(c₂) = 0.

4. Prouver qu’il existe c ∈

a+b

2 −c2,a+b 2 +c2

tel que f⁰⁰

a+b 2 +c2

−f⁰⁰

a+b 2 −c2

= 2c2f⁽³⁾(c).

5. En d´eduire le r´esultat.

Exercice 2

L’objectif du probl`eme est d’´etudier les ensemblesE etF suivants : E =

f ∈ C⁰(R,R)| ∀(x, y)∈R², f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y) . F est la partie constitu´ee des ´el´ementsf de E tels que :

ˆ f n’est pas la fonction identiquement nulle ;

ˆ f s’annule au moins une fois surR. Partie I.

1. Montrer que la fonction cos est dans l’ensembleE. 2. Montrer la formule :

∀(x, y)∈R², ch(x+y) =ch(x)ch(y) +sh(x)sh(y).

En d´eduire que la fonctionchest dans l’ensembleE.

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3. Soitf dansE. Montrer que pour tout r´eelα, la fonctionfαdeRdansRd´efinie parx7→fα(x) = f(αx) est dans E.

4. On fixe un ´el´ement f ∈ E. Montrer que : (a) f(0) = 0 ou 1 ;

(b) sif(0) = 0, alorsf est la fonction identiquement nulle ; (c) sif(0) = 1, alorsf est une fonction paire.

Partie II.

On se propose de d´eterminer les ´el´ements deF. Soitf un ´el´ement deF. On poseE={x >0|f(x) = 0}.

1. (a) Montrer quef(0) = 1, et quef s’annule au moins une fois surR^∗₊. (b) Montrer queE admet une borne inf´erieure que l’on notera a.

(c) Montrer que pour toutn∈N, il existeu_n∈E tel quea≤u_n≤a+ 1 n. (d) En d´eduire quef(a) = 0, puis que a >0.

(e) Montrer que∀x∈[0, a[, f(x)>0.

2. On consid`ere l’ensembleD_a=n ap

2^q |p∈Z, q∈N o

. (a) Soit x∈R. On d´efinit la suite (yn) par :

∀n∈N, y_n=ab²ⁿ_a^xc 2ⁿ .

Montrer que la suite (yn) est convergente et d´eterminer sa limite.

(b) En d´eduire que tout r´eel est limite d’une suite d’´el´ements de Da. 3. On poseω= π

2a, et on noteg la fonction deR dansRd´efinie par x7→g(x) = cos(ωx).

(a) i. Soit q ∈N. Montrer quef(₂^aq) + 1 = 2

f(₂q+1^a )2

. ii. En d´eduire, en raisonnant par r´ecurrence surq, que :

∀q∈N, f(a

2^q) =g(a 2^q).

iii. Montrer que pour tout q∈Netp∈N,f(p₂^aq) =g(p₂^aq).

(b) Prouver que pour tout x∈D_a,f(x) =g(x).

(c) En d´eduire quef =g.

4. En d´eduire tous les ´el´ements de F.

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Exercice 3

On consid`ere la fonction suivante :

f : [0,1] → R x7→ e^−x

2 2 . 1. (a) Montrer quef est deux fois d´erivable et que :

∀x∈[0,1], f⁰⁰(x) = (x²−1)f(x).

(b) En d´eduire les variations de la fonctionf⁰ sur[0,1].

(c) Montrer que pour tousα, β tels que 0≤α≤β≤1, on a :

f⁰(β)(β−α)≤f(β)−f(α)≤f⁰(α)(β−α).

2. Soit a∈]0,1[. On noteTa la tangente `a la courbe repr´esentative def au point d’abscissea.

(a) Donner une ´equation deTa.

Pour toutx∈R, on note u(x) l’ordonn´ee du point deT_a d’abscisse x, autrement dit, T_a a pour ´equationy =u(x).

(b) Montrer que :

∀x∈[0,1], f(x)≤u(x).

On pourra distinguer les cas 0≤x≤a <1 et 0< a≤x≤1.

Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

3. Soient a, b∈[0,1] tels quea < b. On note D_a,b la droite passant par les points de coordonn´ees (a, f(a)) et (b, f(b)).

(a) Donner une ´equation deD_a,b.

Pour toutx∈R, on notev(x) l’ordonn´ee du point deDa,bd’abscissex, autrement dit,Da,b

a pour ´equation y=v(x).

(b) i. Montrer qu’il existe c∈]a, b[ tel que :

f⁰(c) =v⁰(c).

ii. Montrer que :

∀x∈[a, b], f(x)≥v(x).

Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

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Exercice 4

Soit a∈[−1,1]. On suppose l’existence d’une applicationf, continue sur R, telle que

∀x∈R, f(x) = Z ax

0

f(t) dt.

1. Calcul des d´eriv´ees successives de f

(a) Justifier l’existence d’une primitiveF de f surR et ´ecrire alors, pour tout nombre r´eel x, Z ax

0

f(t)dt en fonction de x,aetF.

En d´eduire une expression def(x) en fonction en fonction de x,aetF

(b) Justifier la d´erivabilit´e def surR et exprimer, pour tout nombre r´eelx,f⁰(x) en fonction de x,aetf.

(c) D´emontrer que f est de classeC^∞ sur Ret que, pour tout nombre entier natureln, on a

∀x∈R, f⁽ⁿ⁾(x) =a^n(n+1)/2f(aⁿx).

(d) En d´eduire, pour tout nombre entier naturel n, la valeur de f⁽ⁿ⁾(0).

2. D´emontrer que, pour tout nombre r´eel x et tout nombre entiern, on a f(x) =

Z x

0

(x−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) dt.

On pourra utiliser une int´egration par parties.

3. Soit Aun nombre r´eel strictement positif.

(a) Justifier l’existence d’un nombre r´eel positif ou nulM tel que

∀x∈[−A;A], |f(x)| ≤M et en d´eduire que, pour tout nombre entier natureln, on a

∀x∈[−A;A], |f⁽ⁿ⁾(x)| ≤M.

(b) Soit x un nombre r´eel appartenant `a [−A;A]. D´emontrer que, pour tout nombre entier natureln, on a

|f(x)| ≤M Aⁿ⁺¹ (n+ 1)!. (c) On pose :

∀n∈N, un= Aⁿ n!. Montrer que :

n→+∞lim u_n+1

u_n = 0.

En d´eduire que lim

n→+∞un= 0.

(d) En d´eduire quef(x) = 0 pourx∈[−A, A].

4. Que peut-on en d´eduire sur la fonction f?

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