Int´ egrales de Wallis

(1)

ECS1 H. Boucher en autonomie Concours blanc blanc

Deux probl`emes, le premier plutˆot dans l’esprit de maths 1, le second un peu plus maths 2.

Problème 1 : première partie classiquissime (si vous ne devez faire qu’une seule chose, c’est celle-ci), deuxième partie plus théorique, troisième partie : une utilisation des intégrales de

Wallis.

Problème 2 : démonstrations de généralités sur les fonctions convexes (un peu théorique), puis les dernières questions présentent des utilisations classiques de la convexité. Le sujet avait été posé avant le cours sur la convexité ; j’ai laissé la présentation de la notion, pour

vous ce n’est qu’un rappel de cours.

Probl`eme 1

Le but de ce problème est de trouver un équivalent de n! quand n → +∞. Il se compose de trois parties. Les deux premières sont indépendantes et la troisième utilise les deux résultats finaux des parties précédentes. Ceux-ci pourront être admis pour poursuivre le problème.

Int´ egrales de Wallis

Pour tout n∈N, on pose In=

Z π/2 0

sinⁿ(t)dt et Jn= Z π/2

0

cosⁿ(t)dt 1. Calculer I0,I1 etI2

2. Montrer que pour toutn∈N, 0< I_n+16I_n.

3. En utilisant par exemple un changement de variable, montrer que∀n∈N, In=Jn. 4. Montrer `a l’aide d’une int´egration par parties que

∀n∈N, In+2= n+ 1 n+ 2In.

5. Compléter la fonction Scilab suivante qui prend en entrée un entiernet qui renvoie un vecteur contenant les 2n+ 2 premières valeurs de la suite (I_n).

function y = I(n) y = zeros(1, ... )

y(0) = ...

y(1) = ...

for k = 1 : n ...

end endfunction

6. `A l’aide d’un encadrement de In+1

I_n , montrer que In+1 ∼

n→+∞In.

7. Montrer que la suite ((n+ 1)I_nI_n+1) est constante et d´eterminer cette valeur.

8. En d´eduire un ´equivalent simple de In.

9. Pour k∈N, exprimerI_2k etI_2k+1 `a l’aide de factorielles.

10. D´eterminer lim

k→+∞

(2k+ 1)I2k+1

2kI_2k et en d´eduire queπ = lim

k→+∞

2^4k(k!)⁴ k((2k)!)². 1

(2)

Un encadrement

Soit a < bdeux nombres r´eels etf : [a,b]→Rune fonction concave de classeC². Soitg la fonction affine d´efinie sur [a,b] parg(a) =f(a) etg(b) =f(b).

11. Donner pour toutt∈[a,b] l’expression de g(t) en fonction de a, betf. 12. D´emontrer que

Z b a

g(t)dt6 Z b

a

f(t)dt (on pourra privilégier un argument géométrique).

13. Calculer Z b

a

g(t)dt.

14. Justifier l’existence du nombreM2 = max

t∈[a,b]|f⁰⁰(t)|.

15. Le but de cette question est de montrer que

∀t∈[a,b], f(t)−g(t)6M2

(t−a)(b−t)

2 . (`)

(a) Vérifier l’inégalité (`) pourt=aett=b.

(b) Soit t∈]a,b[. On pose h d´efinie sur [a,b] par h(x) =f(x)−g(x)−K(x−a)(b−x) o`u K est une constante telle queh(t) = 0. Montrer queh est de classeC² et donner l’expression de h⁰⁰.

(c) À l’aide du théorème de Rolle, montrer qu’il existec∈]a,b[ tel queh⁰⁰(c) = 0.

(d) En d´eduire que|K|6 M2

2 puis démontrer l’inégalité (`) souhaitée.

16. Montrer, à partir de l’inégalité (`) précédente, que Z b

a

f(t)dt− Z b

a

g(t)dt6M₂(b−a)³ 12 .

17. Soit n∈N^∗. Montrer que la fonctionf :x 7→ln(x) définie sur [n,n+ 1] vérifie bien les hypothèses de cette partie et en déduire l’encadrement

06

n+1 2

(ln(n+ 1)−ln(n))−16 1 12n².

Formule de Stirling

Etant donn´´ e n >1 un nombre entier, on pose u_n= ln

nⁿ⁺¹²e⁻ⁿ

−ln(n!) et v_n=u_n+ 1 12(n−1).

18. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes. On note `leur limite commune.

19. En calculant de deux mani`eres diff´erentes lim

n→+∞2u_n−u_2n, d´emontrer que`=−1

2ln(2π).

20. En d´eduire la formule de Stirling :

n! ∼

n→+∞

√ 2πn

n e

n

.

2

(3)

Probl`eme 2 Fonctions convexes

A Calcul pr´ eliminaire

1. Soitx < y < z trois nombres r´eels. On poseλ= z−y

z−x. Montrer que λ∈]0,1[ et quey=λx+ (1−λ)z.

B Le vif du sujet

Soit M₁ et M₂ d’abscisses respectives x₁ et x₂ ∈ R deux points de l’axe (Ox). Tout point du segment [M1M2] aura pour abscisse x ∈ [x1,x2]. D’après le calcul préliminaire, cette abscisse peut être exprimée comme λx₁ + (1−λ)x₂ avec λ∈ [0,1]. Par exemple, pour λ = 1, on obtient le point M₁, pour λ= 0, on obtient le point M₂ et pour λ = 1/2, on obtient le milieu du segment [M₁M₂]. Ainsi, on peut décrire le segment [x1,x2] comme l’ensemble des λx1+ (1−λ)x2 pour λ∈[0,1].

D´efinition 1

Soit I un intervalle deR. On dit quef :I →Rest convexesur I lorsque

∀x₁,x₂∈I,∀λ∈[0,1], f(λx₁+ (1−λ)x₂)6λf(x₁) + (1−λ)f(x₂).

A l’inverse, on dit que` f estconcave lorsque

∀x₁,x₂∈I,∀λ∈[0,1], f(λx₁+ (1−λ)x₂)>λf(x₁) + (1−λ)f(x₂).

On notera C_f la courbe repr´esentative de f.

2. Montrer quef est convexe si et seulement si l’arc deC_f compris entreM1 d’abscissex1etM2d’abscisse x2 est situ´e en dessous du segment [M1M2].

3. Montrer quef est convexe et concave si et seulement siC_f est une droite affine.

4. Montrer quef est concave si et seulement si−f est convexe.

5. Soitn>2 un nombre entier. Montrer que sif est convexe, alors pour tousx1, . . . ,xn∈I etλ1, . . . ,λn∈ Rtels que λ₁+. . .+λ_n= 1, on a

f(λ1x1+. . .+λnxn)6λ1f(x1) +. . . λnf(xn).

6. (a) Soit f convexe et soit α < β < γ. Soit λtel que β =λα+ (1−λ)γ (voir r´esultat pr´eliminaire).

Montrer les trois in´egalit´es suivantes.

f(γ)−f(β) > λ(f(γ)−f(α)) (1)

f(β)−f(α) 6 (1−λ)(f(γ)−f(α)) (2)

λ(f(β)−f(α)) 6 (1−λ)(f(γ)−f(β)) (3) (b) Montrer quef est convexe si et seulement si pour tout a∈I, la fonction

Φa : I\ {a} → R

x 7→ f(x)−f(a) x−a est croissante surI\ {a}.

3

(4)

7. (a) SoitP,QetRtrois assertions. Montrer que si on a





 P ⇒Q Q⇒R R⇒P

, alors on aP,QetR´equivalentes entre elles.

(b) Rappeler l’´equation de la tangente ena`a la courbeC_f.

(c) On suppose quef est dérivable. Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.

(i) f est convexe.

(ii) f⁰ est croissante.

(iii) La courbe C_f est au dessus de ses tangentes.

8. Supposonsf deux fois dérivable (i.e.dérivable et telle quef⁰soit dérivable). Montrer quef est convexe si et seulement sif⁰⁰ est positive.

9. Montrer que exp est convexe. En d´eduire que

∀t∈R^∗+,ln(1 +t)6t.

10. Montrer quet7→ −ln(t) est convexe. En d´eduire que sin∈N^∗, alors pour tous x1, . . . ,xn∈I, on a (x₁×. . .×x_n)^1/n6 x₁+. . .+x_n

n .

11. (a) Soitf : [A,+∞[→Rune fonction convexe et major´ee. Montrer quef est d´ecroissante sur [A,+∞[.

(b) Soit f :]− ∞,B]→Rune fonction convexe et major´ee. Que dire de f? (c) Soit f :R→R une fonction convexe et major´ee. Que dire de f?

(d) Application : soitq :R→Rune fonction continue, positive, non identiquement nulle surR. Soit hune fonction deux fois d´erivable surRtelle que pour toutx∈R,h⁰⁰(x) +q(x)h(x) = 0. Montrer queh s’annule sur R.

4