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Les calculatrices sont autoris´ees
Le sujet est compos´e de deux exercices et d’un probl`eme, tous ind´ependants.
I : PREMIER EXERCICE
I.1. On noteD={(x, y)∈R2, x2+y2≤1}, calculer l’int´egrale double
¨
D
1
1 +x2+y2dxdy.
II : DEUXIEME EXERCICE
aetb´etant deux fonctions continues surR, on note l’´equation diff´erentielle (E) : x2y′′+a(x)y′+b(x)y= 0.
On noteS+ l’espace vectoriel des solutions de (E) sur l’intervalleI= ]0,+∞[ etS− l’espace vectoriel des solutions de (E) sur l’intervalleJ= ]−∞,0[ .
L’objectif de cet exercice est d’´etudier la dimension de l’espace vectorielSdes fonctionsyde classeC2surRv´erifiant (E) surRtout entier.
II.1. Donner la dimension des espaces vectorielsS+ etS−.
II.2. On note ϕl’application lin´eaire de S versS+×S− d´efinie par ϕ(f) = (fI, fJ) o`u fI
d´esigne la restriction de la fonctionf `a l’intervalleI etfJ d´esigne la restriction de la fonctionf `a l’intervalleJ.
Donner le noyau de l’applicationϕet en d´eduire que dimS≤4.
II.3. Dans cette question, on consid`erea(x) =xetb(x) = 0, d’o`u (E) : x2y′′+xy′= 0. D´eterminerS+etS−.
D´eterminer ensuiteSet donner sans d´etails la dimension deS.
II.4. Dans cette question (E) :x2y′′−6xy′+ 12y= 0.
D´eterminer deux solutions surIde cette ´equation de la formex−→xα(αr´eel).
En d´eduireS+puisS−.
D´eterminerSet donner la dimension deS.
II.5. Donner un exemple d’´equation diff´erentielle du type (E) : x2y′′+a(x)y′+b(x)y= 0 tel que dimS= 0 (on d´etaillera).
On pourra, par exemple, s’inspirer de la question pr´ec´edente.
III : PROBLEME
Premi` ere partie : convergence de s´ eries par transformation d’Abel
III.1. On consid`ere une suite de r´eels (an), une suite de complexes (bn) et on note pour tout entier natureln:Sn=
n
k=0
akbketBn=
n
k=0
bk.
En remarquant que, pourk≥1,bk=Bk−Bk−1, d´emontrer que, pour tout entier naturel nnon nul,
Sn=
n−1
k=0
(ak−ak+1)Bk+anBn(transformation d’Abel).
III.2. On suppose que la suite (Bn) est born´ee et que la suite (an) est d´ecroissante de limite nulle.
III.2.a D´emontrer que la s´erie
k≥0
(ak−ak+1) converge.
III.2.b En d´eduire que la s´erie
n≥0
anbnconverge.
III.2.c En appliquant le r´esultat pr´ec´edent au cas o`ubn= (−1)n, donner une d´emonstration du th´eor`eme des s´eries altern´ees, apr`es l’avoir ´enonc´e.
III.3. Exemple.
Dans cette question,θest un r´eel diff´erent de 2kπ(k∈Z) etα∈R. III.3.a Calculer pournentier naturel non nul,
n
k=1
eikθ. III.3.b Discuter en fonction du r´eelαla nature de la s´erie
n≥1
einθ nα. III.4. Soit la s´erie de fonctions
n≥1
uno`u pourxr´eel etnentier naturel non nul,un(x) =sin(nx)
√n . D´emontrer que cette s´erie de fonctions converge simplement en tout point deR. On pourra utiliser sans d´emonstration le fait qu’une s´erie de complexes
unconverge si et seulement si, les deux s´eries ayant pour termes g´en´eraux les parties r´eelles et parties imaginaires (c’est-`a-dire
Re(un) et
Im(un) ) convergent.
On noteraUsa fonction somme : pour tout r´eelx,U(x) =
+∞
n=1
sin(nx)
√n .
Deuxi` eme partie : convergence uniforme de s´ eries
III.5. On consid`ere une suite de r´eels (an) et (fn) une suite de fonctions d´efinies sur une partie AdeCet `a valeurs dansC.
On pose, pour toutz∈Aet pour tout entier natureln,Fn(z) =
n
k=0
fk(z).
On suppose que la suite (an) est d´ecroissante de limite nulle et qu’il existeM∈R+,tel que pour toutz∈Aet toutn∈N,|Fn(z)| ≤M (on dit que la suite (Fn) est uniform´ement born´ee).
III.5.a D´emontrer que la suite (anFn) converge uniform´ement surAet que la s´erie de fonc- tions
k≥0
(ak−ak+1)Fkconverge normalement surA.
III.5.b A l’aide d’une transformation d’Abel, en d´eduire que la s´erie de fonctions anfn converge uniform´ement surA.
III.6. Exemple.
Pourxr´eel etnentier naturel non nul,un(x) = sin(nx)
√n . III.6.a D´emontrer que pourx∈R, 1−eix=−2isin(x/2)ei x/2.
D´emontrer que la s´erie de fonctions
n≥1
unconverge uniform´ement sur tout intervalle [a,2π−a] o`ua∈]0, π[.
En d´eduire que la fonctionU est continue sur l’intervalle ]0,2π[.
III.6.b Pourpentier naturel, on consid`ere la s´erie de fonctions
n≥1
vn o`u pour xr´eel etn entier naturel non nul,vn(x) =sin(nx) sin(px)
√n .
D´emontrer que, pour tout entier naturel p, la s´erie de fonctions
n≥1
vn converge uniform´ement sur l’intervalle [0, π].
On pourra, par exemple, utiliser sans d´emonstration, que : pour tout x∈[0, π], x
π ≤sinx 2
.
III.6.c On se propose dans cette question de d´emontrer que la fonctionUn’est pas continue par morceaux surR.
Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que la fonctionUest continue par morceaux surR.
i. D´eterminer alors les coefficients de Fourier de la fonctionU.
On pourra utiliser pourpetnentiers naturels non nuls : p=n,
ˆ π
0
sin(nx) sin(px)dx= 0 et pourp=n ˆ π
0
sin(nx) sin(px)dx=π 2. ii. En utilisant la formule de Parseval, aboutir `a une contradiction.
Troisi` eme partie : convergence uniforme d’une s´ erie enti` ere
III.7. Si
n≥0
anzn est une s´erie enti`ere de la variable complexe de rayon R > 0, rappeler le r´esultat du cours concernant la convergence uniforme de cette s´erie.
III.8. On consid`ere la s´erie enti`ere de la variable complexe
n≥1
zn
√n de rayon 1.
III.8.a On noteD={z∈C,|z|<1}.
D´emontrer que la s´erie enti`ere de la variable r´eelle
n≥1
xn
√n ne converge pas uni- form´ement sur ]−1,1[ (en particulier la s´erie
n≥1
zn
√nne converge pas uniform´ement surD).
III.8.b On pourra confondre un point deR2et son affixe.
Pourα∈ 0,π
2
,on noteDαl’ensemble des complexesz, tels que|z| ≤1 et dont la partie r´eelle v´erifie Re(z)≤cosα.
Repr´esenter g´eom´etriquement l’ensembleDα dans un rep`ere orthonorm´e du plan.
III.8.c D´emontrer queDαest une partie ferm´ee deC. On pourra ´ecrire :
Dα=
(x, y)∈R2, x2+y2≤1
∩
(x, y)∈R2, x≤cosα et d´emontrer queDαest une partie ferm´ee deR2.
En d´eduire queDα est une partie compacte deC. III.8.d On note pourz∈Cetnentier naturel,Fn(z) =
n
k=0
zk.
D´emontrer que pour toutz∈Dα et tout entier natureln, six= Re(z) :
|Fn(z)| ≤ 2
1−x≤ 2
1−cosα. III.8.e D´emontrer que la s´erie enti`ere
n≥1
zn
√n converge uniform´ement sur tous les compacts Dα
pourα∈ 0,π
2 .
Fin de l’´enonc´e
