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Exercice 1. Soit a = (a n ) n∈ N une suite complexe. On note R a le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ( P

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Texte intégral

(1)

2018-2019 M1EEF – UGA

Feuille 3 : S´ eries enti` eres

Exercice 1. Soit a = (a n ) n∈ N une suite complexe. On note R a le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ( P

n∈ N a n z n ) et on d´ efinit

E born´ e (a) = {z ∈ C : (a n z n ) n est born´ ee}, E 0 (a) = {z ∈ C : (a n z n ) n tend vers 0}

E CV (a) = {z ∈ C : (Σa n z n ) CV} et E CVA (a) = {z ∈ C : (Σa n z n ) CVA}.

1. Justifier que E CVA ⊂ E CV ⊂ E 0 ⊂ E born´ e .

2. Soit z ∈ E born´ e . Montrer que si y ∈ C satisfait |y| < |z|, alors y ∈ E CVA (a) (on pourra

´ ecrire, si z 6= 0, a n y n = a n z n ( y z ) n ).

3. En d´ eduire que D(0, R a ) ⊂ E CVA et que E born´ e ⊂ D(0, R ¯ a ).

4. Soit R ∈ R + ∪ {+∞} et E un sous-ensemble de C tel que D(0, R) ⊂ E ⊂ D(0, R). ¯ Montrer que sup{|z| : z ∈ E} = R.

5. En d´ eduire que

R a = sup

z∈E

born´e

(a)

|z| = sup

z∈E

0

(a)

|z| = sup

z∈E

CVA

|z|.

Ainsi, on a montr´ e que, ´ etant donn´ ee une s´ erie enti` ere ( P

n∈ N a n z n ),

si pour un z ∈ C donn´ e,

(a n z n ) est born´ ee ou (a n z n ) CV vers 0 ou ( P

a n z n ) CV ou ( P

a n z n ) CVA

alors R a ≥ |z|.

et inversement,

si pour un z ∈ C donn´ e,

(a n z n ) n’est pas born´ ee ou (a n z n ) diverge

ou ( P

a n z n ) DV ou ( P |a n z n |) DV

alors R a ≤ |z|.

Exercice 2. R` egle(s) de d’Alembert.

1. Soit u = (u n ) n∈ N une suite r´ eelle strictement positive.

(a) On suppose que ( u

n+1

u

n

) n converge vers l < 1. Justifier qu’il existe α ∈ [0, 1[ tel que pour tout n ∈ N , u n+1 ≤ αu n . En d´ eduire que la s´ erie ( P

n u n ) converge.

(b) On suppose que ( u

n+1

u

n

) n tend vers l ∈]1, +∞[∪{+∞}. Justifier qu’il existe α > 1 tel que pour tout n ∈ N , u n+1 ≥ αu n . En d´ eduire que la s´ erie ( P

n u n ) diverge.

(2)

(c) Donner un exemple de suite (u n ) n telle que ( u

n+1

u

n

) n converge vers 1 et telle que ( P

n u n ) converge (resp. diverge).

2. Soit a = (a n ) n∈ N une suite complexe ne s’annulant pas. On suppose que (| a

n+1

a

n

|) n admet une limite l (finie ou non).

(a) On suppose l ∈]0, +∞[. En posant, pour z ∈ C , u n = a n z n , justifier ` a l’aide du 1.

(avec les notations de l’exercice pr´ ec´ edent) que

D(0, 1 l ) ⊂ E CVA (a) ⊂ D(0, ¯ 1 l )

et en d´ eduire le rayon de convergence R a de la s´ erie enti` ere ( P

n∈ N a n z n ).

(b) On suppose l = 0. Montrer que E CVA (a) = C et en d´ eduire R a . (c) On suppose l = +∞. Montrer que E CVA (a) = {0} et en d´ eduire R a .

On a ainsi d´ emontr´ e la :

R` egle de d’Alembert pour les s´ eries enti` eres : Si une suite (a n ) n de complexes non nuls satisfait lim n→+∞ | a

n+1

a

n

| = l alors le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ( P

n∈ N a n z n ) est 1 l (avec la convention 1 0 = +∞ et +∞ 1 = 0).

Exercice 3. On consid` ere la fonction f : R → R d´ efinie par : f(0) = 0 et ∀x ∈ R ∗ , f (x) = e −

x12

.

1. Justifier que f est C ∞ sur R ∗ et montrer par r´ ecurrence que, pour tout k ∈ N , il existe un polynˆ ome P k tel que pour tout x ∈ R ∗ , f (k) (x) = P k ( x 1 ) × f(x).

2. ´ Etudier, pour tout k ∈ N , la limite en 0 de f (k) , et en d´ eduire, par r´ ecurrence, que f est C ∞ sur R . Quelles sont ses d´ eriv´ ees successives en 0 ?

3. La fonction f est-elle d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0 ?

Exercice 4. On admet que l’´ equation y 0 = y admet une unique solution sur R valant 1 en 0, que l’on appelle fonction exponentielle, not´ ee exp.

1. D´ eterminer le rayon de convergence de sa s´ erie de Taylor ( P

n∈ N

exp

(n)

(0)

n! x n ) = ( P

n∈ N x

n

n! ) (puisque exp (n) (0) = 1 par une r´ ecurrence imm´ ediate).

2. Montrer que la fonction f : x 7→ P +∞

n=0 x

n

n! est bien d´ efinie sur R , solution de y 0 = y, et vaut 1 en 0.

3. En d´ eduire que exp est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0, donner ce d´ eveloppement et son domaine de validit´ e.

Exercice 5. Soit α ∈ R \ {1}. On d´ efinit f α : I =] − 1, +∞[→ R par f α (x) = (1 + x) α . 1. Montrer que f α est solution sur I d’une ´ equation diff´ erentielle lin´ eaire homog` ene d’ordre

1 que l’on notera (E α ).

2. Supposons que f α soit d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0. D´ eterminer ` a

l’aide de (E α ) les coefficients a n de ce d´ eveloppement.

(3)

3. D´ eterminer le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere ( P

n a n z n ) pour la suite (a n ) n de la question pr´ ec´ edente.

4. En d´ eduire soigneusement que f α est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere au voisinage de 0, donner ce d´ eveloppement et son domaine de validit´ e.

Exercice 6. D´ eterminer les rayons de convergence des s´ eries enti` eres de terme g´ en´ eral : (a) 3 n z n , (b) n!z n , (c) z n

n! , (d) n n

n! z n , (e) 2 −n (1 + n 1 ) n

2

z n (f ) 2 n z 2n , c’est ` a dire la s´ erie enti` ere X

a n z n avec a n =

( 0 si n est impair 2

n2

si n est pair (g) a n z n avec a n =

( 1 si n est impair 2 n si n est pair.

Exercice 7. D´ eterminer le rayon de convergence et la somme des s´ eries enti` eres suivantes : (a) X

n≥2

x n

n(n − 1) , (b) X

n≥0

n(n+1)x n , (c) X

n≥0

3n

n + 2 x n , (d) X

n≥0

n 2 + n − 1 n! x n .

Exercice 8.

Partie I

Soit (a n ) n∈ N une suite ` a termes positifs telle que la s´ erie enti` ere P

n≥0 a n x n admette un rayon de convergence R strictement positif. On note :

∀x ∈ ] − R, R[, f(x) =

+∞

X

n=0

a n x n .

1. Montrer que f (x) admet une limite finie lorsque x tend vers R par valeurs inf´ erieures si et seulement si f est major´ ee sur [0, R[.

On suppose dans la suite de cette partie que l’une de ces conditions ´ equivalentes est satisfaite et on note L la limite.

2.a. Montrer que pour tout n entier naturel :

n

X

k=0

a k R k ≤ L.

2.b. En d´ eduire que la s´ erie de terme g´ en´ eral a n R n est convergente.

2.c. Montrer que la s´ erie enti` ere est normalement convergente sur [−R, R]. En d´ eduire que :

+∞

X

n=0

a n R n = lim

x→R

−

f(x).

(4)

Partie II Soit (E) l’´ equation diff´ erentielle :

4x 2 y 00 (x) + 4xy 0 (x) − y = x 1 − x .

3. On note I =]0, 1[. Quelle est la structure de l’ensemble des solutions de (E) sur I ? 4. D´ evelopper en s´ erie enti` ere autour de l’origine les fonctions x 7→ 1−x 1 et x 7→ 1+x 1 . Pr´ eciser les domaines de convergence des s´ eries obtenues.

5. Trouver une solution de (E) d´ eveloppable en s´ erie enti` ere autour de l’origine. Pr´ eciser le rayon de convergence de la s´ erie obtenue.

6. Soit ϕ : x ∈ I 7→ ϕ(x) = P +∞

n=1 x

n

4n

2

−1 .

6.a. D´ eterminer les constantes α et β telles que :

∀n ≥ 1, 1

4n 2 − 1 = α

2n − 1 + β 2n + 1 . 6.b. Soient pour x ∈ I et u ∈ I, H(x) = P +∞

n=0 x

n

2n+1 et h(u) = P +∞

n=0 u

2n+1

2n+1 . Montrer que h(u) = ln

r 1 + u 1 − u .

6.c. En d´ eduire une expression simple de H(x). On pourra poser u = √ x.

6.d. En d´ eduire une expression de ϕ(x) ` a l’aide des fonctions usuelles.

6.e. Calculer la valeur de L = lim x→1

−

ϕ(x).

6.f. En d´ eduire, grˆ ace au r´ esultat de la partie I, la valeur de S = P +∞

n=0 1 4n

2

−1 .

7. On se propose dans cette question de retrouver la valeur de S directement. Soit, pour tout n ∈ N ∗ , S n = P n

k=1 1

4k

2

−1 . Prouver que

∀n ∈ N ∗ , S n = 1 2

1 − 1

2n + 1

.

Conclure.

Références

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