D´ eterminer le rayon de convergence des s´ eries enti` eres de termes g´ en´ eraux :

Universit´ e Lille 1 2012–13 Outils Math´ ematiques pour les Sciences (M48.PC) Feuille 3

S´ eries enti` eres

Exercice 1

D´ eterminer le rayon de convergence des s´ eries enti` eres de termes g´ en´ eraux :

a) ^{√ z}

_n ; b) ⁿ _n!

z ⁿ ; c) ⁽⁻¹⁾ _n

z ⁿ ; d) ⁽⁻²⁾ _n+1

z ³ⁿ⁺¹ ; e) _n+1 ²

z ²ⁿ⁺¹ ; f) ^z ₈

; g) _(ln ^z _n)

. Exercice 2

Soit P

a _n z ⁿ une s´ erie enti` ere dont tous les coefficients sont non nuls. On suppose que

n→∞ lim

a _2n+1 a _2n

= λ et

a _2n+2 a _2n+1

= µ.

o` u λ, µ > 0. Montrer que le rayon de convergence de la s´ erie enti` ere est R = ^{√ 1} _λµ . Exercice 3

D´ eterminer le rayon de convergence R des s´ eries enti` eres r´ eelles suivantes et ´ etudier leur nature en x = R et x = −R.

a) P

[ln(n + 1) − ln(n)] x ⁿ ; b) P _2n−1

n+1

2n

x ⁿ ; c) P

tanh(n) x ⁿ . Exercice 4

D´ evelopper en s´ erie enti` ere en 0 les fonctions r´ eelles suivantes, en pr´ ecisant chaque fois le rayon de convergence :

a) f (x) = sin(3x) + x cos(3x) ; b) f (x) = cos ² (x) ; c) f (x) = ln(x ² + 3x + 2) ; d) f (x) = _4−x ¹

; e) f (x) = ^√ _4−x ¹

; f) f (x) = arcsin(x) ; g) f (x) = R x

0 e ^−t

dt ; h) f (x) = _{(x−1)(2−x)} ^x

.

Exercice 5

Montrer que les s´ eries enti` eres r´ eelles suivantes ont rayon de convergence 1 : a) ( P k

n=0 (−1) ⁿ⁺¹ n x ²ⁿ⁺¹ ) _k>0 ; b) ( P k

n=0 (an ² + bn + c) x ⁿ ) _k>0 o` u a, b, c ∈ R \ {0} ; c) ( P k

n=1 x

n(n+2) ) _k>1 ; d) ( P k n=0

n

−n+4

n+1 x ⁿ ) _k>0 .

Exprimer la somme par des fonctions classiques : a), b) pour x ∈ (−1, 1) ; c), d) pour x ∈ (−1, 1) \ {0}.

Exercice 6

On consid` ere une s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a _n x ⁿ (n > 0), de rayon de convergence R > 0, et de somme s. On suppose que s est une solution de l’´ equation diff´ erentielle

(1 + x ² )y ⁰⁰ (x) = 2y(x).

1

a) ´ Etablir une relation liant pour chaque n ∈ N les coefficients a _n et a _n+2 . En d´ eduire la valeur de a _2p pour tout p > 2.

b) On suppose d´ esormais que s(0) = 0 et s ⁰ (0) = 1. Calculer a ₀ , a ₂ et a _2p+1 pour tout p ∈ N . c) Montrer que R = 1 et que la s´ erie enti` ere de terme g´ en´ eral a _n x ⁿ converge aussi en x = 1

et x = −1.

d) Posons g(x) = ^s

^(x)−1 _x pour x ∈ (−1, 1) \ {0}. D´ eterminer explicitement la d´ eriv´ ee g ⁰ de g.

e) Exprimer sous forme explicite s sur [−1, 1].

Exercice 7

En utilisant d’abord un d´ eveloppement en s´ erie enti` ere, trouver sous forme explicite l’unique solution y, C ^∞ sur (−1, 1), de l’´ equation diff´ erentielle (r´ eelle)

x ² (1 − x)y ⁰⁰ − x(1 + x)y ⁰ + y = 0 avec les conditions initiales y(0) = 0 et y ⁰ (0) = 1.

Exercice 8

A l’aide de la m´ ethode de l’´ equation diff´ erentielle, d´ evelopper en s´ erie enti` ere sur (−1, 1) les fonctions r´ eelles suivantes :

a) f (x) = (arcsin x) ² ; b) f(x) = exp(arcsin x).

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