1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

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(1)

L2 Novembre 2006

Les t´ el´ ephones portables et les calculettes sont interdits

1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

• u _n = √ n 2 ⁻

√ n ,

• u n = sin(n)+log(n) n

⁴

+cos(n) ,

• u _n = n

ⁿ¹

,

• u _n = (1 − _n ¹ ) ⁿ

,

• u _n = ^√ _n−ln(n) ⁽⁻¹⁾

ⁿ

,

• u _n = ^√ ¹ _n − √

nsin( _n ¹ ),

• u n = tg(π/n),

• u _n = 5×11×17×···×6n−1 5×12×19×···×7n−2 ,

• u _n = (−1) ⁿ

√ n + cos(n) .

2. D´ eterminer la nature des int´ egrales impropres suivantes :

• ^R ₀ ^+∞ e ⁻

√ x dx,

• ^R ₁ ^+∞ _ln(x)(x ¹

+1) dx,

• ^R ₀ ^+∞ t ⁴ e ^−t dt,

• ^R ₀ ¹ √ ^dt

e

^t²

−1 ,

• ^R ₀ ^+∞ ^√ ^sin(t) _t−ln(t) dt.

3. Donner en fonction de α ∈ R une condition n´ ecessaire et suffisante pour l’int´ egrale suivante converge :

1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

L2 Novembre 2006

Les t´ el´ ephones portables et les calculettes sont interdits

1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

• u _n = √ n 2 ⁻

√ n ,

• u n = sin(n)+log(n) n

+cos(n) ,

• u _n = n

,

• u _n = (1 − _n ¹ ) ⁿ

,

• u _n = ^√ _n−ln(n) ⁽⁻¹⁾

,

• u _n = ^√ ¹ _n − √

nsin( _n ¹ ),

• u n = tg(π/n),

• u _n = 5×11×17×···×6n−1 5×12×19×···×7n−2 ,

• u _n = (−1) ⁿ

√ n + cos(n) .

2. D´ eterminer la nature des int´ egrales impropres suivantes :

• ^R ₀ ^+∞ e ⁻

√ x dx,

• ^R ₁ ^+∞ _ln(x)(x ¹

+1) dx,

• ^R ₀ ^+∞ t ⁴ e ^−t dt,

• ^R ₀ ¹ √ ^dt

e

−1 ,

• ^R ₀ ^+∞ ^√ ^sin(t) _t−ln(t) dt.

3. Donner en fonction de α ∈ R une condition n´ ecessaire et suffisante pour l’int´ egrale suivante converge :

Z +∞

0

ln(t) t ^α−1 e ^−t dt

4. Etudier et calculer

Z π/2 0

ln(sin(t))dt

On pourra comparer ^R ₀ ^π/2 ln(cos(t))dt et ´ etudier la somme.

1

1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

L2 Novembre 2006

Les t´ el´ ephones portables et les calculettes sont interdits

1. D´ eterminer la nature des s´ eries de termes g´ en´ eraux :

• u n = √ n 2 −

√ n ,

• u n = sin(n)+log(n) n

+cos(n) ,

• u n = n

,

• u n = (1 − n 1 ) n

,

• u n = √ n−ln(n) (−1)

,

• u n = √ 1 n − √

nsin( n 1 ),

• u n = tg(π/n),

• u n = 5×11×17×···×6n−1 5×12×19×···×7n−2 ,

• u n = (−1) n

√ n + cos(n) .

2. D´ eterminer la nature des int´ egrales impropres suivantes :

• R 0 +∞ e −

√ x dx,

• R 1 +∞ ln(x)(x 1

+1) dx,

• R 0 +∞ t 4 e −t dt,

• R 0 1 √ dt

e

−1 ,

• R 0 +∞ √ sin(t) t−ln(t) dt.

3. Donner en fonction de α ∈ R une condition n´ ecessaire et suffisante pour l’int´ egrale suivante converge :

Z +∞

0

ln(t) t α−1 e −t dt

4. Etudier et calculer

Z π/2 0

ln(sin(t))dt

On pourra comparer R 0 π/2 ln(cos(t))dt et ´ etudier la somme.

1

• u _n = √ n 2 ⁻

• u _n = n

• u _n = (1 − _n ¹ ) ⁿ

• u _n = ^√ _n−ln(n) ⁽⁻¹⁾

• u _n = ^√ ¹ _n − √

nsin( _n ¹ ),

• u _n = 5×11×17×···×6n−1 5×12×19×···×7n−2 ,

• u _n = (−1) ⁿ

• ^R ₀ ^+∞ e ⁻

• ^R ₁ ^+∞ _ln(x)(x ¹

• ^R ₀ ^+∞ t ⁴ e ^−t dt,

• ^R ₀ ¹ √ ^dt

• ^R ₀ ^+∞ ^√ ^sin(t) _t−ln(t) dt.

ln(t) t ^α−1 e ^−t dt

On pourra comparer ^R ₀ ^π/2 ln(cos(t))dt et ´ etudier la somme.