1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

NOTE DE PRÉSENTATION

Les présents arrêtés, au nombre de trois, vous sont soumis pour visa avant présentation devant les instances consultatives.

Ils s’inscrivent dans la seconde phase du chantier de rénovation des programmes des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE) de la filière économique et commerciale, phase consacrée aux programmes de seconde année.

Cependant, l’écriture des nouveaux programmes de seconde année de langues vivantes étrangères, ainsi que :

- d’économie approfondie et d’économie, de sociologie et d’histoire du monde contemporain (ESH), pour l’option économique (ECE),

- d’économie et d’histoire, de géographie et de sociologie du monde contemporain, pour l’option scientifique (ECS),

- d’économie, de droit et de management et sciences de gestion, pour l’option technologique (ECT),

ayant pu être menée à bien en même temps que celle des programmes de première année, cette seconde phase ne concerne plus, en fait, pour la filière économique et commerciale, que le programme de mathématiques-informatique de chacune des trois options.

Ces programmes de seconde année de mathématiques-informatique ont été élaborés selon les mêmes principes et les mêmes modalités que les programmes de la filière économique et commerciale publiés au printemps dernier. Du 20 mai au 30 juin 2013, ils ont fait l’objet d’une consultation publique en ligne, sur le site du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche. Les 30 commentaires recueillis ont donné lieu à des corrections substantielles.

Ces programmes entreront en vigueur à la rentrée 2014 pour les options ECE et ECS, et à la rentrée 2015 pour l’option ECT.

Les présents arrêtés n’affectent en rien les volumes horaires des enseignements concernés.

Direction générale pour l'enseignement supérieur et l’insertion professionnelle

Service de la stratégie de l’enseignement supérieur et de l’insertion professionnelle

Département de l’architecture et de la qualité des formations de niveau licence

RÉPUBLIQUE FRANÇAISE

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche

Arrêté du 2013

relatif au programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE)

NOR ESRS A

Le ministre de l’éducation nationale et la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche,

Vu le code de l’éducation, et notamment ses articles D. 612-19 à D. 612-29 ;

Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant la nature des classes composant les classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant l'organisation générale des études et les horaires des classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

Vu l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié, définissant les objectifs de formation et le programme des classes préparatoires de première et seconde année économiques et commerciales, option économique (ECE) ; Vu l’avis du ministre de la défense en date du 2013 ;

Vu l’avis du Conseil national de l’enseignement supérieur et de la recherche en date du 2013 ; Vu l’avis du Conseil supérieur de l’éducation en date du 2013,

Arrêtent :

Article 1^er

Le programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE), figurant en annexe 1 de l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié susvisé, est remplacé par celui annexé au présent arrêté.

Article 2

Le programme du présent arrêté entre en vigueur à compter de la rentrée universitaire 2014.

Article 3

Le directeur général de l’enseignement scolaire et la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion professionnelle sont chargés, chacun en ce qui le concerne, de l’exécution du présent arrêté, qui sera publié au Journal officiel de la République française.

Fait le 2013

Pour le ministre de l’éducation nationale et par délégation :

Le directeur général de l’enseignement scolaire, J.-P. DELAHAYE

Pour la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche et par délégation :

Par empêchement de la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion

professionnelle, J.- M. JOLION

NB : Le présent arrêté et son annexe seront consultables au Bulletin officiel du ministère de

l’enseignement supérieur et de la recherche et au Bulletin officiel du ministère de l’éducation nationale du mis en ligne sur les sites www.enseignementsup-recherche.gouv.fr et www.education.gouv.fr

ANNEXE

Table des mati` eres

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees 3

3 Architecture des programmes 3

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE 5

I - Alg` ebre lin´ eaire 5

1 - Calcul vectoriel, calcul matriciel . . . . 5

a) Espaces vectoriels r´ eels . . . . 5

b) G´ en´ eralit´ es sur les applications lin´ eaires . . . . 6

c) Applications lin´ eaires en dimension finie . . . . 6

2 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees . . . . 7

a) R´ eduction des endomorphismes . . . . 7

b) R´ eduction des matrices carr´ ees . . . . 7

II - Compl´ ements d’analyse 8 1 - Compl´ ements sur les suites et les s´ eries . . . . 8

a) Comparaison des suites r´ eelles . . . . 8

b) Suites r´ ecurrentes du type u

_n+1

= f (u

_n

) . . . . 8

c) Compl´ ements sur les s´ eries . . . . 8

2 - Compl´ ements sur l’´ etude des fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle . . . . 8

a) Comparaison des fonctions au voisinage d’un point . . . . 8

b) D´ eveloppements limit´ es . . . . 9

3 - Compl´ ements sur l’int´ egration g´ en´ eralis´ ee ` a un intervalle quelconque . . . . 9

a) Convergence des int´ egrales de fonctions positives sur un intervalle de type [a, +∞[ ou ]

− ∞, a] . . .

9

b) Int´ egrales sur un intervalle de type [a, b[ ou ]a, b] . . . . 10

c) Extension au cas de fonctions ayant un nombre fini de points de discontinuit´ e sur un intervalle I . . . . 10

III - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires discr` etes 10 1 - Couples de variables al´ eatoires discr` etes . . . . 10

2 - Suites de variables al´ eatoires discr` etes . . . . 12

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE 12

I - Fonctions num´ eriques de deux variables r´ eelles 12

1 - Fonctions continues sur R

²

. . . . 12

2 - Calcul diff´ erentiel pour les fonctions d´ efinies sur R

²

. . . . 13

3 - Extrema d’une fonction de deux variables r´ eelles . . . . 14

II - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles 14 1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles quelconques . . . . 15

2 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e . . . . 15

a) R´ egularit´ e des fonctions de r´ epartition . . . . 15

b) Exemples simples de transferts . . . . 15

c) Compl´ ements sur les lois usuelles . . . . 16

d) Moments d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e . . . . 16

III - Convergences et approximations ; estimation 16 1 - Convergences et approximations . . . . 16

a) In´ egalit´ e de Markov, in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev . . . . 16

b) Loi faible des grands nombres . . . . 17

c) Convergence en loi . . . . 17

2 - Estimation . . . . 18

a) Estimation ponctuelle . . . . 18

b) Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique . . . . 19

TRAVAUX PRATIQUES DE MATH´ EMATIQUES AVEC SCILAB 21 I - Liste des exigibles 21 1 - Savoir-faire et comp´ etences . . . . 21

2 - Nouvelles commandes . . . . 22

II - Liste des th` emes 22 1 - Statistiques descriptives univari´ ees . . . . 22

2 - Statistiques descriptives bivari´ ees . . . . 22

3 - Chaˆınes de Markov . . . . 23

4 - Fonctions de deux variables . . . . 23

5 - Simulation de lois . . . . 23

6 - Estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance . . . . 24

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation

Les math´ ematiques jouent un rˆ ole important en sciences ´ economiques et en gestion, dans les domaines notamment de la finance ou de la gestion d’entreprise, de la finance de march´ e, des sciences sociales.

Les probabilit´ es et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’´ economie et dans une grande vari´ et´ e de contextes (actuariat, biologie, ´ epid´ emiologie, finance quantitative, pr´ evision ´ economique...) o` u la mod´ elisation de ph´ enom` enes al´ eatoires ` a partir de bases de donn´ ees est indispensable.

L’objectif de la formation dans les classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales n’est pas de former des professionnels des math´ ematiques, mais des personnes capables d’utiliser des outils math´ e- matiques ou d’en comprendre l’usage dans diverses situations de leur parcours acad´ emique et profes- sionnel.

Les programmes d´ efinissent les objectifs de l’enseignement de ces classes et d´ ecrivent les connaissances et les capacit´ es exigibles des ´ etudiants. Ils pr´ ecisent ´ egalement certains points de terminologie et certaines notations.

Les limites du programme sont clairement pr´ ecis´ ees. Elles doivent ˆ etre respect´ ees aussi bien dans le cadre de l’enseignement en classe que dans l’´ evaluation.

Une fonction fondamentale de l’enseignement des math´ ematiques dans ces classes est de structurer la pens´ ee des ´ etudiants et de les former ` a la rigueur et ` a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement (par ´ equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth` ese...).

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees

L’enseignement de math´ ematiques en classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales vise en par- ticulier ` a d´ evelopper chez les ´ etudiants les comp´ etences suivantes :

•

Rechercher et mettre en œuvre des strat´ egies ad´ equates : savoir analyser un probl` eme,

´

emettre des conjectures notamment ` a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´ e- matiques pertinents.

•

Mod´ eliser : savoir conceptualiser des situations concr` etes (ph´ enom` enes al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique, ´ elaborer des algorithmes.

•

Interpr´ eter : ˆ etre en mesure d’interpr´ eter des r´ esultats math´ ematiques dans des situations concr` etes, avoir un regard critique sur ces r´ esultats.

•

Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´ emonstration, confirmer ou infirmer des conjec- tures.

•

Maˆ ıtriser le formalisme et les techniques math´ ematiques : savoir employer les symboles math´ ematiques ` a bon escient, ˆ etre capable de mener des calculs de mani` ere pertinente et efficace.

Utiliser avec discernement l’outil informatique.

•

Communiquer par ´ ecrit et oralement : comprendre les ´ enonc´ es math´ ematiques, savoir r´ ediger une solution rigoureuse, pr´ esenter une production math´ ematique.

3 Architecture des programmes

Le programme de math´ ematiques de deuxi` eme ann´ ee de la fili` ere EC voie ´ economique se situe dans le prolongement de celui de premi` ere ann´ ee et permet d’en consolider les acquis. Son objectif est de fournir aux ´ etudiants le bagage n´ ecessaire pour suivre les enseignements sp´ ecialis´ es de math´ ematiques,

´

economie ou gestion dispens´ es en Grande ´ Ecole ou dans une formation universitaire de troisi` eme ann´ ee de Licence.

Il s’organise autour de quatre points forts :

•

En alg` ebre lin´ eaire, la notion abstraite d’espace vectoriel est introduite, ainsi que celle d’application lin´ eaire dans le cas g´ en´ eral. Le principal objectif de cette partie est la r´ eduction des endormorphismes en dimension finie ainsi q ue la diagonalisation des matrices carr´ ees. On ´ evitera des exemples trop calculatoires en privil´ egiant la compr´ ehension des concepts math´ ematiques.

Ces notions d’alg` ebre lin´ eaire trouveront des applications en analyse lors de l’optimisation des fonc- tions de deux variables, mais aussi en probabilit´ es (´ etudes de chaˆınes de Markov).

•

En analyse, l’outil de comparaison des suites et des fonctions en termes de n´ egligeabilit´ e et d’´ equi- valence est introduit. Particuli` erement efficace pour l’´ etude des s´ eries et des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees, il permettra d’affiner et de compl´ eter l’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes et ` a densit´ e. Il est ` a noter que seuls les d´ eveloppements limit´ es ` a l’ordre 1 ou 2 sont au programme.

Au quatri` eme semestre, l’´ etude des fonctions de deux variables r´ eelles constitue un prolongement de l’analyse ` a une variable. Son objectif principal est d’initier les ´ etudiants aux probl` emes d’optimisa- tion, cruciaux en ´ economie et en finance.

•

En probabilit´ es, l’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes, initi´ ee au lyc´ ee et poursuivie en premi` ere ann´ ee de classe pr´ eparatoire, se prolonge au troisi` eme semestre par l’´ etude des couples et des suites de variables al´ eatoires discr` etes ; au quatri` eme semestre, les notions sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e, abord´ ees d` es la premi` ere ann´ ee, sont compl´ et´ ees. L’objectif de cette partie probabilit´ es est de permettre, en fin de formation, une approche plus rigoureuse et une compr´ ehension plus aboutie des concepts d’estimation ponctuelle ou par intervalle de confiance.

•

Les travaux pratiques de math´ ematiques avec Scilab sont organis´ es autour de six th` emes faisant intervenir divers points du programme de math´ ematiques. L’objectif est d’apprendre aux ´ etudiants

`

a utiliser Scilab de mani` ere judicieuse et autonome ainsi que de leur permettre d’illustrer ou de mo- d´ eliser des situations concr` etes en mobilisant leurs connaissances math´ ematiques. Les savoir-faire et comp´ etences que les ´ etudiants doivent acqu´ erir lors de ces s´ eances de travaux pratiques sont sp´ e- cifi´ es dans la liste des exigibles et rappel´ es en pr´ eambule de chaque th` eme. Les nouvelles notions math´ ematiques introduites dans certains th` emes ne font pas partie des exigibles du programme.

L’enseignement de ces travaux pratiques se d´ eroulera sur les cr´ eneaux horaires d´ edi´ es ` a l’informa- tique.

Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les diff´ erentes parties du programme. L’alg` ebre lin´ eaire trouvera ainsi son application dans les probl` emes d’optimisation, l’analyse et les probabilit´ es dans les probl` emes d’estimation.

Le programme de math´ ematiques est organis´ e en deux semestres. Ce d´ ecoupage en deux semestres d’enseignement doit ˆ etre respect´ e. En revanche, au sein de chaque semestre, aucun ordre particulier n’est impos´ e et chaque professeur conduit en toute libert´ e l’organisation de son enseignement, bien que la pr´ esentation par blocs soit fortement d´ econseill´ ee.

Le programme se pr´ esente de la mani` ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les contenus exigibles des ´ etudiants ; la colonne de droite comporte des pr´ ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´ es ou d’applications.

Les d´ eveloppements formels ou trop th´ eoriques doivent ˆ etre ´ evit´ es. Ils ne correspondent pas au cœur de formation de ces classes pr´ eparatoires.

Les r´ esultats mentionn´ es dans le programme seront admis ou d´ emontr´ es selon les choix didactiques faits par le professeur. Pour certains r´ esultats, marqu´ es comme

«admis», la pr´

esentation d’une d´ e- monstration en classe est d´ econseill´ ee.

Les s´ eances de travaux dirig´ es permettent de privil´ egier la prise en main, puis la mise en œuvre par

les ´ etudiants, des techniques usuelles et bien d´ elimit´ ees, inscrites dans le corps du programme. Cette maˆıtrise s’acquiert notamment par l’´ etude de probl` emes que les ´ etudiants doivent

in fine

ˆ etre capables de r´ esoudre par eux-mˆ emes.

Le logiciel Scilab comporte de nombreuses fonctionnalit´ es permettant d’illustrer simplement certaines notions math´ ematiques. Ainsi, on utilisera d` es que possible l’outil informatique en cours de math´ ema- tiques pour visualiser et illustrer les notions ´ etudi´ ees.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE

I - Alg` ebre lin´ eaire

L’objectif de ce chapitre est une ´ etude ´ el´ ementaire des applications lin´ eaires et des espaces vectoriels sur R, approfondissant les acquis de premi` ere ann´ ee et les prolongeant par l’´ etude de la r´ eduction des endomorphismes et des matrices. Cette partie du programme aura de nombreuses applications, que ce soit en analyse dans l’´ etude des points critiques des fonctions de deux variables ou en probabilit´ es (chaˆınes de Markov...).

1 - Calcul vectoriel, calcul matriciel

a) Espaces vectoriels r´ eels

Espace vectoriel sur R. Combinaisons lin´ eaires.

Sous-espaces vectoriels.

On illustrera ces d´ efinitions en liaison avec le programme de premi` ere ann´ ee compl´ et´ e par les espaces vectoriels de r´ ef´ erence suivants : R

ⁿ

,

M_n,p

(R), R

_n

[X], R[X], l’ensemble des applica- tions d’un ensemble D

⊂

R dans R, l’ensemble des suites r´ eelles R

^N

.

Familles libres, familles g´ en´ eratrices, bases.

Base canonique de R

ⁿ

, de

M_n,p

(R) et de R

_n

[X].

On r´ einvestira ` a cette occasion les notions sur les syst` emes lin´ eaires ´ etudi´ ees en premi` ere an- n´ ee.

Espace vectoriel de dimension finie. Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il admet une base constitu´ ee d’un nombre fini de vecteurs.

Si un espace vectoriel admet une base consti- tu´ ee de n vecteurs, toute autre base a n vecteurs.

Th´ eor` eme admis.

Dimension d’un espace vectoriel.

Cardinal d’une famille libre (respectivement g´ e- n´ eratrice) d’un espace vectoriel de dimension n.

R´ esultats admis.

Une famille libre (respectivement g´ en´ eratrice) ` a n vecteurs d’un espace vectoriel de dimension n est une base.

R´ esultats admis.

Dimension d’un sous-espace vectoriel.

Rang d’une famille de vecteurs.

Th´ eor` eme admis.

Rang d’une matrice de

M_n,p

(R). Le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.

rg(A) = rg(

^t

A). R´ esultat admis.

b) G´ en´ eralit´ es sur les applications lin´ eaires Application lin´ eaire d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F .

Endomorphisme de E.

Espaces vectoriels des applications lin´ eaires d’un espace vectoriel E dans un espace vecto- riel F , des endomorphismes de E.

Notations

L(E, F

),

L(E).

Compos´ ee de deux applications lin´ eaires.

Isomorphisme d’un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F . Automorphisme de E.

Application r´ eciproque d’un isomorphisme.

Noyau et image d’une application lin´ eaire.

c) Applications lin´ eaires en dimension finie

Les espaces vectoriels consid´ er´ es dans ce paragraphe sont de dimension finie.

Rang d’une application lin´ eaire.

Th´ eor` eme du rang.

Application ` a la caract´ erisation des isomor- phismes en dimension finie.

R´ esultat admis.

Matrice associ´ ee ` a une application lin´ eaire dans des bases, matrice d’un endomorphisme.

Lien entre le rang d’une matrice et le rang de l’application lin´ eaire associ´ ee.

Lien entre le produit matriciel et la composition des applications lin´ eaires.

Isomorphisme entre

L(F, E

) et

M_n,p

(R), entre

L(E) et M_n

(R) lorsque les bases sont fix´ ees.

E et F ´ etant des espaces vectoriels de dimen- sions respectives n et p, (n, p)

∈

(N

^∗

)

²

.

Polynˆ ome annulateur d’un endomorphisme, d’une matrice.

Existence admise. On pourra utiliser des po- lynˆ omes annulateurs pour ´ etudier l’inversibilit´ e d’un endomorphisme ou d’une matrice.

Changement de base, matrice de passage d’une base

B

` a une base

B⁰

.

P

_B,B⁻¹0

= P

_B⁰_,B

.

Notation P

B,B⁰

.

Formules de changement de base. X

B

= P

B,B⁰

X

B⁰

.

Mat

B⁰

(f ) = P

_B,B⁻¹0

Mat

B

(f ) P

B,B⁰

.

Matrices semblables. Deux matrices A et B carr´ ees sont semblables si et seulement s’il existe une matrice inversible P telle que B = P

⁻¹

AP .

A et B peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees comme les

matrices d’un mˆ eme endomorphisme dans des

bases diff´ erentes.

2 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees

Les espaces vectoriels consid´ er´ es sont de dimension finie.

Dans tout ce paragraphe, on ´ evitera les m´ ethodes trop calculatoires pour la recherche des ´ el´ ements propres d’une matrice ou d’un endomorphisme. En particulier, la r´ esolution de syst` emes ` a param` etres est d´ econseill´ ee.

a) R´ eduction des endomorphismes

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme de E.

Spectre d’un endomorphisme. Notation Sp(f ).

Une concat´ enation de familles libres de sous- espaces propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n a au plus n valeurs propres.

En particulier, une famille de vecteurs propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes est une famille libre. R´ esultats admis.

Si Q est un polynˆ ome annulateur de f, toute valeur propre de f est racine de Q.

Aucune connaissance suppl´ ementaire sur les polynˆ omes annulateurs n’est au programme.

Un endomorphisme f de E est dit diagonalisable s’il existe une base de E form´ ee de vecteurs propres de f .

Tout endomorphisme f d’un espace vectoriel de dimension n admettant n valeurs propres dis- tinctes est diagonalisable.

Dans ce cas, tous les sous-espaces propres de f sont de dimension 1.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de di- mension n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est ´ egale ` a n.

R´ esultat admis.

b) R´ eduction des matrices carr´ ees

Valeurs propres, vecteurs colonnes propres, sous-espaces propres d’une matrice carr´ ee.

Valeurs propres d’une matrice triangulaire.

Spectre d’une matrice carr´ ee. Notation Sp(A).

Si Q est un polynˆ ome annulateur de A, toute valeur propre de A est racine de ce polynˆ ome.

Aucune connaissance suppl´ ementaire sur les polynˆ omes annulateurs n’est au programme.

Matrice carr´ ee diagonalisable. Une matrice carr´ ee A d’ordre n est diagonali- sable s’il existe une matrice D, diagonale, et une matrice P , inversible, telles que D = P

⁻¹

AP . Les colonnes de P forment une base de

M_n,1

(R) constitu´ ee de vecteurs propres de A.

Toute matrice carr´ ee A d’ordre n admettant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Dans ce cas, tous les sous-espaces propres de A

sont de dimension 1.

Une matrice carr´ ee d’ordre n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est ´ egale ` a n.

R´ esultat admis.

Exemples de diagonalisation de matrices carr´ ees.

Sur des exemples, application au calcul de puis- sances n-i` emes d’une matrice carr´ ee.

Exemples de calculs de puissances n-i` emes d’une matrice carr´ ee, non n´ ecessairement dia- gonalisable, ` a l’aide de la formule du binˆ ome.

Toute matrice sym´ etrique est diagonalisable. R´ esultat admis.

II - Compl´ ements d’analyse

1 - Compl´ ements sur les suites et les s´ eries

L’objectif de ce paragraphe est d’introduire de nouveaux outils d’´ etude des suites et des s´ eries, en particulier les crit` eres de comparaison, tout en consolidant les acquis de premi` ere ann´ ee.

a) Comparaison des suites r´ eelles

Suite n´ egligeable devant une suite, suites

´

equivalentes.

Notations u

_n

= o(v

_n

) et u

_n∼

v

_n

.

On pratiquera des ´ etudes du comportement asymptotique de suites.

b) Suites r´ ecurrentes du type u

_n+1

= f (u

_n

) Notion de point fixe d’une application.

Si (u

n

) converge vers un r´ eel ` et si f continue en `, alors ` est un point fixe de f .

On pourra illustrer en classe cette partie du programme ` a l’aide du logiciel Scilab.

c) Compl´ ements sur les s´ eries

Convergence des s´ eries de Riemann

X

1 n

^α

. S´ eries ` a termes positifs.

Comparaison des s´ eries ` a termes positifs dans les cas o` u u

n6

v

n

, u

n

= o(v

n

) et u

n∼

v

n

. Exemples d’´ etude de s´ eries ` a termes quel- conques.

On utilisera la notion de convergence absolue vue en premi` ere ann´ ee. Sommes t´ elescopiques.

2 - Compl´ ements sur l’´ etude des fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle

a) Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

Comparaison des fonctions au voisinage d’un point. Fonction n´ egligeable devant une fonction, fonctions ´ equivalentes.

Notations f = o(g) et f

∼

g.

Les th´ eor` emes de croissances compar´ ees vus en premi` ere ann´ ee sont reformul´ es ici avec les no- tations de la n´ egligeabilit´ e.

Traduction, en termes de n´ egligeabilit´ e et d’´ equivalence, des limites connues concernant les fonctions usuelles.

Compatibilit´ e de l’´ equivalence vis-` a-vis des op´ e- rations suivantes : produit, quotient, composi- tion par une fonction puissance enti` ere.

On mettra en garde contre l’extension abusive

`

a l’addition ou ` a la composition par d’autres fonctions (ln, exp, . . . ).

b) D´ eveloppements limit´ es

Les d´ eveloppements limit´ es ne seront pr´ esent´ es qu’`

a l’ordre au plus 2, prolongeant la notion de

d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 abord´ ee en premi` ere ann´ ee. Les d´ eveloppements limit´ es seront par la suite ´ etendus aux fonctions de deux variables.

Les seuls d´ eveloppements exigibles concernent les fonctions x

7→

e

^x

, ln(1 + x), (1 + x)

^α

au voisinage de 0, et ` a l’ordre 1 ou 2 uniquement. Aucune connaissance (somme, produit, composition...) concernant les techniques de calcul des d´ eveloppements limit´ es n’est exigible.

D´ eveloppement limit´ e d’ordre 2 (respective- ment d’ordre 1) en x

0

d’une fonction de classe C

²

(respectivement de classe C

¹

) au voisinage de x

₀

.

Unicit´ e. Formule de Taylor-Young. R´ esultats admis.

Cas des fonctions x

7→

e

^x

, ln(1 + x), (1 + x)

^α

au voisinage de 0.

Sur des exemples, application ` a l’´ etude locale de fonctions.

3 - Compl´ ements sur l’int´ egration g´ en´ eralis´ ee ` a un intervalle quelconque

Il s’agit ici d’une part d’´ etendre la notion d’int´ egrale ` a un intervalle quelconque, d’autre part de mettre en place les techniques de comparaison des int´ egrales de fonctions positives. Les r´ esultats de ce paragraphe pourront ˆ etre admis. ` A cette occasion, on pourra consolider les acquis de premi` ere ann´ ee concernant l’int´ egration sur un segment (positivit´ e, techniques de calcul, int´ egrales comme fonctions de la borne sup´ erieure...).

a) Convergence des int´ egrales de fonctions positives sur un intervalle de type [a, +∞[ ou ]

− ∞, a]

Soit f une fonction continue et positive sur [a, +∞[. L’int´ egrale

Z +∞

a

f (t)dt converge si et seulement si

x

7−→

Z x a

f (t)dt est major´ ee sur [a, +∞[.

De mˆ eme, si f est continue et positive sur ]

− ∞, a],

Z _a

−∞

f (t)dt converge si et seulement si x

7−→

Z a x

f (t)dt est major´ ee sur ]

− ∞, a].

R` egles de comparaison dans les cas f

6

g, f = o(g) et f

∼

+∞

g avec f et g positives au voisinage de +∞.

On adaptera ces propri´ et´ es au voisinage de

−∞.

On utilisera comme int´ egrales de r´ ef´ erence les int´ egrales

Z +∞

a

dt

t

^α

(pour a > 0) et

Z +∞

0

e

^−αt

dt

´

etudi´ ees en premi` ere ann´ ee.

b) Int´ egrales sur un intervalle de type [a, b[ ou ]a, b]

Convergence de l’int´ egrale d’une fonction conti- nue sur [a, b[ (respectivement : ]a, b]), avec

−∞

< a < b < +∞.

L’int´ egrale est dite convergente si lim

x→b

Z x a

f (t)dt (respectivement : lim

x→a

Z b x

f (t)dt) existe et est finie.

On pose alors

Z b

a

f(t)dt = lim

x→b

Z x a

f (t)dt (respectivement :

Z b a

f(t)dt = lim

x→a

Z b x

f (t)dt).

La convergence absolue implique la conver- gence.

R´ esultat admis.

Int´ egrales

Z b

0

dt

t

^α

(b > 0),

Z 1

0

ln t dt.

R` egles de comparaison dans les cas f

6

g, f = o(g) et f

∼

g avec f et g positives au voisi- nage de b (respectivement : a).

c) Extension au cas de fonctions ayant un nombre fini de points de discontinuit´ e sur un intervalle I

Br` eve extension aux fonctions ayant un nombre fini de points de discontinuit´ e sur un intervalle quelconque.

On s’attachera essentiellement aux cas ]

− ∞,

+∞[ et ]0, +∞[.

R` egles de calcul sur les int´ egrales convergentes, lin´ earit´ e, relation de Chasles, positivit´ e.

Les techniques de calcul (int´ egration par par- ties, changement de variables) seront pratiqu´ ees sur des int´ egrales sur un segment. Seuls les changements de variables affines pourront ˆ etre utilis´ es directement sur des int´ egrales sur un in- tervalle quelconque.

III - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires discr` etes

Dans tout ce paragraphe les variables al´ eatoires consid´ er´ ees sont des variables al´ eatoires r´ eelles dis- cr` etes.

1 - Couples de variables al´ eatoires discr` etes

On ne soul` evera aucune difficult´ e sur les s´ eries index´ ees par des ensembles d´ enombrables, que l’on trai-

tera comme des s´ eries classiques. On admettra que toutes les manipulations (interversions de sommes,

regroupements de termes,

etc.) sont licites d`

es lors que les s´ eries envisag´ ees sont absolument conver-

gentes. On admettra aussi que les th´ eor` emes ou les techniques classiques concernant les s´ eries s’´ etendent

dans ce cadre.

Loi de probabilit´ e d’un couple de variables al´ ea- toires discr` etes.

La loi de probabilit´ e d’un couple de va- riables al´ eatoires discr` etes est caract´ eris´ ee par la donn´ ee de X(Ω), Y (Ω) et pour tout (x, y)

∈

X(Ω)

×

Y (Ω), P ([X = x]

∩

[Y = y]).

On commencera par aborder des exemples o` u X(Ω) et Y (Ω) sont finis.

Lois marginales, lois conditionnelles.

Loi d’une variable al´ eatoire Z = g(X, Y ) o` u g est une fonction d´ efinie sur l’ensemble des va- leurs prises par le couple (X, Y ).

On se limitera ` a des cas simples tels que X + Y, XY .

Th´ eor` eme de transfert : esp´ erance d’une va- riable al´ eatoire Z = g(X, Y ) o` u g est une fonc- tion r´ eelle d´ efinie sur l’ensemble des valeurs prises par le couple (X, Y ) de variables al´ ea- toires.

E(g(X, Y )) =

X

(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

g(x, y)P ([X = x]

∩

[Y = y]) sous r´ eserve de convergence absolue. R´ esultat admis.

En particulier : esp´ erance de la somme, du produit de deux variables al´ eatoires discr` etes.

Lin´ earit´ e de l’esp´ erance. R´ esultat admis.

Ind´ ependance de deux variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

Deux variables al´ eatoires X et Y sont in- d´ ependantes si et seulement si pour tout (x, y)

∈

X(Ω)

×

Y (Ω),

P ([X = x]

∩

[Y = y]) = P ([X = x])P ([Y = y]).

Esp´ erance du produit de deux variables al´ ea- toires discr` etes ind´ ependantes.

Si X et Y sont deux variables al´ eatoires dis- cr` etes ind´ ependantes admettant une esp´ erance, alors XY admet ´ egalement une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ).

On pourra admettre ce r´ esultat.

Loi du minimum, du maximum, de deux variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes ind´ epen- dantes.

Stabilit´ e des lois binomiales et de Poisson.

•

Si X

₁

et X

₂

sont deux variables al´ ea- toires ind´ ependantes suivant respective- ment les lois

B(n₁

, p) et

B(n₂

, p), alors X

₁

+ X

₂

,

→ B(n₁

+ n

₂

, p).

•

Si X

1

et X

2

sont deux variables al´ eatoires in- d´ ependantes suivant respectivement des lois

P

(λ

1

) et

P

(λ

2

), alors X

1

+ X

2

,

→ P(λ₁

+ λ

2

).

Covariance de deux variables al´ eatoires admet- tant un moment d’ordre 2. Propri´ et´ es.

Notation Cov(X, Y ).

Lin´ earit´ e ` a droite, ` a gauche. Sym´ etrie.

Si a

∈

R, Cov(X, a) = 0.

Formule de Huygens. Cons´ equence. Cov(X, Y ) = E(XY )

−

E(X)E(Y ).

Si X et Y sont ind´ ependantes et poss` edent un moment d’ordre 2, leur covariance est nulle. R´ e- ciproque fausse.

Coefficient de corr´ elation lin´ eaire. Notation ρ(X, Y ).

Propri´ et´ es.

|ρ(X, Y

)|

6

1. Cas o` u ρ(X, Y ) =

±1.

Variance de la somme de deux variables al´ ea- toires discr` etes.

Cas de deux variables al´ eatoires discr` etes ind´ e- pendantes.

On pourra admettre ce r´ esultat.

2 - Suites de variables al´ eatoires discr` etes Ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

∀(x₁

, . . . , x

n

)

∈

X

1

(Ω)

×

. . .

×

X

n

(Ω), P

n

\

i=1

[X

i

= x

i

]

!

=

n

Y

i=1

P ([X

i

= x

i

]).

Ind´ ependance d’une suite infinie de variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

Lemme des coalitions. Si X

1

, X

2

,. . ., X

n

, sont ind´ ependantes, toute variable al´ eatoire fonction de X

₁

, X

₂

, . . ., X

_p

est ind´ ependante de toute variable al´ eatoire fonc- tion de X

p+1

, X

p+2

, . . ., X

n

.

R´ esultat admis.

Esp´ erance de la somme de n variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

Variance de la somme de n variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes ind´ ependantes.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE

I - Fonctions num´ eriques de deux variables r´ eelles

L’objectif de ce chapitre est d’arriver ` a une bonne compr´ ehension des probl` emes de recherche d’ex- trema des fonctions de deux variables en faisant le lien avec les r´ esultats concernant la r´ eduction des matrices.

Dans les deux premiers paragraphes, on familiarisera les ´ etudiants avec la notion de fonction de deux variables r´ eelles en ´ evitant tout probl` eme de nature topologique, c’est pourquoi le domaine de d´ efini- tion sera syst´ ematiquement R

²

.

On introduira la notion de fonction de deux variables r´ eelles ` a l’aide d’exemples issus d’autres disci- plines et on exploitera les visualisations informatiques des surfaces en 3D ou les recherches d’´ el´ ements propres de matrices permises par Scilab.

Tous les r´ esultats concernant les fonctions r´ eelles de deux variables r´ eelles seront admis.

1 - Fonctions continues sur R

²

Exemples de fonctions r´ eelles de deux variables r´ eelles.

Fonctions coordonn´ ees (x, y)

7→

x et (x, y)

7→

y.

Fonctions polynomiales de deux variables

r´ eelles.

Distance euclidienne de deux points R

²

. Notation d (x, y), (x

0

, y

0

) . Continuit´ e d’une fonction d´ efinie sur R

²

et ` a

valeurs dans R.

Une fonction r´ eelle f de deux variables r´ eelles, d´ efinie sur R

²

, est continue en un point (x

0

, y

0

) de R

²

si :

∀ε >

0,

∃r >

0,

∀(x, y)∈

R

²

,

d (x, y), (x

₀

, y

₀

)

< r

⇒|

f(x, y)

−

f (x

₀

, y

₀

)

|< ε.

Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur cette notion. On fera le lien avec la continuit´ e des fonctions d’une variable r´ eelle.

Op´ erations sur les fonctions continues. Les fonctions coordonn´ ees sont continues sur R

²

.

On admettra que la somme, le produit, le quo- tient (quand le d´ enominateur est non nul) de deux fonctions continues sont continus.

Les fonctions polynomiales de deux variables r´ eelles sont continues sur R

²

.

On admettra que la compos´ ee d’une fonction continue ` a valeurs dans un intervalle I de R par une fonction continue sur I ` a valeurs dans R est continue.

2 - Calcul diff´ erentiel pour les fonctions d´ efinies sur R

²

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 1.

Fonctions de classe C

¹

.

Une fonction de classe C

¹

est continue.

Op´ erations sur les fonctions de classe C

¹

.

Notations ∂

1

(f ), ∂

2

(f).

La d´ etermination de la classe d’une fonction en un point probl´ ematique est hors programme.

Gradient de f en un point. Notation

∇(f)(x, y) =

∂

1

(f )(x, y)

∂

₂

(f )(x, y)

. D´ eveloppement limit´ e d’ordre 1 d’une fonction

de classe C

¹

. Unicit´ e.

f (x + h, y + k) = f (x, y) +

^t∇(f

)(x, y)

·

h

k

+

√

h

²

+ k

²

ε(h, k) o` u ε(0, 0) = 0 et ε continue en (0,0). R´ esultat non exigible.

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 2.

Fonctions de classe C

²

.

Une fonction de classe C

²

est de classe C

¹

. Op´ erations sur les fonctions de classe C

²

.

Notations ∂

_1,1²

(f ), ∂

_1,2²

(f), ∂

_2,1²

(f ), ∂

_2,2²

(f ) o` u

∂

_1,2²

(f)(x, y) = ∂

₁

(∂

₂

(f ))(x, y).

Th´ eor` eme de Schwarz. Si f est de classe C

²

sur R

²

, alors pour tout point (x, y) de R

²

,

∂

_1,2²

(f )(x, y) = ∂

_2,1²

(f )(x, y).

Matrice hessienne d’une fonction de deux va- riables r´ eelles au point (x, y).

Notation

∇²

(f )(x, y) =

∂

_1,1²

(f )(x, y) ∂

_1,2²

(f )(x, y)

∂

_2,1²

(f )(x, y) ∂

_2,2²

(f )(x, y)

.

On remarquera que si f est de classe C

²

sur R

²

,

sa matrice hessienne en tout point (x, y) de R

²

est sym´ etrique.

D´ eveloppement limit´ e d’ordre 2 d’une fonction de classe C

²

. Unicit´ e.

f (x + h, y + k) = f (x, y) +

^t∇(f

)(x, y)

·

h

k

+ 1 2 h k

· ∇²

(f )(x, y)

·

h

k

+ (h

²

+ k

²

) ε(h, k) o` u ε(0, 0) = 0 et ε continue en (0,0).

R´ esultat non exigible.

3 - Extrema d’une fonction de deux variables r´ eelles

Dans ce paragraphe, on sensibilisera les ´ etudiants aux notions d’ouverts et de ferm´ es de R

²

. On donnera la d´ efinition d’un ensemble born´ e.

La d´ etermination de la nature topologique d’un ensemble n’est pas un objectif du programme et devra toujours ˆ etre indiqu´ ee.

On ´ etendra bri` evement les d´ efinitions et propri´ et´ es concernant la continuit´ e (respectivement le calcul diff´ erentiel) ` a des fonctions d´ efinies sur des parties (respectivement parties ouvertes) de R

²

.

Maximum, minimum local d’une fonction de deux variables r´ eelles.

Maximum, minimum global d’une fonction de deux variables r´ eelles sur une partie de R

²

. Une fonction continue sur une partie ferm´ ee et born´ ee de R

²

est born´ ee et atteint ses bornes sur cette partie.

R´ esultat admis.

Condition n´ ecessaire d’existence d’un extre- mum local.

Point critique.

Si une fonction de classe C

¹

sur un ouvert

O

de R

²

admet un extremum local en un point (x

₀

, y

₀

) de

O, alors ∇(f)(x₀

, y

₀

) = 0.

Condition suffisante d’existence d’un extremum local.

Soit f une fonction de classe C

²

sur un ouvert

O

de R

²

. Si (x

₀

, y

₀

)

∈ O

est un point critique pour f et si les valeurs propres de la matrice hessienne de f au point (x

0

, y

0

) sont stricte- ment positives (respectivement strictement n´ e- gatives) alors f admet un minimum (respecti- vement maximum) local en (x

0

, y

0

).

Point col (ou point selle). Si (x

0

, y

0

)

∈ O

est un point critique pour f et si les valeurs propres de la matrice hessienne de f au point (x

0

, y

0

) sont non nulles et de signes oppos´ es, alors f n’admet pas d’extremum local en (x

₀

, y

₀

) et (x

₀

, y

₀

) est un point col pour f .

II - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles

La notion d’esp´ erance pour une variable discr` ete ou ` a densit´ e a ´ et´ e d´ efinie en premi` ere ann´ ee. La

d´ efinition de l’esp´ erance ou des moments d’ordre sup´ erieur d’une variable al´ eatoire quelconque est

hors d’atteinte dans le cadre de ce programme et toute difficult´ e s’y ramenant est ` a ´ ecarter. On

admettra que les propri´ et´ es op´ eratoires usuelles de l’esp´ erance et de la variance se g´ en´ eralisent aux

variables al´ eatoires quelconques. En particulier, le th´ eor` eme de transfert ci-dessous permet de calculer

l’esp´ erance de g(X) dans le cas o` u X est ` a densit´ e.

1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles quelconques

Tous les r´ esultats de cette section seront admis.

Ind´ ependance de deux variables al´ eatoires r´ eelles quelconques.

Deux variables al´ eatoires r´ eelles X et Y sont ind´ ependantes si et seulement si

P ([X

∈

I ]

∩

[Y

∈

J ]) = P([X

∈

I ])P ([Y

∈

J ]) pour tous intervalles r´ eels I et J .

G´ en´ eralisation ` a un ensemble fini ou une suite de variables al´ eatoires r´ eelles quelconques.

Lemme des coalitions. Si X

1

, X

2

, ..., X

n

sont ind´ ependantes, toute va- riable al´ eatoire fonction de X

₁

, X

₂

, ..., X

_p

est ind´ ependante de toute variable al´ eatoire fonc- tion de X

p+1

, X

p+2

, ..., X

n

.

Esp´ erance d’une somme de variables al´ eatoires. Si X et Y admettent une esp´ erance, X + Y ad- met une esp´ erance et E(X +Y ) = E(X)+E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires.

Croissance de l’esp´ erance. Si P([X

6

Y ]) = 1 alors E(X)

6

E(Y ).

Esp´ erance du produit de variables al´ eatoires ind´ ependantes.

Si X et Y admettent une esp´ erance et sont ind´ ependantes, XY admet une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

Variance d’une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes.

Si X et Y sont ind´ ependantes et admettent une variance, X + Y admet une variance et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

2 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e

a) R´ egularit´ e des fonctions de r´ epartition Si f est une densit´ e de probabilit´ e, F : x

7−→

Z x

−∞

f (t)dt est de classe C

¹

en tout point o` u f est continue.

En un tel point, F

⁰

(x) = f (x).

Plus g´ en´ eralement, si f est continue ` a droite (respectivement ` a gauche) en x, F est d´ erivable

`

a droite (respectivement ` a gauche) en x.

R´ esultats admis.

b) Exemples simples de transferts

On r´ einvestira dans ce paragraphe les lois usuelles ` a densit´ e ´ etudi´ ees en premi` ere ann´ ee.

Calculs de fonctions de r´ epartition et de densi- t´ es de fonctions d’une variable al´ eatoire ` a den- sit´ e.

Les candidats devront savoir retrouver les den- sit´ es de aX + b (a

6= 0),

X

²

, exp(X), ...

Loi de X =

−

1

λ ln(1

−

Y ), o` u Y suit une loi

uniforme ` a densit´ e sur l’intervalle [0, 1[.

c) Compl´ ements sur les lois usuelles

Transform´ ees affines de variables al´ eatoires sui- vant des lois uniformes.

Si a < b,

X ,

→ U

[0, 1]

⇐⇒

Y = a + (b

−

a)X ,

→ U

[a, b].

Transform´ ees affines de variables al´ eatoires sui- vant des lois normales.

Si a

6= 0,

X ,

→ N

(m, σ

²

)

⇐⇒

aX + b ,

→ N

(am + b, a

²

σ

²

).

Propri´ et´ e de la fonction de r´ epartition de la loi normale centr´ ee r´ eduite.

∀x∈

R, Φ(−x) = 1

−

Φ(x).

Une somme de variables al´ eatoires ind´ epen- dantes suivant des lois normales suit une loi nor- male.

R´ esultat admis.

d) Moments d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e

Th´ eor` eme de transfert pour l’esp´ erance. Si X est une variable al´ eatoire admettant une densit´ e f nulle en dehors d’un inter- valle ]a, b[ (−∞

6

a < b

6

+∞) et si g est une fonction continue sauf ´ eventuellement en un nombre fini de points sur ]a, b[, g(X) ad- met une esp´ erance si et seulement si l’int´ egrale

Z b

a

g(t)f (t) dt converge absolument et dans ce cas : E(g(X)) =

Z b a

g(t)f (t) dt.

R´ esultat admis.

D´ efinition du moment d’ordre r (r

∈

N

^∗

). Notation m

_r

(X) = E(X

^r

).

Variance, ´ ecart-type, variables al´ eatoires cen- tr´ ees r´ eduites.

Variance d’une variable al´ eatoire suivant une loi usuelle (uniforme, exponentielle, normale).

Exemples de variables al´ eatoires n’admettant pas de variance.

III - Convergences et approximations ; estimation 1 - Convergences et approximations

a) In´ egalit´ e de Markov, in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev

On pourra d´ emontrer ces in´ egalit´ es dans le cas d’une variable al´ eatoire discr` ete ou ` a densit´ e.

In´ egalit´ e de Markov. Si X est une variable al´ eatoire ` a valeurs posi- tives et admettant une esp´ erance,

∀a >

0, P ([X

>

a])

6

E(X) a .

R´ esultat non exigible. On pourra appliquer

cette in´ egalit´ e ` a Y =

|X|^r

, r

∈

N

^∗

.

In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev. Si X est une variable al´ eatoire admettant un moment d’ordre 2,

∀ε >

0, P ([|X

−

E(X)|

>

ε])

6

V (X) ε

²

.

b) Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres. Soit (X

_n

)

_n∈N^∗

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes admettant une mˆ eme esp´ erance m et une mˆ eme variance et soit pour tout n

∈

N

^∗

, X

n

= X

1

+ . . . + X

n

n .

Alors

∀ε >

0, lim

n→+∞

P ([|X

_n−

m|

>

ε]) = 0.

c) Convergence en loi

D´ efinition de la convergence en loi d’une suite (X

n

)

n∈N^∗

de variables al´ eatoires vers une va- riable al´ eatoire X.

Une suite (X

n

)

n∈N^∗

de variables al´ eatoires converge en loi vers X si lim

n→+∞

F

_Xn

(x) = F

_X

(x) en tout r´ eel x o` u F

X

est continue.

Notation X

n

−→L

X.

Caract´ erisation dans le cas o` u les X

_n

, n

∈

N

^∗

et X prennent leurs valeurs dans Z.

(X

_n

)

_n∈N^∗

converge en loi vers X si et seulement si :

∀k∈

Z, lim

n→+∞

P ([X

_n

= k]) = P ([X = k]).

R´ esultat admis.

Application ` a la convergence d’une suite de variables al´ eatoires suivant la loi binomiale

B(n, λ/n) vers une variable al´

eatoire suivant la loi de Poisson

P(λ).

Th´ eor` eme limite central. Si (X

_n

)

_n∈N^∗

est une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, de mˆ eme loi, et admettant une variance σ

²

non nulle, la suite des variables al´ ea- toires centr´ ees r´ eduites X

^∗_n

=

√

n

X

_n−

m σ

associ´ ees aux variables X

n

= X

1

+ . . . + X

n

n ,

n

∈

N

^∗

, converge en loi vers une variable al´ eatoire suivant la loi normale centr´ ee r´ eduite.

D’o` u, on a pour tout (a, b) tel que

−∞6

a

6

b

6

+∞ :

n→+∞

lim P ([a

6

X

^∗_n6

b]) =

Z _b

a

√

1 2π exp

−

t

²

2

dt.

R´ esultats admis.

Exemples d’approximations de la loi binomiale et de la loi de Poisson par la loi normale.

Toutes les indications devront ˆ etre fournies aux

candidats quant ` a la justification de l’utilisation

des approximations.

2 - Estimation

L’objectif de cette partie est d’introduire le vocabulaire et la d´ emarche de la statistique inf´ erentielle en abordant, sur quelques cas simples, le probl` eme de l’estimation, ponctuelle ou par intervalle de confiance. On se restreindra ` a une famille de lois de probabilit´ es index´ ees par un param` etre scalaire (ou vectoriel) dont la valeur (scalaire ou vectorielle) caract´ erise la loi. On cherche alors ` a estimer la valeur du param` etre (ou une fonction simple de ce param` etre) ` a partir des donn´ ees disponibles.

Dans ce contexte, on consid` ere un ph´ enom` ene al´ eatoire et on s’int´ eresse ` a une variable al´ eatoire r´ eelle X qui lui est li´ ee, dont on suppose que la loi de probabilit´ e n’est pas compl` etement sp´ ecifi´ ee et appartient

`

a une famille de lois d´ ependant d’un param` etre θ d´ ecrivant un sous-ensemble Θ de R (´ eventuellement de R

²

).

Le param` etre θ est une quantit´ e inconnue, fix´ ee dans toute l’´ etude, que l’on cherche ` a d´ eterminer ou pour laquelle on cherche une information partielle.

Le probl` eme de l’estimation consiste alors ` a estimer la vraie valeur du param` etre θ ou de g(θ) (fonction

`

a valeurs r´ eelles du param` etre θ), ` a partir d’un ´ echantillon de donn´ ees x

1

, . . . , x

n

obtenues en observant n fois le ph´ enom` ene. Cette fonction du param` etre repr´ esentera en g´ en´ eral une valeur caract´ eristique de la loi inconnue comme son esp´ erance, sa variance, son ´ etendue...

On supposera que cet ´ echantillon est la r´ ealisation de n variables al´ eatoires X

₁

, . . . , X

_n

d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilisable (Ω,

A)

muni d’une famille de probabilit´ es (P

_θ

)

θ∈Θ

. Les X

1

, . . . , X

n

seront suppos´ ees P

_θ

-ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X pour tout θ.

On appellera estimateur de g(θ) toute variable al´ eatoire r´ eelle de la forme ϕ(X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

) o` u ϕ est une fonction de R

ⁿ

dans R, ´ eventuellement d´ ependante de n, et ind´ ependante de θ, dont la r´ ealisation apr` es exp´ erience est envisag´ ee comme estimation de g(θ).

Un estimateur se d´ efinit donc dans l’intention de fournir une estimation.

Si T

n

est un estimateur, on notera, lorsque ces valeurs existent, E

θ

(T

n

) l’esp´ erance de T

n

et V

θ

(T

n

) la variance de T

_n

, pour la probabilit´ e P

_θ

.

a) Estimation ponctuelle

Estimer ponctuellement g(θ) par ϕ(x

1

, . . . , x

n

) o` u ϕ(X

1

, X

2

, . . . , X

n

) est un estimateur de g(θ) et (x

1

, . . . , x

n

) est une r´ ealisation de l’´ echantillon (X

1

, . . . , X

n

), c’est d´ ecider d’accorder ` a g(θ) la valeur ϕ(x

₁

, . . . , x

_n

).

n-´ echantillon (X

1

, . . . , X

n

) de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X.

Exemples de n-´ echantillons associ´ es ` a une loi de Bernoulli

B(1, p) avec

θ = p.

D´ efinition d’un estimateur. Un estimateur de g(θ) est une variable al´ eatoire de la forme T

n

= ϕ(X

1

, . . . , X

n

). La r´ ealisation ϕ(x

₁

, . . . , x

_n

) de l’estimateur T

_n

est l’estima- tion de g(θ). Cette estimation ne d´ epend que de l’´ echantillon (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) observ´ e.

Estimation de l’esp´ erance d’une variable al´ ea- toire.

Exemples d’estimateurs : estimateur du para-

m` etre p d’une loi de Bernoulli ; estimateur du

param` etre λ d’une loi de Poisson.

Biais d’un estimateur.

Estimateur sans biais.

Si pour tout θ de Θ, T

n

admet une es- p´ erance, on appelle biais de T

n

le r´ eel

b

_θ

(T

_n

) = E

_θ

(T

_n

)

−

g(θ).

L’estimateur T

n

de g(θ) est sans biais si E

_θ

(T

n

) = g(θ) pour tout θ de Θ.

Suite (T

_n

)

_n>1

d’estimateurs de g(θ). Chaque T

_n

est de la forme ϕ(X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

).

Estimateur asymptotiquement sans biais. Une suite (T

_n

)

_n>1

d’estimateurs de g(θ) est asymptotiquement sans biais si pour tout θ de Θ, lim

n→∞

E

_θ

(T

n

) = g(θ).

Par abus de langage on dit aussi que l’estima- teur est asymptotiquement sans biais.

Risque quadratique d’un estimateur. Si pour tout θ de Θ, T

n

admet un moment d’ordre 2, on appelle risque quadratique de T

_n

le r´ eel r

θ

(T

n

) = E

θ

(T

n−

g(θ))

²

. D´ ecomposition biais - variance du risque qua-

dratique d’un estimateur.

r

_θ

(T

_n

) = b

_θ

(T

_n

)

²

+ V

_θ

(T

_n

).

Estimateur convergent. Une suite d’estimateurs (T

n

)

_n>1

de g(θ) est convergente si pour tout θ de Θ,

∀ε >

0, lim

n→+∞

P

_θ

([|T

_n−

g(θ)| > ε]) = 0.

Par abus de langage on dit aussi que l’estima- teur T

n

est convergent.

Condition suffisante de convergence d’un esti- mateur.

Si pour tout θ de Θ, lim

n→+∞

r

θ

(T

n

) = 0, alors la suite d’estimateurs (T

_n

)

_n>1

de g(θ) est conver- gente.

Cette convergence pourra ˆ etre ´ etudi´ ee ` a l’aide de l’in´ egalit´ e de Markov.

b) Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique

S’il existe des crit` eres pour juger des qualit´ es d’un estimateur ponctuel T

n

de g(θ) (biais, risque, convergence), aucune certitude ne peut jamais ˆ etre apport´ ee quant au fait que l’estimation donne la vraie valeur ` a estimer.

La d´ emarche de l’estimation par intervalle de confiance consiste ` a trouver un intervalle al´ eatoire qui contienne g(θ) avec une probabilit´ e minimale donn´ ee. L’utilisation dans certains cas du th´ eor` eme limite central impose d’introduire la notion d’intervalle de confiance asymptotique.

Ce paragraphe a uniquement pour but de pr´ eciser le vocabulaire employ´ e. Les situations seront ´ etudi´ ees sous forme d’exercices, aucune connaissance autre que ce vocabulaire n’est exigible sur les intervalles de confiance.

Dans tout ce paragraphe (U

n

)

_n>1

et (V

n

)

_n>1

d´ esigneront des suites d’estimateurs de g(θ) tels que pour tout θ

∈

Θ et pour tout n

>

1, P

_θ

([U

n6

V

n

]) = 1.

Intervalle de confiance, niveau de confiance. On dit que [U

_n

, V

_n

] est un intervalle de confiance de g(θ) au niveau de confiance 1

−

α (α

∈

[0, 1]) si pour tout θ

∈

Θ,

P

_θ

([U

_n6

g(θ)

6

V

_n

])

>

1

−

α.

Intervalle de confiance asymptotique. On appelle intervalle de confiance asymptotique de g(θ) au niveau de confiance 1

−

α une suite ([U

_n

, V

_n

])

_n>1

v´ erifiant : pour tout θ de Θ, il existe une suite de r´ eels (α

n

) ` a valeurs dans [0, 1], de limite α, telle que pour tout n

>

1,

P

_θ

([U

_n6

g(θ)

6

V

_n

])

>

1

−

α

_n

.

Par abus de langage on dit aussi que [U

n

, V

n

] est un intervalle de confiance asymptotique.

Intervalles de confiance pour le param` etre d’une loi de Bernoulli.

On pourra comparer, en majorant p(1−p) par

¹₄

,

les intervalles de confiance obtenus par l’in´ ega-

lit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev et par l’approxi-

mation de la loi binomiale par la loi normale.