3` eme ann´ee MIC

INSA TOULOUSE Ann´ ee 2010-2011 D´ epartement STPI

3` eme ann´ee MIC

UV Des donn´ ees aux mod` eles Partie - Probl` emes inverses

Mercredi 15 juin 2011 - 14 :00 ` a 15 :15

Les documents et calculettes sont autoris´ es. Le reste est interdit.

Le barˆ eme entre crochets est donn´ e ` a titre indicatif.

Dans tout l’examen, le produit scalaire canonique sur R

est not´ e h·, ·i et la norme associ´ ee est not´ ee k · k

.

Exercice 1 - SVD de matrices simples (5,5 pts)

D´ eterminez une SVD des matrices suivantes.

1. A =

3 0 0 −1

.

2. B =



 0 2 0 0 0 0



.

3. C =

1 1 0 0

.

Exercice 2 - La norme de Frobenius (4,5 pts)

Soit A = [a

, a

, · · · , a

] ∈ R

une matrice. On rappelle que le produit scalaire canonique sur l’espace des matrices est d´ efini par :

hA, Bi = trace(A

B) = X

i,j

a

b

.

1. Montrez que la norme de Frobenius d´ efinie par : kAk

= p

hA, Ai d´ efinit bien une norme sur l’espace R

.

2. Soit U ∈ R

une matrice orthogonale. Montrez que la norme de Frobenius satisfait : kU Ak

= kAk

,

c’est-` a-dire qu’elle est invariante aux transformations unitaires.

3. De mˆ eme, montrez que si V ∈ R

est une matrice orthogonale, alors kAV k

= kAk

. 4. D´ eduisez-en une expression de kAk

` a partir des valeurs singuli` eres de A.

Exercice 3 - Un op´ erateur de convolution (5 pts)

Sur l’espace de Hilbert H = L

([−π, π]), on consid` ere l’op´ erateur int´ egral T qui ` a tout x ∈ H associe la fonction T x d´ efinie par :

T x(t) = Z

−π

cos(t − s)x(s)ds, t ∈ [−π, π].

1. V´ erifiez que T x ∈ L

([−π, π]).

2. V´ erifiez que |||T ||| ≤ π.

3. Calculez l’adjoint T

de T .

1

Exercice 4 - Moindres carr´ es g´ en´ eralis´ es (5,5 pts)

Soit A ∈ R

, b ∈ R

et W ∈ R

une matrice d´ efinie positive. Sous cette condition, on rappelle que W peut ˆ etre diagonalis´ ee, c’est-` a-dire mise sous la forme W = P DP

o` u P est unitaire et D est une matrice diagonale ` a coefficients strictement positifs.

1. A partir de P et D, d´ eterminez une matrice W

, d´ efinie positive, telle que W

= W . (Note : une telle matrice est appel´ ee racine de W , comme pour les nombres r´ eels).

2. On consi` ere maintenant le probl` eme de moindres carr´ es g´ en´ eralis´ e suivant : min

x∈Rⁿ

h(Ax − b), W (Ax − b)i. (1)

Montrez que ce probl` eme est ´ equivalent ` a :

x∈

min

1

2 kW

(Ax − b)k

.

3. Ecrivez les ´ equations normales associ´ ees ` a ce probl` eme (les conditions satisfaites par la solution).

4. On note x

la solution du probl` eme (1) et x la solution du probl` eme de moindres carr´ es usuel. Montrez que si b ∈ Im(A), alors x

= x.

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