3` eme ann´ee MIC

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INSA TOULOUSE Ann´ ee 2012-2013 D´ epartement STPI

3` eme ann´ee MIC

Examen – 10h15 - 11h30 UV Mod´ elisation Partie - Probl` emes inverses

Documents autoris´ es, bar` eme indicatif.

Exercice 1 - Quelques r´ eflexions pour se chauffer [10 pts]

Dans tout cet exercice, A ∈ R

^m×n

est une matrice de rang r. On note une SVD de A sous la forme U ΣV

^T

avec U = [u

₁

, . . . , u

_m

] et V = [v

₁

, · · · , v

_n

]. Les valeurs σ

₁

≥ σ

₂

≥ . . . ≥ σ

_r

> 0 sont les valeurs singuli` eres de A.

1. On consid` ere la matrice

B =





0 2 0

3 0 0

0 0 −1



 .

D´ eterminez une SVD de B.

2. Montrer que si m = n et r = n alors |||A

⁻¹

||| =

_σ¹

n

.

3. Montrer que si m ≥ n et r = n, alors σ

_n

kxk

2

≤ kAxk

2

≤ σ

₁

kxk

2

. Quelle minoration peut-on avoir si r < n ?

4. Soit

J : R

ⁿ

→ R

ⁿ

x 7→ hx, W xi o` u h·, ·i est le produit scalaire usuel et W ∈ R

^n×n

est une matrice.

– Calculez ∇J (x).

– Est-ce que le probl` eme min

x∈Rⁿ

J(x) admet toujours une solution ? (Justifier).

Exercice 2 - Pseudo-inverse [8 pts]

1. Montrer que pour toute matrice A ∈ R

^m×n

et tout t 6= 0 suffisamment petit, les matrices tI

n

+ A

^∗

A et tI

m

+ AA

^∗

sont inversibles.

2. En d´ eduire que

A

^†

= lim

t→0

(tI

n

+ A

^∗

A)

⁻¹

A

^∗

= lim

t→0

A

^∗

(tI

m

+ AA

^∗

)

⁻¹

. (Montrez une des deux in´ egalit´ es seulement, ` a moins que vous ayez du temps).

Exercice 3 - Influence de la norme [5pts]

Soit la matrice A =



 1 1 1



 et le vecteur b =



 b

1

b

2

b

3



 avec b

1

≥ b

2

≥ b

3

. Soit p ∈ [1, +∞]. On veut r´ esoudre le probl` eme de minimisation

min

x∈R

kAx − bk

p

.

Ce n’est pas un probl` eme de moindre carr´ e puisqu’on a remplac´ e la norme l

²

par une norme l

^p

. 1. Calculer la solution x pour p ∈ {1, 2, ∞} (N’h´ esitez pas ` a faire des dessins).

2. Que se passe-t’il si b

₁

→ +∞ ? Ce r´ esultat montre la robustesse de la norme l

¹