Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Universit´ e du Littoral Cˆ ote d’Opale Ann´ ee universitaire 2013–2014

Licence 2` eme ann´ ee Informatique

Alg` ebre - Devoir

Dur´ ee : 3h le mercredi 15 janvier

Documents et calculatrices personnelles autoris´ es Tous les d´ etails de calcul sont ` a mettre sur la copie.

Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.

Exercice 1 (2 points). Soient u et v deux vecteurs de R

donn´ es par

u =



 u

u

u



 et v =



 v

v

v



 .

On pose w = u ∧ v, le produit vectoriel de u par v.

1. D´ eterminer les coordonn´ ees de w en fonction de u

, u

, u

et v

, v

, v

. 2. Montrer que w est orthogonal ` a u.

3. D´ emontrer l’identit´ e du parall´ elogramme :

||u + v||

+ ||u − v||

= 2||u||

+ 2||v||

;

on peut le faire en utilisant seulement les propri´ et´ es du produit scalaire et non les coordonn´ ees des vecteurs u et v.

Exercice 2 (5 points). On note C la base canonique de R

. Soit f l’endomorphisme de R

d´ efini par f : R

→ R



 x y z



 7→





x + y − z

−x + 3y − z

−x + y + z





1. D´ eterminer la matrice A = mat

(f ), la matrice repr´ esentative de f relativement ` a la base C.

2. Calculer χ

, le polynˆ ome caract´ eristique de f .

3. Quelles sont les valeurs propres de f ? Et leurs multiplicit´ es alg´ ebriques ? Les questions 4) et 5) ne sont pas n´ ecessaires pour le reste de l’exercice.

4. Justifier que le polynˆ ome minimal de f est µ

(X) = (X − 1)(X − 2).

5. Sans calculer les espaces propres, d´ eterminer si f est diagonalisable.

6. D´ eterminer les espaces propres et les multiplicit´ es g´ eom´ etriques des valeurs propres de f . 7. Trouver une matrice P inversible et une matrice D diagonale v´ erifiant D = P

AP . 8. Calculer A

pour tout n ∈ N .

Exercice 3 (3 points). On munit R

du produit scalaire usuel et on note C la base canonique. On pose

u

=



 2 0 0



 , u

=



 1 0 1



 et u

=



 1 2 3





1. Montrer que la famille (u

, u

, u

) est une base de R

.

2. Appliquer la m´ ethode d’orthonormalisation de Gram-Schmidt ` a la base (u

, u

, u

) pour obtenir une base B = (w

, w

, w

) orthonormalis´ ee.

On note P = P

la matrice de passage de la base B ` a la base C.

3. V´ erifier que la matrice P est orthogonale et calculer son d´ eterminant.

4. D´ eterminer si la base B est directe ou indirecte.

Exercice 4 (2 points). Soit A une matrice orthogonale de M

( R ), c’est-` a-dire, v´ erifiant

A × A = I

. 1. Montrer que le d´ eterminant de A est soit 1 soit −1. (utiliser des propri´ et´ es du d´ eterminant) 2. En d´ eduire que A est inversible, d’inverse

A.

Exercice 5 (4 points). On munit R

du produit scalaire usuel et on note C la base canonique de R

. Soit F le sous-espace vectoriel de R

donn´ e par

F =









 x y z



 ∈ R

| x + y + z = 0





 .

1. Donner une base de F et une base de F

.

2. D´ eterminer une base orthonorm´ ee B = (w

, w

, w

) de R

telle que (w

, w

) soit une base de F et (w

) soit une base de F

.

On note p la projection orthogonale sur F et s la sym´ etrie orthogonale par rapport ` a F.

3. Pour tout u de R

exprimer p(u) et s(u) en fonction de u et de w

.

4. D´ eterminer les matrices repr´ esentatives de p et de s relativement ` a la base B.

5. D´ eterminer les matrices repr´ esentatives de p et de s relativement ` a la base C.

Exercice 6 (4 points). On munit R

du produit scalaire usuel. Soit f l’endomorphisme de R

, qui est repr´ esent´ e dans la base canonique par la matrice A suivante

A = 1 2





1 − √

2 1

√

2 0 − √

2

1 √

2 1





1. Montrer que f est une rotation.

2. D´ eterminer un vecteur u

de norme 1 tel que f (u

) = u

. 3. Trouver un vecteur u

de norme 1 orthogonal ` a u

.

4. En d´ eduire un vecteur u

tel que la base B = (u

, u

, u

) soit orthonormale.

5. D´ eterminer la matrice de f dans la base B.

6. Quel est, au signe pr` es, l’angle de rotation de f ?

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