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2 points Quelles sont les valeurs propres deAn

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

UTBM; UV: MT45 Final: Durée 2h Année 2019

Exercice 1 : On donne A =

0 0 1 0 0 0 1 0 0

considérée comme la matrice d’un endomorphisme de R3

rapporté à sa base canonique.

1.

2 points Calculer le polynôme caractéristique p(λ) =det(A−λI)et déterminer les valeurs propres de A.

2.

3 points Déterminer les sous-espaces propres associés aux valeurs propres.

3.

2 points Déterminer une base propre de R3, notée B. En déduire l’écriture de Adans la base B, notée D, ainsi qu’une matrice de passage notée P.

4.

2 points Quelles sont les valeurs propres deAn.

Exercice 2 : (4 points) Soit

A = a b c d

!

, b6= 0

une matrice admettant une seule valeur propre double. Montrer que la matrice A n’est pas diagonali- sable ?

Exercice 3 : Dans cet exercice, on désire déterminer la primitiveF(x) de la fonction

f(x) = cos(x)

sin2(x)−5 sin(x) + 6

c-à-d,

F(x) = Z

f(x)dx

1.

1 point Posonsg(x) = f(x)dx. Montrer queg(π−x) =g(x).

2.

2 points En utilisant la règle de Bioche, montrer par un changement de variable convenable que

F(x) =

Z 1

u2 −5u+ 6du

3.

2 points Décomposer la fonction u2−5u+61 en éléments simples.

4.

2 points Déterminer la primitive F(x).

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