ESILVFST 305 Problèmes inverses
TD CS 305 Problèmes inverses
M. Kern
TD 2 26 septembre 2002
Thème : Équations intégrales valeurs singulières
Exercice 1 : Valeurs singulières de matrices
Déterminer la décomposition en valeurs singulières des matrices suivantes (à la main, donner un résultat exact).
(a)
3 0 0 −2
, (b)
2 0 0 3
, (c)
0 2 0 0 0 0
, (d)
1 1 0 0
Donner le détail des calculs, ou des raisonnement qui permettent de les éviter.
Exercice 2 : Valeurs singulières et valeurs propres
Soit A ∈ Rm×n une matrice. Notons A = UΣVt sa SVD, avec Σ = diag(Σ1,0),Σ1 ∈ Rr×r, et
U = (U1, U2), U1 ∈Rm×r, V = (V1, V2), V1 ∈Rn×r
1 Montrer que
B =
0 A At 0
=P
Σ1 0 0 0 −Σ1 0
0 0 0
Pt avec
P = 1
√2
U1 U1
√2U2 0 V1 −V1 0 √
2V2
1
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2 On suppose que A est de rang n. On considère la matrice augmentée C =
I A At 0
.
Déterminer les valeurs propres de B en fonction des valeurs singulières de A.
Indication : Démontrer que 1 est valeur propre, et déterminer sa multiplicité. Calculer alors les autres valeurs propres de B.
Exercice 3 : Opérateur de Poisson
Soit A l'opérateur intégral sur L2(−π, π)déni par Au(t) =
Z π
−π
1−r2
1−2rcos(t−s) +r2 u(s)ds où r <1 est un paramètre xé.
1. Vérier (rapidement) le développement en série :
(1) 1 +
∞
X
n=1
rneint+
∞
X
n=1
rne−int = 1−r2
1−2rcos(t−s) +r2.
En déduire que
Z +π
−π
1−r2
1−2rcos(t−s) +r2 cos(ns)ds= rncos(nt) Z +π
−π
1−r2
1−2rcos(t−s) +r2 sin(ns)ds= rnsin(nt) 2. Déduire de (1) que
1−r2
1−2rcos(t−s) +r2
≤ 1 +r 1−r
et en déduire que A est un opérateur compact de L2(−π, π)dans lui-même.
3. Déterminer l'adjoint de A.
4. On rappelle que les fonctions (cos(nt),sin(nt)), n ∈Nforment une base hilbertienne de L2(−π, π). Déterminer alors les valeurs singulières et les vecteurs singuliers de A.
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