TD CS 305 – Problèmes inverses

ESILV–CS 305 Problèmes inverses

TD CS 305 – Problèmes inverses

M. Kern 9 décembre 2002

Exercice 1 : Identification de paramètres – problème elliptique

On considère le problème elliptique en dimension 1 suivant : (1)

−b u⁰⁰(x) +c u⁰(x) = f(x) dans]0,1[

u(0) =0, u⁰(1) =0 ,

où b et c sont des paramètres réels, et f ∈L²(0,1).

On cherche à identifier les coefficients b et c connaissant une mesure de u(x)sur]0,1[.

1 Proposer une formulation aux moindres carrés de ce problème inverse.

2 On introduit une discrétisation de l’intervalle]0,1[par un maillage de pas h. On pose x_j= jh, j=0, . . . ,N, uj≈u(x_j)et fj ≈ f(x_j). On effectue une approximation du problème (1) par une méthode d’éléments finis P₁ (u et f sont approchés par des fonctions affines sur chacun des intervalles]x_j−1,x_j+1[). Montrer que le problème approché s’écrit :

(2) (bK+cD)x=Mb,

où x= (u₁, . . . ,u_N)^t, b= (f₁, . . . ,f_N)^t. Donner l’expression des matrices K,D et M.

Donner l’expression de la fonction coût discrète J.

3 Écrire les équations linéarisées, et montrer comment calculer le gradient de la fonction coût discrète.

4 Écrire l’équation adjointe, et montrer comment calculer la dérivée de la fonction coût.

5 Programmer la résolution du problème direct. Pour valider, vous pouvez utiliser l’exemple (b=c=1) : f(x) =π²/4 sin(π/2 x) +π/2 cos(π/2 x)avec la solution u(x) =sin(π/2x). Écrire une fonctionu=function direct(b,c,f)où b,c et f dont des vecteurs.

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ESILV–CS 305 Problèmes inverses 6 Programmez les fonctions correspondantes, et calculer les dérivées partielles de J au point b=c=1. Valider par différences finies.

7 Programmer le calcul de l’état adjoint et des dérivées partielles. Validez l’état adjoint par le test du produit scalaire, et la dérivée par différences finies.

8 On prend f comme ci-dessus. Résoudre le problème d’optimisation, en prenant comme mesure la solution correspondant à b=c=1, et comme pont initial b=2,c=3.

Reprendre la question en ajoutant un bruit aléatoire de 1%, 5%, 10%.

Dans chaque cas, tracer les variations de la fonction coût en fonction b et c.

Les quelques lignes suivantes seront utiles pour démarrer : getf(’ellip.sci’)

nx=20; dx=1/nx; x=(dx:dx:1)’;

deff(’y=f(x)’, ’y=%pi^2/4*sin(%pi/2*x)+%pi/2*cos(%pi/2*x)’) fx=f(x);

deff(’y=uex(x)’, ’y=sin(%pi/2*x)’);

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