Calcul des valeurs propres

(1)

ASI 3

Méthodes numériques pour l’ingénieur

Calcul des valeurs propres

(2)

Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté

( )









+

−

=

+ +

−

=

)

2 (

2 1

2 2 2 2 2

2 2 1

1 2 1

t f u

k u

dt k u m d

u k u

k dt k

u

m d

( ) ( )

( )

2

( )

2 2

1 1

1

L t

x t

u

L t

x t

u

−

=

−

=

( ) ( )

masse

seconde la

sur uniquement

agissant force

: ) (

ressort du

raideur de

constante :

ressort du

bout au

masse :

repos au

ressort du

position :

ressort du

position :

état d'

variable :

1 1 1 1 1

t f k m L

t x

t u

















=













−

− +

 =

 

=  +

−

=

2 2 2 2

2

1 2 1

2 1

2 1 2

2

) ( 0

,

, ) (

) (

,

m t b f

m k m

k

m k m

k k

K t

u t u u

b u

dt K u

d

m₁ m₂ f(t)

k₁ k₂

x₁(t)

x₂(t)

Seconde loi de Newton

Écriture matricielle

(3)

Fréquences de résonance

,

pose on

0 ,

: 0 que telle

matrice une

on trouve si

,

2

2 2

1 1 2

2

b P dt Dv

v Pu d

v

D PKP

P b u

dt K u d

&

*

&

+

−

⇒ =

=



 



= 

= +

−

=

− λ

λ









+

−

=

+

−

=

) (

2 2

2 2 2 2

1 1

2 1 1 2

t g dt v

v d

t g dt v

v d

λ λ

Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admet

que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système

(4)

Résonances

(T. Von Karman, the wind and beyond,1963)

• 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas

• les avions qui vibrent et s’écrasent

• immeubles et tremblements de terre

• Ariane : moteur et structure

• pont de Tacoma

– 1,6 km, pointe de la technologie

– 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège

(5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

2 4 6 8 10

fré que nc e e xc ita tric e α Mmoduele d l'a

plit ud e d e l a r é po ns e

Amplitude de la réponse d ’un système oscillant

(

² ²

)

² ² ²

2 2

2

1 1 avec

)

( : solution

α ε α

ω

εα α

ω ω

ε

α α

+

= −

+

== −

= +

+

k

k i

ke t

x

e x

x x

t i t

i

(6)

-2 -1 0 1 2 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -2 0 2 4

-2 -1 0 1 2

-10 -5 0 5 10

-4 -2 0 2 4

-20 -10 0 10 20

-10 -5 0 5 10

Définition illustration

Définition : λ_i est une valeur propre de A, v_i est un vecteur propre de A.

i i

i v

v

A = λ

x A x, et

( )

^A^x ^A ^x

A x

A

x, et = ² x

A x

A x A

x, , ² et ³

x A x

A x A x A

x, , ² , ³ et ⁴ Direction

propre











= 

2 1 1

2 1 3 A

λn

λ

λ₁ ≥ ₂ ≥ ^...

(7)

0 2 4 6 8 10 12 -2

-1 0 1 2

pa rtie ré e lle mginaaeiir

Cercles de Gerschogrin

Théorème (cercle de Gerschogorin): Soit A une matrice carrée, soit R le cercle du plan complexe :

Alors toutes les valeurs propres de A sont dans un des cercles R







 ∈ − ≤

=

∑

≠

= n

i j j

ij ii

i z C z a a

R

, 1

















−

=

9 0

2

1 2 0

1 1

4 A

(8)

Démonstration

( )

∑

≠

=

≠

=

≠

=

≠

=

≤

⇒ −

≠

=

≥

≤

⇒ −

≤

−

=

−

=

⇔

=

⇔

=

n i j j

ij ii

j i

n i j

j i

j ij ii

n i j j

j ij ii

i

i ii i

ii i

n i j j

j ij

i n

j

j ij

a a

n j

x x

i

x a x

a x

a a

x

x a x

a x

x a

n i

x x

a x

Ax

, 1

, 1 ,

1 , 1

1

, : 1 pour

que

tel t

choisissan en

donc et

, 1

λ λ λ

λ λ

Toute valeur propre appartient à un cercle, donc à l’intersection de tous les cercles

(9)

Supposons que l’on connaisse une valeur propre

(

^A⁻⁼ ^I

)

^v ⁼ ⁰^méthode ^LU

v Av

λ λ

Idée : approximation successives sur la valeur propre Méthode de la séquence.

(10)

( )

_{[ ]}





+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

∃

∈

∀ _∈

v v

x A

v v

x A

v v

x A

v A v

A v

A x

A

v v

x

R x

k k n k n

k k

k n n k

k k k

n n

n n n

n n

n n n

i i n

1 3

1 3 3 2

1 2 2 1

1 1

3 3 3 2

2 2 1

1 1

2 3

2 3 3 2

2 2 2 1

2 1 1 2

3 3 3 2

2 2 1

1 1

3 3

2 2

1 1

3 3 2

2 1

1

, 1

...

... ...

...

que tels

,

λ α λ λ

α λ λ

α λ α

λ

λ α λ

α λ

α

λ α λ

α λ

α

λ α λ

α λ

α

α α

α

intuition

la matrice A admet n vecteurs propres v_i linéairement indépendants Hypothèse

(11)

intuition

la matrice A admet n vecteurs propres v_i linéairement indépendants Hypothèse

( )

_{[ ]}





+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

+ +

=

∃

∈

∀ _∈

v v

x A

v v

x A

v v

x A

v A v

A v

A x

A

v v

x

R x

k k n k n

k k

k n n k

k k k

n n

n n n

n n

n n n

i i n

1 3

1 3 3 2

1 2 2 1

1 1

3 3 3 2

2 2 1

1 1

2 3

2 3 3 2

2 2 2 1

2 1 1 2

3 3 3 2

2 2 1

1 1

3 3

2 2

1 1

3 3 2

2 1

1

, 1

...

... ...

...

que tels

,

λ α λ λ

α λ λ

α λ α

λ

λ α λ

α λ

α

λ α λ

α λ

α

λ α λ

α λ

α

α α

α

(12)

Puissance itérée

( ) ( )

 ( )







= _old^old

new init

Ax x Ax

x :quelquonque

Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière)

( )

{ }

( )

1

) ( 1

1 )

( 3

2 init

) ( lim

lim

suivantes propriétés

les possède

dessus -

ci algorithme l'

par générée

suite la

Alors,

de propres vecteur

les ,...

, par

engendré vectoriel

espace sous

au pas appartient

n' si

v x

sign Ax

x

A v

v v x

k k k

k k

N k k n

∝

=

∞

→

∞

→

∈

λ λ

(13)

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

Exemple de question à l’examen

(14)

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

( ) ( )

 ( )







= ₋⁻ _old^old

new init

x A

x x A

x

1 1

e quelquonqu

: ( )

( )









=

u x u

x Au

x

new

old init

e quelquonqu :

(15)

Comment calculer la plus petite valeur propre ?

( ) ( )

 ( )







= ₋⁻ _old^old

new init

x A

x x A

x

1 1

e quelquonqu

: ( )

( )









=

u x u

x Au

x

new

old init

e quelquonqu :

Et si on remplace A par B=A-α^{I ou} α est un réel ?

(16)

Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation

T T

1 1 1 1

*

1 donc

et

e orthogonal base

une forment propres

vecteurs les

v v A

B v

v = = −λ

( )

ouver comment tr

de place la

à 0 et

que propres

s et vecteur valeurs

mêmes les

admet alors

ou

* 1

* 1 1 1

1

* 1

* 1 1 1

v

v v

v v v

A v

v v A

v B

A B

v v v

v A

B

i i i

i i

i

i i

λ λ

λ

δ λ

= +

=

−

=

−

=

Cas simple : A est symétrique

?

Cas général : A est quelconque, la méthode de Duncan et Collard

(17)

Théorème (Shur) : Soit A une matrice carrée,

Alors il existe une matrice U non singulière telle que :

avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est composée des valeurs propres de A.

Démonstration : voir Théodore et Lascaux

Propriétés des valeurs propres

Définition : deux matrices A et B sont similaires

s’il existe une matrice Q non singulière telle que : BQ

Q A = ⁻¹

Théorème : Si A et B sont des matrices similaires et λ est une valeur propre de A associée au vecteur propre x (non nul),

Alors λ est aussi une valeur propre de B avec le vecteur Qx Démonstration

, ,

v v

Qx Qx

B

x BQx

Q x

Ax λ λ λ

=

⇔ =

⇔

= ⁻

1

AU U

T = ⁻¹

(18)

Théorème : Soit A une matrice carrée symétrique,

Alors il existe une matrice Q orthogonale telle que :

avec D une matrice diagonale composée des valeurs propres de A;

et Q composée des vecteurs propres de A qui sont orthogonaux.

Démonstration :

Matrices équivalentes

DQ Q

AQ Q

D = ⁻¹ = ^T

) ( )

( 1

: colonnes les

s

pour toute Aq ⁱ d_iiq ⁱ

QD AQ

AQ Q

D

=

⇔

= ⁻

(19)

Principe de la méthode QR

• les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont sur sa diagonale

• il existe un transformation orthogonale telle que T=Q’AQ

alors T et A sont équivalentes (elles ont les même valeurs propres) et T est une matrice triangulaire

Comment construire Q ?

(20)

La méthode QR

Il est si facile le résoudre un système « triangulaire » !

1b Q Rx

b Ax

QR

A == ⇔ = −

Q « facilement » inversible et R triangulaire

Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante

2uu^T I

H = −

Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale H^TH=I

x Hx =

Les transformations orthogonales « conservent » la norme

(21)

QR et valeurs propres





=

= =

+1) ( ) ( ) (

) ( )

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )

2 (

) 1 ( )

1 ( ) 1 (

) 1 (

itération

k k

k

k k

k

Q R

A

A R

k Q Q R

A

A R

Q

A A

Théorème : si A est une matrice inversible,

de valeurs propres réelles différentes

la suite converge vers une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée

des valeurs propres de A

Démonstration :toutes les matrices de la suite ont les mêmes vp

( )

^A(^k) ^k∈^N

initialisation

Une fois qu’on a les valeurs propres, les vecteurs propres se trouvent facilement.

( )

^A(^k) ^k∈^N

(22)

Méthode de Householder

( )

^, ^,

matrice la

de propres valeurs

les recherche

on A∈L n n

1. On utilise l’algorithme de Householder pour construire

une matrice T tris diagonale ayant les mêmes valeur propres que A

2. On pose T(0) = T

On décompose T(0) = QR et on construit T(1) = RQ

et on itère : (Q,R) = decomposeQR(T(k)) T(k+1) = R*Q

Alors la suite diag(T(k)) converge vers les valeurs propres de A.

(23)

Matrices semblables

(qui ont les mêmes valeurs propres)

w k w

k k

T k k

k k

T k

k k

k T

k

k k

k

k k

k

v Q

A

v v

Q A

Q v

v A

Q A

Q

Q R

Q Q

Q R

A

A R

Q

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( )

1 (

) ( )

( )

(

) ( ) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

1 (

) ( )

( ) (

λ

λ λ

=

⇔

=

+ +

(24)

n i

d d

d

0 0

0

1 0

SVD : décomposition en valeurs singulières

Matlab : deux programmes équivalents : svd(A).^2 eig(A'*A)

A'A d

D

I V

V U

U

V U

DV U

A

ii racine carrée des valeurspropres de diagonale marice

avec

' '

es orthogonal marices

et avec

' = =

=

A

=

U V

(25)

Calcul des valeurs propres

ASI 3

Méthodes numériques pour l’ingénieur