Partie III - Une suite de valeurs propres de Q

(1)

SESSION 2008

Concours commun Centrale

MATHÉMATIQUES 1. FILIERE MP

Partie I - Quelques résultats généraux

I.A -

I.A.1) Théorème deCauchy-Lipschitz.Soientaetbdeux fonctions définies et continues sur un intervalleIdeRà valeurs dansR. Alors, pour tout(x0, y0, z0)∈I×R×R, il existe une et une seule solution de l’équationy^′′+ay^′+by=0 telle quey(x0) =y0et y^′(x0) =z0.

Ici, les fonctionsa=0et b=λ−qsont continues surRet le théorème deCauchy-Lipschitzs’applique donc à(E_λ)en tout(x₀, y₀, z₀)∈R³.

Soityune solution de(E_λ)surR. Pourx∈R, posonsz(x) = −y(−x). zest deux fois dérivable surRet pourx∈R,

z^′′(x) + (λ−q(x))z(x) = −y^′′(−x) + (λ−q(x))(−y(x)) = − (y^′′(−x) + (λ−q(−x))y(−x)) (carqest paire)

=0.

Ainsi,zest également solution de(E_λ)surR. Mais alors, d’après le théorème deCauchy-Lipschitz,

yest impaire⇔y=z

⇔(y(0) =z(0)ety^′(0) =z^′(0))⇔(y(0) = −y(0)ety^′(0) =y^′(0))

⇔y(0) =0.

Une solutionyde(Eλ)surRest impaire si et seulement siy(0) =0.

I.A.2)De même, siyest une solution de(E_λ)surR, la fonctionz : x7→y(−x)est une solution de(E_λ)surR. Par suite, yest paire⇔y(0) =z(0)ety^′(0) =z^′(0)⇔y(0) =y(0)et y^′(0) = −y^′(0)⇔y^′(0) =0.

Soit(y₁, y₂)une base de l’espace des solutions de(E_λ)surR. Le wronskienW de la famille(y₁, y₂)ne s’annule pas sur Ret en particulier,

W(0) =y₁(0)y₂^′(0) −y₂(0)y₁^′(0)6=0,

ce qui n’est pas siy1ety2sont toutes deux paires ou toutes deux impaires, d’après ce qui précède.

On suppose de plus que λ est une valeur propre de Q. Le sous-espace propre E_λ de Q associé à λ est l’ensemble des solutions impaires de(E_λ)surR. On a donc16dim(E_λ)62. Mais d’après ci-dessus, (E_λ)admet au moins une solution qui n’est pas impaire. Donc dim(E_λ)< 2et finalement

les sous-espaces propres deQsont de dimension1.

I.B -

I.B.1)Ce qui précède s’applique en particulier aux applications linéaires A et B et les sous-espaces propres de Aet B sont des droites.

Soientλ∈Ret yune fonction de classeC²surR.

A(y) =λy⇔y^′′+ (λ−a)y=0⇔∃(α, β)∈R²/∀x∈R, y(x) =





αch(x√

a−λ) +βsh(x√

a−λ)sia > λ α+βxsia=λ

αcos(x√

λ−a) +βsin(x√

λ−a)sia < λ .

(2)

Dans tous les cas,yest impaire si et seulement siα=0.

Réciproquement,

•siλ6ales fonctiony : x7→βxoux7→βsh(x√

a−λ), β6=0, sont non bornées sur Ret donc non périodiques. Dans ce cas, l’équationA(y) =λyn’admet pas d’autre solution dansE₂que la fonction nulle etλn’est pas valeur propre deA.

• Si maintenant λ > a, les fonctionsy : x7→ βsin(x√

λ−a)sont les solutions impaires de l’équationA(y) =λy. Par suite,

λ∈Sp(A)⇔la fonctionx7→sin(x√

λ−a)est2π-périodique

⇔∀x∈R, sin(x√

λ−a+2π√

λ−a) =sin(x√ λ−a)

⇔2π√

λ−a∈2πZ⇔√

λ−a∈Z

⇔∃k∈Z/√

λ−a=k⇔∃k∈N^∗/ λ=a+k²(carλ > a).

Les valeurs propres deAsont lesa+k²,k∈N^∗ et de même les valeurs propres deBsont lesb+k²,k∈N^∗. Sp(A) ={a+k², k∈N^∗}et Sp(B) ={b+k², k∈N^∗}.

Maintenant, pourk∈N^∗ le sous-espace propre de A(ouB) associé à la valeur proprea+k² est la droite engendré par la fonctionx7→sin(xp

(a+k²) −a)ou encore la fonctionx7→sin(kx)c’est-à-dire la fonction s_k. L’énoncé a rappelé que sk est un vecteur unitaire pour le produit scalaire considéré.

Le sous-espace propre de A(resp.B) associé à la valeur proprea+k²(resp.b+k²),k∈N^∗, est Vect(sk).

I.B.2)Soitf∈E2.

(f|Q(f)) − (f|A(f)) = (f|(Q−A)(f)) = (f|(q−a)f) = 1 π

Z2π

0

(q(x) −a)f²(x)dx>0.

De même,(f|Q(f)) − (f|B(f))60.

∀f∈E2, (f|A(f))6(f|Q(f))6(f|B(f)).

Partie II - Problème approché de dimension finie

II.A - Question de cours.Π_nest bien définie surEcarV_nest de dimension finie (théorème de la projection orthogonale).

Soientn∈N^∗ etf∈E. Puisque la famille(s_k)_k∈N∗ est orthonormale, Π_n(f) =

Xn

k=1

(f|s_k)s_k= Xn

k=1

b_k(f)s_k.

Puisquefest continue surR,2π-périodique et impaire,Π_n(f)est len-ème polynôme deFourierdefou encore lan-ème somme partielle de la série deFourierdef. La formule deParsevalvalable pour tout élément deEaffirme alors que

n→lim+∞kΠn(f)k²= lim

n→+∞

Xn

k=1

b²_k=kfk²= 1 π

Z2π

0

f²(t)dt,

et le théorème dePythagorepermet quant à lui d’affirmer que

n→lim+∞kf−Πn(f)k²=0.

∀(f, g)∈E², (f|Πn(g)) = (Πn(f)|g).

(3)

II.A.3)Soit(f, g)∈E²₂. Une intégration par parties fournit Z2π

0

f^′′(x)g(x)dx= [f^′(x)g(x)]^2π₀ − Z2π

0

f^′(x)g^′(x)dx= − Z2π

0

f^′(x)g^′(x)dx(carf^′ et gsont2π-périodiques).

Mais alors,

(Q(f)|g) = 1 π

Z2π

0

(−f^′′(x) +q(x)f(x))g(x)dx= −1 π

Z2π

0

f^′′(x)g(x) +1 π

Z2π

0

q(x)f(x))g(x)dx

= 1 π

Z2π

0

(f^′(x)g^′(x) +q(x)f(x)g(x))dx.

Par symétrie des rôles defet g, on a aussi(f|Q(g)) = 1 π

Z2π

0

(f^′(x)g^′(x) +q(x)f(x)g(x))dx= (Q(f)|g).

∀(f, g)∈E²₂, (f|Q(g)) = (Q(f)|g).

La restrictionQ_n deΠ_n◦Qà V_n est linéaire et est à valeurs dansV_n. Donc,Q_n est un endomorphisme deV_n. De plus, pour(f, g)∈V_n², d’après II.A.2) on a

(f|Q_n(g)) = (f|Π_n(Q(g))) = (Π_n(f)|Q(g)) = (f|Q(g)) = (Q(f)|g) = (Q(f)|Π_n(g)) = (Π_n(Q(f))|g) = (Q_n(f)|g).

Qn ∈S(V_n).

II.B -

II.B.1)Soitf∈V_n. D’après II.A.2) on a

(f|A_n(f)) = (f|Π_n(A(f))) = (Π_n(f)|A(f)) = (f|A(f)),

et de même(f|Q_n(f)) = (f|Q(f))et(f|B_n(f)) = (f|B(f)). La question I.B.2) permet alors d’affirmer que

∀f∈Vn, (f|A_n(f))6(f|Q_n(f))6(f|B_n(f)).

II.B.2) a) D’après la question I.B.1), les valeurs propres deA_n et B_n sont les valeurs propres deAet B associées aux s_k, k∈J1, nK. Ce sont les nombresa+k² (resp.b+k²),k∈J1, nK.

b)Soitk∈J1, nK.

dim(V_k∩Vect(ek,n, . . . , en,n)) =dim(V_k) +dim(Vect(ek,n, . . . , en,n)) −dim(V_k+Vect(ek,n, . . . , en,n))

=k+ (n−k+1) −dim(Vk+Vect(ek,n, ek+1,n, . . . , en,n))

=n+1−dim(V_k+Vect(ek,n, e_k+1,n, . . . , e_n,n))

>1.

Ainsi,Vk∩Vect(ek,n, ek+1,n, . . . , en,n)contient un vecteur non nulg. Mais alorsf= g

kgk est un vecteur unitaire élément deV_k∩Vect(ek,n, ek+1,n, . . . , e_n,n).

On peut alors poserf = Xk

i=1

b_i(f)s_i et aussif = Xn

i=k

α_ie_i,n, (α_k, . . . , α_n) ∈ R^n+1−k. Puisque les familles (s_i)_16i6k et (e_i,n)_k6i6n sont orthonormales et quef est unitaire, on a

(f|Q(f)) = Xn

i=k

α_ie_i,n| Xn

i=k

α_iλ_i,ne_i,n

!

= Xn

i=k

λ_i,nα²_i >λ_k,n Xn

i=k

α²_i =λ_k,nkfk²=λ_k,n. et aussi

(f|B(f)) = Xk

i=1

bi(f)si| Xk

i=1

bi(f)(i²+b)si

!

= Xk

i=1

(i²+b)(bi(f))²6(k²+b) Xk

i=1

(bi(f))²= (k²+b)kfk²=k²+b.

(4)

D’après I.B.2), on a alors

λk,n6(f|Q(f))6(f|B(f))6k²+b.

De même, Vect(sk, . . . , sn)∩Vect(e1,n, . . . , ek,n)6={0} et en choisissant un vecteur unitaire fde cet espace, on a d’une part(f|A(f))>k²+aet d’autre part(f|Q(f))6λk,n.

On a montré que

∀k∈J1, nK, k²+a6λk,n6k²+b.

c)Soitf∈Vn−1.

(f|Q_n(f)) = (f|Π_n(Q(f))) = (Π_n(f)|Q(f)) = (f|Q(f)) = (Π_n−1(f)|Q(f)) = (f|Π_n−1(Q(f))) = (f|Q_n−1(f)).

Soit k ∈ J1, n−1K. Comme à la question précédente, Vect(e1,n−1, . . . , e_k,n−1) et Vect(ek,n, . . . , e_n,n) sont des sous- espaces vectoriels deV_n tels que Vect(e1,n−1, . . . , e_k,n−1)∩Vect(ek,n, . . . , e_n,n)contienne un vecteur unitairef. On pose f=

Xk

i=1

αi,n−1ei,n−1= Xn

i=k

βi,nei,n et on a

λ_k,n=λ_k,n Xn

i=k

β²_i,n6 Xn

i=k

λ_i,nβ²_i,n= (f|Q_n(f)) = (f|Q_n−1(f)) = Xk

i=1

λ_i,n−1α²_i,n−16λ_k,n−1 Xk

i=1

α²_i,n−1=λ_k,n−1.

∀n>2, ∀k∈J1, n−1K, λk,n−1>λ_k,n.

II.C -Soitk∈N^∗. La question II.B.2)c) montre que la suite(λ_k,n)_n>k est croissante et la question II.B.2)b) montre que cette suite est majorée park²+b. On en déduit que cette suite converge vers un réel notéλk. Toujours d’après II.B.2)b), on a∀n>k, k²+a6λk,n6k²+bet par passage à la limite quandntend vers+∞, on obtientλk∈Ik.

Soit de nouveauk∈N^∗. Pour n>k+1, on aλ_k,n6λk+1,n. Quand ntend vers+∞, on obtient λ_k 6λk+1. La suite (λ_k)_k∈N∗ est donc croissante.

Partie III - Une suite de valeurs propres de Q

III.A -

III.A.1)La fonctiony²_λ+ y_λ^′²

λ est de classe C¹ sur Ret ne s’annule pas sur R. En effet, dans le cas contraire, il existe x₀∈Rtel quey_λ(x₀) =y_λ^′(x₀) =0 et le théorème deCauchymontre quey_λ=0ce qui n’est pas cary^′(0) =√

λ6=0.

Posons alors r_λ = r

y²_λ+y_λ^′²

λ . r_λ est une fonction strictement positive, de classe C¹ sur R. Ensuite, la fonction x 7→

1 r_λ(y_λ^′

√λ+iy_λ)est de classeC¹surRà valeurs dansU={z∈C/|z|=1}. D’après le théorème de relèvement, il existe une fonctionθde classeC1surRtelle que∀x∈R, 1

r_λ(x)(y_λ^′(x)

√λ +iyλ(x)) =e^iθ(x).

Pour x = 0, on obtient en particulier1 = e^iθ(0) ce qui montre que θ(0) ∈ 2πZ. Mais alors, la fonction θλ = θ−θ(0) s’annule en0, est de classeC¹ surRet vérifie encore 1

rλ

(y_λ^′

√λ+iy_λ) =e^iθ^λ ou ce qui revient au même, y_λ^′

√λ =r_λcosθ_λ et yλ=rλsinθλ.

III.A.2)La fonction(x, θ)7→√ λ− q

√λsin²θest de classeC¹surR²qui est un ouvert deR². Le théorème deCauchy- Lipschitzpermet alors d’affirmer l’existence et l’unicité de la solution maximale de(T_λ).

On a déjàθλ(0) =0. Ensuite, rλ= ry^′2

λ +y²_λ et donc

r_λ^′ = 2

y_λ^′y_λ^′′

λ +yλy_λ^′

2rλ

= y_λ^′(y_λ^′′+λyλ) λrλ

= qyλy_λ^′ λrλ

= qrλcosθλ

√λrλsinθλ

λrλ

= qrλ

√λ cosθλsinθλ.

(5)

On dérive alorsyλ et on obtient

√λrλcosθλ=y_λ^′ =r_λ^′ sinθλ+rλθ_λ^′ cosθλ= qrλ

√λ cosθλsin²θλ+rλθ_λ^′cosθλ.

Maintenant, la fonction rλ ne s’annule pas sur R et donc après simplification par rcosθλ pour les x réels tels que cosθλ(x)6=0, on obtient

√λ= q

√λsin²θ_λ+θ_λ^′, ou encore

θ_λ^′ =√ λ− q

√λsin²θ_λ.

Maintenant, cette dernière égalité reste en fait valable pour lesxtels que cosθ_λ(x) =0par continuité de θ_λ etθ_λ^′ surR. θ_λ^′ =√

λ− q

√λsin²θλ et θλ(0) =0.

III.A.3)On a vu plus haut que

r_λ^′ = qsin(2θλ) 2√

λ r_λ. III.B -

III.B.1)Soitλ > 0et t>0.

|θ(λ, t) −√

λt|=

Zt

0

(θ_λ^′(x) −√ λ)dx

6 Zt

0

|θ_λ^′(x) −√ λ|dx=

Zt

0

q(x)√ λ

sin²θλ(x)dx6 Zt

0

kq√k∞

λ dx= kqk∞t

√λ , puis classiquement pour tout réelα,|sinα|6|α|et donc

cos(2θ(λ, t)) −cos 2√

λt =2

sin

θ(λ, t) +√ λt

×sin

θ(λ, t) −√ λt

62×1×

θ(λ, t) −√ λt

6 2kqk∞t

√λ .

∀λ > 0, ∀t∈R⁺, |θ(λ, t) −√

λt|6kqk∞t

√λ et

cos(2θ(λ, t)) −cos 2√

λt

6 2kqk∞t

√λ .

III.B.2)Intégrons sur[0, 2π]l’égalitéθ_λ^′ =√ λ− q

2√

λ(1−cos(2θλ)). En tenant compte deθ_λ(0) =0, on obtient θ_λ(2π) =2π√

λ− 1 2√ λ

Z2π

0

q(t)(cos(2θλ(t)) −1)dt,

et donc

θ(λ, t) −2π√ λ+ 1

2√ λ

Z2π

0

q(t)dt− 1 2√ λ

Z2π

0

q(t)cos 2√

λt dt

= 1 2√

λ

Z2π

0

q(t)(cos(2θλ(t)) −cos(2√ λt))dt

6 1

2√ λ

Z2π

0

q(t)(cos(2θλ(t)) −cos(2√ λt)

dt

6 1

2√ λ

Z2π

0

kqk∞

2kqk∞t

√λ dt= 2π²kqk²_∞

λ .

∃K∈R/∀λ > 0,

θ(λ, t) −2π√ λ+ 1

2√ λ

Z2π

0

q(t)dt− 1 2√ λ

Z2π

0

q(t)cos 2√

λt dt

6 K λ.

III.B.3)Ainsi, quandλ tend vers+∞, on a θ(λ, 2π) =2π√

λ

"

1− 1 4πλ

Z2π

0

q(t)dt+ 1 4πλ

Z2π

0

q(t)cos 2√

λt

dt+O 1

λ^3/2 #

. Maintenant, la fonctionqest continue sur Ret le lemme deLebesguepermet d’affirmer que

λ→lim+∞

Z2π

0

q(t)cos 2√

λt

dt=0 et donc que 1 4πλ

Z2π

0

q(t)cos 2√

λt

dt+O 1

λ^3/2

λ→=+∞

o 1

λ

.

(6)

θ(λ, 2π) =

λ→+∞ 2π√ λ

"

1− 1 4πλ

Z2π

0

q(t)dt+ 1

λ #

.

III.B.4) a)Il est admis que la fonctionλ7→θ(λ, 2π)est continue sur]0,+∞[. D’autre part, la question III.B.3) montre que lim

λ→+∞

θ(λ, 2π) = +∞. Construisons alors la suite(µ_k)_k>k0.

•Soitk0un entier naturel non nul supérieur ou égal à θ(1, 2π)

2π . Alors,2k0π∈[θ(1, 2π),+∞[et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existeµ_k0> 0tel que θ(µ_k0, 2π) =2k₀π.

• Soitk>k₀. Supposons avoir construitµ_k0,. . . , µ_k tels que0 < µ_k0 6. . . 6µ_k et ∀p∈Jk0, kK, θ(µp, 2π) =2pπ. La fonctionλ 7→θ(λ, 2π)est continue sur [µ_k,+∞[ et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, cette fonction prend toutes les valeurs de l’intervalle [θ(µ_k, 2π), lim

λ→+∞

θ(λ, 2π)[= [2kπ,+∞[. En particulier, comme 2(k+1)π ∈]2kπ,+∞[,

∃µk+1∈]µk,+∞[ tel queθ(µk+1, 2π) =2(k+1)π.

On a ainsi construit un entierk0> 0puis, par récurrence, une suite(µ_k)_k>k0 strictement croissante de réels strictement positifs telle que∀k>k0, θ(µ_k, 2π) =2kπ.

b) La suite (µk) est strictement croissante. Si elle converge vers un réel µ, par continuité de la fonction λ 7→ θ(λ, 2π) sur]0,+∞[, la suite(θ(µk, 2π))converge vers le réel θ(µ, 2π). Ceci contredit lim

k→+∞θ(µk, 2π) = lim

k→+∞2kπ= +∞. Donc

k→lim+∞µk= +∞. D’après II.B.3)

4π²(k²−µk) =θ(µ_k, 2π)²− (2π√

µk)² =

k→+∞

(2π√ µk)²





"

1− 1 4πµk

Z2π

0

q(t)dt+o 1

µk

#2

−1





k→+∞= (2π√

µk)² 1− 2 4πµ_k

Z2π

0

q(t)dt+o 1

µ_k

−1

!

= −2π Z2π

0

q(t)dt+o(1),

et donc

µ_k−k² =

k→+∞

1 2π

Z2π

0

q(t)dt+o(1).

k→lim+∞(µ_k−k²) = 1 2π

Z2π

0

q(t)dt.

III.C -

III.C.1)•Pourx∈R, posonsϕλ(x) = −θλ(−x). ϕλ est dérivable surRet pour tout réelx, ϕ_λ^′(x) =θ_λ^′(−x) =√

λ−q(−x)

√λ sin²(θ_λ(−x)) =√

λ−q(x)

√λ sin²(−ϕ_λ(x)) =√

λ−q(x)

√λ sin²(ϕ_λ(x)),

et de plus,ϕλ(0) = −θλ(0) =0. Ainsi, ϕλ est solution de(Tλ)et le théorème de Cauchy-Lipschitzpermet d’affirmer queϕλ=θλet donc que∀x∈R, θλ(−x) = −θλ(x).

•Pourx∈R, posonsϕ_λ(x) =θ_λ(x+2π) −2kπ.ϕ_λ est dérivable surRet pour tout réelx, ϕ_λ^′(x) =θ_λ^′(x+2π) =√

λ− q(x+2π)

√λ sin²(θ_λ(x+2π)) =√

λ−q(x)

√λ sin²(ϕ_λ(x) +2kπ) =√

λ− q(x)

√λ sin²(ϕ_λ(x)),

(7)

et de plus,ϕλ(0) =θλ(2π) −2kπ=0. De même que précédemment, le théorème deCauchy-Lipschitzpermet d’affirmer queϕλ=θλet donc que∀x∈R, θλ(x+2π) −2kπ=θλ(x).

Siλ∈]0,+∞[∩Sp(Q),∀x∈R,θ(λ,−x) = −θ(λ, x)et θ(λ, x+2π) −2kπ=θ(λ, x).

III.C.2)Puisqueuest impaire et2π-périodique, pour tout réelx, Zx+2π

x

u(t)dt= Zπ

−π

u(t)dt=0et donc Zx+2π

0

u(t)dt= Zx

0

u(t)dt+ Zx+2π

x

u(t)dt= Zx

0

u(t)dt. La fonctionx7→

Zx

0

u(t)dtest donc 2π-périodique.

On a vu à la question II.A.3) que r_λ^′ = ur_λ oùu = qsin(2θ) 2√

λ . En tenant compte de r_λ(0) = rλ

λ+0 = 1, on a donc

∀x∈R,r_λ(x) =e Zx

0

u(t)dt .

Maintenant, la fonctionq est paire et2π-périodique et d’après II.C.1), la fonction sin(2θλ)est impaire et2π-périodique.

On en déduit que la fonctionuest impaire et2π-périodique et donc quer_λest2π-périodique. D’autre part,uest impaire et donc la fonctionx7→

Zx

0

u(t)dtest paire. Il en est de même derλ. r_λest 2π-périodique et paire.

III.C.3)Ainsi, la fonction sinθ_λest impaire et2π-périodique d’après II.C.1) et la fonctionr_λ est paire et2π-périodique d’après II.C.2). On en déduit quey_λ=r_λsinθ_λ est impaire et2π-périodique.

yλ est donc un élément non nul de E2 (cary_λ^′(0) =√

λ6=0) tel que y^′′+ (λ−q)y= 0ou encore tel que Q(y_λ) =λyλ. On en déduit que

λest valeur propre deQ.

III.C.4)Les réelsµk forment donc une suite de valeurs propres deQ.

Partie IV - Valeurs propres de Q

IV.A -

IV.A.1) a) Soient n ∈ N^∗ puis z_n un vecteur propre associé à α_n. Les deux vecteurs ± z_n

kz_nk sont unitaires, encore vecteurs propres deQn associés àαn et l’un des deux a une dérivée positive en0. On peut donc trouverynvecteur propre unitaire deQn associé àαn tel quey_n^′(0)>0.

b)y_n est dansV_n=Vect(sk)_16k6n et doncy_n^′′ est dans Vect(−k²s_k)_16k6n =Vect(sk)_16k6n=V_n. Par suite, Π_n(y_n^′′) =y_n^′′ puis

Q_n(y_n) =Π_n(Q(y_n)) =Π_n(−y_n^′′+qy_n) = −y_n^′′+Π_n(qy_n), puis

kQ(yn) −αnynk²=kQ(yn) −Qn(yn)k²=k(−y_n^′′+qyn) − (−y_n^′′+Πn(qyn))k²=kqyn−Πn(qyn)k².

∀n∈N^∗, kQ(y_n) −α_ny_nk2=kqy_n−Π_n(qy_n)k2.

IV.A.2) Soit n ∈ N^∗. y_n est dans V_n et la famille (s_m)_16m6n est une base orthonormale de V_n. Donc, y_n = Xn

m=1

(yn|sm)sm= Xn

m=1

bm(yn)sm puis par linéarité deΠn,

qyn−Πn(qy_n) = Xn

m=1

bm(y_n)qs_m− Xn

m=1

bm(y_n)Π_n(qs_m) = Xn

m=1

bm(y_n) [qs_m−Πn(qs_m)].

∀n∈N^∗, qyn−Πn(qy_n) = Xn

m=1

bm(y_n) [qs_m−Πn(qs_m)].

(8)

d)Soientn∈N^∗ puism∈J1, nK.

kQ(y_n) −α_ny_nk2=kqy_n−Π_n(qy_n)k2=

Xn

m=1

b_m(y_n) [qs_m−Π_n(qs_m)]

2

6 Xn

m=1

|b_m(y_n)|kqs_m−Π_n(qs_m)k2=

Xn

m=1

|b_m(y_n)|r_m,n.

Ensuite, d’après le théorème dePythagore,

rm,n= q

kqsm−Πn(qs_m)k²2= q

kqsmk²2−kΠn(qs_m)k²2

6kqsmk²= s

1 π

Z2π

0

q²(t)sin²(mt)dt

6 s

1 π

Z2π

0

q²(t)dt=kqk2.

e)Soient n∈N^∗ puism∈J1, nK. Par définition, on a−y_n^′′+qy_n−α_ny_n =0. On sait que b_m(y_n^′′) = −m²b_n(y_n) et donc, par linéarité des coefficients deFourier,

−m²b_m(y_n) +b_m(qy_n) −α_nb_m(y_n) =0.

f )Soient n∈N^∗ puism∈J1, nK. D’après l’inégalité deCauchy-Schwarz,

|bm(yn)|=k(yn|sm)|6kynk²× ksmk²=1×1=1.

Puis,

|b_m(qy_n)|6 1

π Z2π

0

|q(x)|×|y_n(x)dx= (|q| | |y_n|)6k|q|k2× k|y_n|k2=kqk2ky_nk2=kqk2.

et donc d’après e),

|m²b_m(y_n)|=|−b_m(qy_n) +α_nb_m(y_n)|6|b_m(qy_n)|+α_n|b_m(y_n)|6kqk2+1×sup{αn, n∈N^∗}=C.

g)Pour(m, n)∈(N^∗)²tel quem6n, posonsxm,n=|bm(yn)|rm,n.

•D’après f), on a|xm,n|6rm,n=kqsm−Πn(qsm)k². D’après le rappel de cours II.A.1), on a∀m∈N^∗, lim

n→+∞rm,n=0 et donc∀m∈N^∗, la suite(xm,n)n>m converge etd lim

n→+∞xm,n=0=xm.

•D’après f) et d),∀m∈N^∗,∀n>n,|x_m,n|6 C

m²× kqk2=ξ_m. De plus, la série de terme généralξ_m > 0converge.

D’après le résultat admis dans le préliminaire, lim

n→+∞

Xn

m=1

xm,n=

+∞

X

m=1

xm =0. Mais alors, d’après d)

n→lim+∞kQ(y_n) −α_ny_nk2=0.

IV.A.2) a)Soitn∈N^∗.

kz_nk2=kQ(y_n) −αy_nk26kQ(y_n) −α_ny_nk2+|α_n−α|ky_nk2=kQ(y_n) −α_ny_nk2+|α_n−α|_n→

→+∞ 0.

n→lim+∞kz_nk2=0.

b)Notonsxle wronskien de la famille(u, v). On a donc w=uv^′−u^′v. Mais alors,west de classeC¹ surRet w^′ =uv^′′+u^′v^′−u^′v^′−u^′′v=u((q−α)v) −v((q−α)u) =0.

(9)

Ainsi, la fonctionwest constante surRet donc∀x∈R, w(x) =w(0) =1.

∀x∈R, u(x)v^′(x) −vu^′(x)v(x) =1.

c)y_nest solution surRde l’équation différentielley^′′+ (α−q)y= −z_n(E). Les solutions de l’équation homogène associée sont les fonctions de la formeλu+µv,(λ, µ)∈R².

Déterminons alors une solution particulière de (E) par la méthode de variations des constantes : on sait que (E) une solution sous la formey= λu+µv oùλ et µ sont des fonctions vérifiant

λ^′u+µ^′v=0

λ^′u^′+µ^′v^′ = −z_n . Le déterminant de ce système vautuv^′−u^′v c’est-à-dire1 d’après b). Les formules deCramerfournissent alors

λ^′=

0 v

−zn v^′

=vzn et µ^′ =

u 0

u^′ −zn

= −uzn,

et on peut prendre pour tout réelx:λ(x) = Zx

0

v(t)z_n(t)dt,µ(x) = − Zx

0

u(t)z_n(t)dtpuis

y(x) =u(x) Zx

0

v(t)zn(t)dt−v(x) Zx

0

u(t)zn(t)dt= Zx

0

(u(x)v(t) −v(x)u(t))zn(t)dt.

Ainsi, il existe deux réelsλet µtels que∀x∈R, y_n(x) =λu(x) +µv(x) + Zx

0

(u(x)v(t) −v(x)u(t))z_n(t)dt(∗).

x=0 fournit0=λ+0 (cary_n est impaire) et doncλ=0.

Pour obtenir la valeur deµ, on dérive puis on évalue en0 : Zx

0

(u(x)v(t) −v(x)u(t))zn(t)dt ^′

=

u(x) Zx

0

v(t)zn(t)dt−v(x) Zx

0

u(t)zn(t)dt ^′

=u^′(x) Zx

0

v(t)z_n(t)dt−v^′(x) Zx

0

u(t)z_n(t)dt.

Cette dérivée s’annule en0et donc en dérivant(∗)puis en évaluant en 0, on obtienty_n^′(0) =µv^′(0) =µ.

On a montré que

∀x∈R, y_n(x) =y_n^′(0)v(x) + Zx

0

K(x, t)z_n(t)dt oùK(x, t) =u(x)v(t) −v(x)u(t).

d)Soient(a, b)∈R²tel quea < b puisketldes entiers relatifs tels que2kπ6a < b62lπ. Soientn∈N^∗ etx∈[a, b].

D’après l’inégalité deCauchy-Schwarz, on a

|fn(x)|6

Z2lπ

2kπ

|K(x, t)||zn(t)|dt6

sZ2lπ

2kπ

K²(x, t)dt sZ2lπ

2kπ

z²_n(t)dt.

Maintenant, pour(x, t)∈[2kπ, 2lπ]²,|K(x, t)|6|u(x)||v(t)|+|u(t)||v(x)|62kuk∞,[2kπ,2lπ]kvk∞,[2kπ,2lπ]et donc, puisque zn= −y_n^′′+qyn−αyn est2π-périodique,

|f_n(x)|62p

2(l−k)πkuk∞,[2kπ,2lπ]kvk∞,[2kπ,2lπ]

s (l−k)

Z2π

0

z²_n(t)dt

=2π√

2(l−k)kuk∞,[2kπ,2lπ]kvk∞,[2kπ,2lπ]kznk2, et donc

kfnk∞,[a,b]62π√

2(l−k)kuk∞,[2kπ,2lπ]kvk∞,[2kπ,2lπ]kznk2_n→→_+∞ 0 d’après a).

La suite de fonctions(f_n)_n∈Nconverge uniformément vers 0sur tout segment deR.

e) sZ2π

0

(y_n(x) −y_n^′(0)v(x))²dx= sZ2π

0

f²_n(x)dx6√

2πkf_nk∞,[0,2π] →

n→+∞ 0.

Mais alors|1−|y_n^′(0)|kvk2|=|ky_nk2−ky_n^′(0)vk2|6ky_n−y_n^′(0)vk2_n→

→+∞ 0. Par suite, puisquey_n^′(0)>0et quev6=0,

n→lim+∞y_n^′(0) = lim

n→+∞|y_n^′(0)|= 1 kvk2

.

(10)

n→+∞lim y_n^′(0) = 1 kvk2

.

f ) SoitI = [a, b] un segment de R. kyn− v

kvk2k∞,I 6kyn−y_n^′(0)vk∞,I+|y_n^′(0) − 1 kvk2

|kvk∞,I →

→+∞ 0. La suite de fonctions(y_n)_n>1converge donc donc uniformément sur tout segment vers la fonction v

kvk2

qui est de norme1.

En particulier, la suite (y_n)_n∈N converge simplement sur R vers la fonction v kvk2

. Puisque chaque fonction yn est 2π- périodique, il en est de même de v

kvk2

puis dev. D’autre part,v est impaire et de classeC²surR. En résumé,vest un élément de E₂non nul tel queQ(v) =αvce qui montre que

αest une valeur propre deQ.

IV.B -

IV.B.1)Soit(k, l)∈(N^∗)²tel quek6l. La suite(e_k,ne_l,n)_n>l converge uniformément vers e_ke_l sur[0, 2π]. En effet,

ke_ke_l−e_k,ne_l,nk∞ 6ke_kk∞ke_l−e_l,nk∞+ke_k−e_k,nk∞ke_l,nk∞

6kekk∞kel−el,nk∞+kek−ek,nk∞(kelk∞+kel,n−elk∞)_n→+∞→ 0.

Par suite,

(ek|el) = 1 π

Z2π

0

ek(x)el(x)dx= 1 π

Z2π

0

n→lim+∞ek,n(x) lim

n→+∞el,n(x)dx= lim

n→+∞

1 π

Z2π

0

ek,n(x)el,n(x)dx

!

= lim

n→+∞(e_k,n|e_l,n) = lim

n→+∞δ_k,l=δ_k,l.

La famille(e_k)_k>1 est orthonormale.

On sait déjà que la suite(λk)k>1est croissante. Il reste à vérifier que lesλk sont deux à deux distincts. Mais si pourk6=l, on aλk=λl, alors le sous-espace propre deQassocié àλk contient Vect(ek, el)qui est de dimension2puisque la famille (ei)i>1 est libre d’après ce qui précède. Ceci contredit le fait que les sous-espaces propres deQ sont des droites d’après I.A.2).

La suite(λ_k)_k>1est strictement croissante.

IV.B.2) a)En adaptant la relation (1), on obtient m²bm(ek,n) +bm(qek,n) −λk,nbm(ek,n) =0 et donc

|λk,n−m²|×|(ek,n|sm)|=|bm(qek,m)|.

|(ek,n|sm)|6 kqk²

a+k²−m².

b)Soitm∈N^∗. Pourn>m, sm ∈Vn et la famille(e1,n, . . . , en,n)est une base orthonormée deVn. Donc,

∀n>m, 1=ks_mk²2= Xn

k=1

(e_k,n|s_m)².

Pourn>metk∈J1, nK, posons x_k,n= (e_k,n|s_m)². On définit ainsi une suite (x_k,n)n>m,16k6n.

• Pour chaquek∈N^∗, la suite(e_k,ns_m)_n>k converge uniformément verse_ks_m sur le segment[0, 2π]. par suite, comme plus haut, lim

n→+∞(ek,n|sm)²= (ek|sm)²=xk.

(11)

La série de terme général ξk converge et d’après le résultat admis dans le préliminaire, la série de terme généralxk = (ek|sm)² converge et

X+∞

k=1

(e_k|s_m)²= lim

n→+∞

Xn

k=1

x_k,n= lim

n→+∞

Xn

k=1

(e_k,n|s_m)²=ks_mk2=1.

∀m∈N^∗, 1=ks_mk2=

+∞X

k=1

(e_k|s_m)².

Ensuite, pourn>m, ksm−

Xn

k=1

(e_k|s_m)e_kk²2=ksmk²2−2 Xn

k=1

(e_k|s_m)²+ Xn

k=1

(e_k|s_m)²=

+∞X

k=1

(e_k|s_m)²− Xn

k=1

(e_k|s_m)²=

+∞X

k=n+1

(e_k|s_m)².

ks_m− Xn

k=1

(e_k|s_m)e_kk²2est donc le reste à l’ordrende la série convergente de terme général (e_k|s_m)². On en déduit que

n→lim+∞ks_m− Xn

k=1

(e_k|s_m)e_kk²2=0et finalement que

n→lim+∞ksm− Xn

k=1

(ek|sm)ekk²=0.

IV.B.3)Soitf∈Etelle que∀k∈N^∗,(f|e_k) =0. Soitm∈N^∗. Pour chaquen∈N^∗, on a

|(f|sm)|=

f|sm− Xn

k=1

(ek|sm)ek+ Xn

k=1

(ek|sm)ek

!

=

f|sm− Xn

k=1

(ek|sm)ek

!

6kfk2ksm− Xn

k=1

(ek|sm)ekk2. En faisant tendrenvers+∞, on obtient|(f|sm)|60 et donc(f|sm).

Ainsi,f est orthogonal à chaques_m et puisque la famille(s_m)_m∈N∗ est totale dansE(par la formule de Parseval),fest nulle. On a montré que

la famille(ek)k∈N^∗ est totale.

IV.B.4)Supposons par l’absurde qu’il existe une valeur propreλ différente desλ_k. Soiteun vecteur propre associé à λ.

D’après II.A.3), pour chaquek∈N^∗ on a

λ(e|e_k) = (Q(e)|e_k) = (e|Q(e_k)) =λ_k(e|e_k).

Mais alors, pour chaquek∈N^∗, (λ−λ_k)(e|e_k) = 0 et donc (e|e_k) =0. Puis la famille (e_k)_k>1 est totale, on en déduit e=0ce qui est absurde.

Les valeurs propres de Qsont exactement les éléments de la suite(λ_k)_k>1.

(12)

Partie V - Comportement asymptotique

V.A -

V.A.1)Puisqueqn’est pas constante, la fonctionq−aest continue positive et non nulle sur[0, 2π]et donc 1 2π

Z2π

0

(q(t) − a)dt > 0ou encore 1

2π Z2π

0

q(t)dt > a. De même, 1 2π

Z2π

0

q(t)dt < b.

a < 1 2π

Z2π

0

q(t)dt < b.

V.A.2) a) Soitk>k₀. I_k∩Ik+1= ∅⇔b+k²< a+ (k+1)²⇔k> b−a−1

2 . Soit k₁=Max

k₀,

b−a−1 2

. Pourk>k₁, on ab+k²< a+ (k+1)² et doncI_k∩I_k+1=∅.

∃k1>k0/∀k>k1, Ik∩Ik+1=∅.

b)D’après III.C.4), chaqueµk est une valeur propre deQ et donc d’après IV.B.4), chaqueµk est l’un desλl. Maintenant, d’après II.B.4)b), lim

k→+∞

(µ_k−k²) = 1 2π

Z2π

0

q(t) dt ∈]a, b[ d’après V.A.1). Donc pour k grand, a+k² 6 µ_k6b+k²ou encoreµ_k∈I_k. Mais lesI_k sont deux à deux disjoints pourkgrand et donc pourkgrand,I_k ne contient queλ_k etµ_k. On en déduit que pour kgrand,λ_k=µ_k.

Mais alors, quandk tend vers+∞,λk=µk=k²+ 1 2π

Z2π

0

q(t)dt+o(1).

λk =

k→+∞ k²+ 1 2π

Z2π

0

q(t)dt+o(1).