Espaces propres, valeurs propres : détermination
Exercice 1. (☀☀)
On considère les matrices suivantes.
a) M1 =
2 −2 0
0 6 −6
0 0 12
b) M2 =
1 0 0 1 1 1 0 0 1
c) M3 =
3 −1 1
2 0 2
1 −1 3
d) M4 =
5 1 −1
2 4 −2
1 −1 3
e) M5 =
3 −1 1
1 2 0
0 1 1
f ) M6 =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1. Pour chaque matrice Mi, déterminer les réels λ∈ R tels que la matrice Mi−λI est non inversible.
Pour ce faire, on déterminera les réels λ∈Rtels que : rg(Mi−λI)6= 3
2. Pour touti∈J1,6Ket pour tout réelλtel querg(Mi−λI)6= 3, on définit l’ensemble :
Eλ(Mi) ={X =
x y z
∈M3,1(R) |(Mi−λI) X= 0M3,1(R)} Écrire chacun de ces ensembles sous la forme d’un espace vectoriel engen-
Démonstration.
1. a) Soit λ∈R.
rg(M1−λI) = rg
2−λ −2 0
0 6−λ −6
0 0 12−λ
La matrice M1−λI est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi : 2−λ= 0 OU 6−λ= 0 OU 12−λ= 0. Ainsi : M1−λI non inversible ⇔ λ∈ {2,6,12}
b) Soit λ∈R.
rg(M2−λI) = rg
1−λ 0 0
1 1−λ 1
0 0 1−λ
L1↔L2
= rg
1 1−λ 1
1−λ 0 0
0 0 1−λ
L2←L2−(1−λ)L1
= rg
1 1−λ 1
0 −(1−λ)2 −(1−λ)
0 0 1−λ
La réduite obtenue est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi : −(1−λ)2 = 0OU 1−λ= 0. Ainsi : M2−λI non inversible ⇔ (1−λ)2= 0 OU 1−λ= 0
⇔ 1−λ= 0
⇔ λ= 1
c) Soitλ∈R.
rg(M3−λI) = rg
3−λ −1 1
2 −λ 2
1 −1 3−λ
L1↔L3
= rg
1 −1 3−λ
2 −λ 2
3−λ −1 1
L2←L2−2L1 L3←L3−(3−λ)L1
= rg
1 −1 3−λ
0 2−λ −4 + 2λ 0 2−λ 1−(3−λ)2
L3←L3−L2
= rg
1 −1 3−λ
0 2−λ −4 + 2λ 0 0 5−(3−λ)2−2λ
La réduite obtenue est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi :2−λ= 0 OU 5−(3−λ)2−2λ= 0. Or : 5−(3−λ)2−2λ = 5−(9−6λ+λ2)−2λ
= −4 + 4λ−λ2
= −(2−λ)2 Ainsi :
M3−λI non inversible ⇔ 2−λ= 0 OU (2−λ)2= 0
⇔ 2−λ= 0
⇔ λ= 2
d) Soit λ∈R.
rg(M4−λ I3) = rg
5−λ 1 −1
2 4−λ −2
1 −1 3−λ
L1↔L3
= rg
1 −1 3−λ
2 4−λ −2
5−λ 1 −1
L2←L2−2L1 L3←L3−(5−λ)L1
= rg
1 −1 3−λ
0 6−λ −8 + 2λ 0 6−λ −1−(5−λ)(3−λ)
L3←L3−L2
= rg
1 −1 3−λ
0 6−λ −8 + 2λ 0 0 −8 + 6λ−λ2
La réduite obtenue est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi : 6−λ= 0 OU −8 + 6λ−λ2 = 0. Or :
−8 + 6λ−λ2 =−(8−6λ+λ2) =−(λ−2)(λ−4) Ainsi :
M4−λI non inversible ⇔ 6−λ= 0 OU −8 + 6λ−λ2 = 0
⇔ 6−λ= 0 OU λ−2 = 0 OU λ−4 = 0
⇔ λ∈ {2,4,6}
e) Soitλ∈R.
rg(M5−λI) = rg
3−λ −1 1
1 2−λ 0
0 1 1−λ
L1↔L2
= rg
1 2−λ 0
3−λ −1 1
0 1 1−λ
L2←L2−(3−λ)L1
= rg
1 2−λ 0
0 −1−(2−λ)(3−λ) 1
0 1 1−λ
L3↔L2
= rg
1 2−λ 0
0 1 1−λ
0 −1−(2−λ)(3−λ) 1
= rg
1 2−λ 0
0 1 1−λ
0 −q(λ) 1
L3←L3+q(λ)L2
= rg
1 2−λ 0
0 1 1−λ
0 0 1 + (1−λ)q(λ)
où :q(λ) = 1 + (2−λ)(3−λ).
La réduite obtenue est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi :1 + (1−λ)q(λ) = 0.
Or :
1 + (1−λ) q(λ) = 1 + (1−λ)
1 + (2−λ)(3−λ)
= 1 + (1−λ) + (1−λ)(2−λ)(3−λ)
= (2−λ) + (1−λ)(2−λ)(3−λ)
= (2−λ)
1 + (1−λ)(3−λ)
= (2−λ)
1 + (3−4λ+λ2)
= (2−λ) (4−4λ+λ2)
= (2−λ) (2−λ)2 = (2−λ)3 Ainsi :
M5−λI non inversible ⇔ (2−λ)3 = 0
⇔ 2−λ= 0
⇔ λ= 2
f ) Soitλ∈R.
rg(M6−λI) = rg
1−λ 1 1
1 1−λ 1
1 1 1−λ
L1↔L2
= rg
1 1−λ 1
1−λ 1 1
1 1 1−λ
L2←L2−(1−λ)L1 L3←L3−L1
= rg
1 1−λ 1
0 1−(1−λ)2 λ
0 λ −λ
= rg
1 1−λ 1
0 λ(2−λ) λ
0 λ −λ
L2↔L3
= rg
1 1−λ 1
0 λ −λ
0 λ(2−λ) λ
L3←L3−(2−λ)L2
= rg
1 1−λ 1
0 λ −λ
0 0 λ+ (2−λ)λ
= rg
1 1−λ 1
0 λ −λ
0 0 λ(3−λ)
La réduite obtenue est triangulaire supérieure.
Elle est non inversible ssi l’un de ses cœfficients diagonaux est nul.
Autrement dit ssi :λ= 0 OU λ(λ−3) = 0 = 0. Ainsi :
M6−λI non inversible ⇔ λ= 0 OU (λ= 0 OU λ−3 = 0)
⇔ λ∈ {0,3}
Remarque
On peut conclure plus rapidement le calcul précédent. En effet, on a vu que le rang est invariable par transposée. Ainsi, lors d’un calcul de rang, on est autorisé à faire des opérations sur les colonnes.
rg(M6−λI) = rg
1 1−λ 1
0 λ(2−λ) λ
0 λ −λ
C2←C2+C3
= rg
1 1−λ 1
0 λ(2−λ) +λ λ
0 0 −λ
= rg
1 1−λ 1
0 λ(3−λ) λ
0 0 −λ
2. a) (i) SoitX=
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E2(M1) ⇐⇒ M1X = 2X
⇐⇒ (M1−2I) X= 0M3,1(R)
⇐⇒
0 −2 0
0 4 −6
0 0 10
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
−2y = 0
4y − 6z = 0 10z = 0
L2←L2+ 2L1
⇐⇒
−2y = 0
−6z = 0 10z = 0
L3←3L3+ 5L2
⇐⇒
−2y = 0
−6z = 0 0 = 0 On en déduit :
E2(M1) = {
x y z
∈M3,1(R) |y = 0 et z= 0}
= {
x 0 0
|x∈R} = {x·
1 0 0
|x∈R} = Vect
1 0 0
E2(M1) = Vect
1 0 0
(ii) Soit X=
x y z
∈M3,1(R).
X∈E6(M1) ⇐⇒ M1X = 6X
⇐⇒ (M1−6I) X = 0M3,1(R)
⇐⇒
−4 −2 0
0 0 −6
0 0 6
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
−4x − 2y = 0
− 6z = 0 6z = 0
L3←L3+L2
⇐⇒
−4x − 2y = 0
− 6z = 0 0 = 0
⇐⇒
−4x = 2y
− 6z = 0 On en déduit :
E6(M1) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=−12y et z= 0}
= {
−12y y 0
|y∈R}
= {x·
−12 1 0
|y ∈R} = Vect
−12 1 0
E (M ) = Vect
−1
(iii) SoitX=
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E12(M1) ⇐⇒ M1X= 12X
⇐⇒ (M1−12I) X= 0M3,1(R)
⇐⇒
−10 −2 0
0 −6 −6
0 0 0
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
−10x − 2y = 0
− 6y − 6z = 0 0 = 0
⇐⇒
−10x − 2y = 0
− 6y = 6z
L1←3L1−L2
⇐⇒
−30x = −6z
− 6y = 6z On en déduit :
E12(M1) = {
x y z
∈M3,1(R) |x= 15z et y=−z}
= {
1 5z
−z z
|z∈R}
= {z·
1 5
−1 1
|z∈R} = Vect
1 5
−1 1
E12(M1) = Vect
1
−5 5
b) Soit X=
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E1(M2) ⇐⇒ M2X=X
⇐⇒ (M2−I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
0 0 0 1 0 1 0 0 0
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
0 = 0 x + z = 0 0 = 0
⇐⇒
x = −z On en déduit :
E1(M2) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=−z}
= {
−z y z
|(y, z)∈R2}
= {y·
0 1 0
+z·
−1 0 1
|(y, z)∈R2}
= Vect
0 1 0
,
−1 0 1
E1(M2) = Vect
0 1 0
,
−1 0 1
c) DéterminonsE2(M3). Soit X=
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E2(M3) ⇐⇒ M3X= 2X
⇐⇒ (M3−2I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
1 −1 1 2 −2 2 1 −1 1
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
x − y + z = 0 2x − 2 y + 2 z = 0 x − y + z = 0
L2←L2−2L1 L3←L3−L1
⇐⇒
x − y + z = 0 0 = 0 0 = 0
⇐⇒
x = y − z On en déduit :
E2(M3) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=y−z}
= {
y−z
y z
|(y, z)∈R2}
= {y·
1 1 0
+z·
−1 0 1
|(y, z)∈R2} = Vect
1 1 0
,
−1 0 1
E2(M3) = Vect
1 1
,
−1 0
d) (i) Déterminons E2(M4). SoitX =
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E2(M4) ⇐⇒ M4X = 2X
⇐⇒ (M4−2I)X = 0M3,1(R)
⇐⇒
3 1 −1
2 2 −2
1 −1 1
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
3 x + y − z = 0 2 x + 2y − 2z = 0 x − y + z = 0
L2←3L2−2L1 L3←3L3−L1
⇐⇒
3 x + y − z = 0 4y − 4z = 0
− 2y + 2z = 0
L3←2L3+L2
⇐⇒
3 x + y − z = 0 4y − 4z = 0 0 = 0
⇐⇒
3 x + y = z 4y = 4 z
L1←4L1−L2
⇐⇒
12 x = 0 4 y = 4z On en déduit :
E2(M4) = {
x y z
∈M3,1(R)|x= 0 et y=z}
= {
0 z z
|z∈R} = {z·
0 1 1
|z∈R} = Vect
0 1 1
(ii) DéterminonsE4(M4). SoitX =
x y z
∈M3,1(R).
X∈E4(M4) ⇐⇒ M4X= 4X
⇐⇒ (M4−4I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
1 1 −1
2 0 −2
1 −1 −1
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
x + y − z = 0
2 x − 2z = 0
x − y − z = 0
L2←L2−2L1 L3←L3−L1
⇐⇒
x + y − z = 0
− 2 y = 0
− 2 y = 0
L3←L3−L2
⇐⇒
x + y − z = 0
− 2y = 0 0 = 0
⇐⇒
x + y = z
− 2y = 0
L1←2L1+L2
⇐⇒
2x = 2z y = 0 On en déduit :
E4(M4) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=z et y= 0}
= {
z 0 z
|z∈R} = {z·
1 0 1
|z∈R} = Vect
1 0 1
(iii) Déterminons E6(M4). SoitX =
x y z
∈M3,1(R).
X∈E6(M4) ⇐⇒ M4X= 6X
⇐⇒ (M4−6I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
−1 1 −1
2 −2 −2
1 −1 −3
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
−x + y − z = 0 2 x − 2y − 2 z = 0 x − y − 3 z = 0
L2←L2+ 2L1 L3←L3+L1
⇐⇒
−x + y − z = 0
− 4 z = 0
− 4 z = 0
L3←L3−L2
⇐⇒
−x + y − z = 0
− 4 z = 0 0 = 0
⇐⇒
−x − z = −y
− 4 z = 0
L1←4L1−L2
⇐⇒
−4x = −4y
− 4z = 0 On en déduit :
E6(M4) = {
x y z
∈M3,1(R)|x=y et z= 0}
= {
y y 0
|y ∈R} = {y·
1 1 0
|y∈R} = Vect
1 1 0
e) DéterminonsE2(M5). Soit X=
x y z
∈M3,1(R).
X∈E2(M5) ⇐⇒ M5X= 2X
⇐⇒ (M5−2I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
1 −1 1
1 0 0
0 1 −1
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
x − y + z = 0
x = 0
y − z = 0
L2←L2−L1
⇐⇒
x − y + z = 0 y − z = 0 y − z = 0
L3←L3−L2
⇐⇒
x − y + z = 0 y − z = 0 0 = 0
⇐⇒
x − y = −z y = z
L1←L1+L2
⇐⇒
x = 0 y = z On en déduit :
E2(M5) = {
x y z
|M5X = 2X}
= {
x y z
|x= 0 et y=z} = {
0 z z
|z∈R}
0
0
f ) (i) Déterminons E0(M6). SoitX =
x y z
∈M3,1(R).
X ∈E0(M6) ⇐⇒ M6X= 0X
⇐⇒ (M6−0I)X = 0M3,1(R)
⇐⇒
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0
L2←L2−L1 L3←L3−L1
⇐⇒
x + y + z = 0 0 = 0 0 = 0
⇐⇒
x = −y − z On en déduit :
E0(M6) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=−y−z}
= {
−y−z y z
|(y, z)∈R2}
= {y·
−1 1 0
+z·
−1 0 1
|(y, z)∈R2}
= Vect
−1 1 0
,
−1 0 1
−1
−1
(ii) DéterminonsE3(M6). SoitX =
x y z
∈M3,1(R).
X∈E3(M6) ⇐⇒ M6X = 3X
⇐⇒ (M6−3I)X= 0M3,1(R)
⇐⇒
−2 1 1
1 −2 1
1 1 −2
x y z
=
0 0 0
⇐⇒
−2x + y + z = 0 x − 2 y + z = 0 x + y − 2 z = 0
L2←2L2+L1 L3←2L3+L1
⇐⇒
−2x + y + z = 0
− 3 y + 3 z = 0 3 y − 3 z = 0
L3←L3+L2
⇐⇒
−2x + y + z = 0
− 3 y + 3 z = 0 0 = 0
⇐⇒
−2 x + y = −z
− 3y = −3z
L1←3L1+L2
⇐⇒
−6 x = −6z
− 3y = −3z On en déduit :
E3(M6) = {
x y z
∈M3,1(R) |x=z et y=z}
= {
z z z
|z∈R} = {z·
1 1 1
|z∈R} = Vect
1 1 1
