Partie III. Valeurs propres complexes.

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Les deux problèmes sont indépendants mais présentent certaines analogies.

Problème 1.

L'objet de ce problème est de présenter quelques résultats liés au théorème de Perron- Frobenius.

On désigne parE leR-espace vectorielR^p (avecp≥2 xé). On note(e1,· · · , ep) la base canonique deE

e1= (1,0,· · ·,0), e2= (0,1,0,· · ·,0), · · ·, ep= (0,· · · ,0,1) etu= (1,1,· · ·,1) =e1+· · ·+ep.

On dénit des partiesQ,Q⁺,N et BdeE.

Q={(x₁,· · ·, x_p)∈Etq∀i∈J1, pK, x_i≥0}

Q⁺={(x₁,· · ·, x_p)∈Etq∀i∈J1, pK, x_i>0}

N ={(x1,· · ·, xp)∈ Qtq max(x1,· · · , xp) = 1}

B={(x1,· · ·, xp)∈Etq max(|x1|,· · · ,|xp|)≤1}.

On dira que les vecteurs deQsont positifs et que ceux deQ⁺sont strictement positifs. On se donne un endomorphismef ∈ L(E)tel que

f(u) =uet ∀i∈J1, pK, f(e_i)∈ Q⁺.

Un tel endomorphismef est dit stochastique. Les images (positives) des vecteurs de la base canonique sont notées de la manière suivante :

f(e1) = (a11, a12,· · ·, a1p) f(e₂) = (a₂₁, a₂₂,· · ·, a_2p)

...

f(e_p) = (a_p1, a_p2,· · ·, a_pp)

Partie I. Positivité.

1. Soitλun nombre complexe de module strictement plus petit que1 etkentier entre0 etp−1 xé. La suite de nombres complexes ⁿ_k

λⁿ

n≥pest-elle convergente ? Quelle est sa limite ?

2. Soitλ1,· · ·, λp des réels strictement positifs tels que λ1+· · ·+λp= 1. a. Soitµ₁,· · ·, µ_p réels. Montrer que

(∀i∈J1, pK, µi≥0 etλ1µ1+· · ·+λpµp= 0)⇒µ1=· · ·=µp= 0 (∀i∈J1, pK, µi≤1 etλ1µ1+· · ·+λpµp= 1)⇒µ1=· · ·=µp= 1.

b. Soitu1,· · · , up des nombres complexes de module 1. Montrer que λ1u1+· · ·+λpup= 1⇒u1=· · ·=up= 1.

3. Comment les propriétés def se traduisent-elles sur lesa_ij? 4. Montrer queBest stable parf.

5. a. Siv∈ N, que dire deu−v?

b. Soitv∈ N tel quef(v) =v. Montrer quev=u. c. Montrer que ker(f −IdE) = Vect(u).

Partie II. Hyperplan supplémentaire stable.

1. Soitg∈ L(E).

a. Montrer¹ quedim(kerg)≤dim(kerg²)≤2 dim(kerg).

b. Montrer queImg⊕kerg=E⇔Img= Img²⇔kerg= kerg². 2. Montrer que sidim ker(f−IdE)²

≥2, il existev∈ Btel que f(v)6=v et

∀n∈N, fⁿ(v) =v+n(f(v)−v)

3. Montrer queIm(f−Id_E)est un hyperplan supplémentaire deVect(u). On le noteH. Montrer queH est stable par f.

4. a. Soitϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur E et de même noyau. Montrer qu'il existe un réelλtel queψ=λϕ.

b. Montrer qu'il existe une forme linéaire γ telle que H = kerγ avec γ(u) = 1. Montrer queγ◦f =γ.

1La partie droite de cet encadrement ne servira pas dans le reste du problème.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1307E

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Partie III. Valeurs propres complexes.

Dans cette partie, on étendf en une fonctionΦdénie surF =C^pen posant :

∀(z1,· · ·, zp)∈C^p, Φ((z1,· · ·, zp)) =z1f(e1) +· · ·+zpf(ep)

La fonction Φest un endomorphisme du C-espace vectorielF =C^p. On ne demande pas de le vérier.

On dénit des sous-ensembles deF =C^p analogues àN et Bà partir des modules au lieu des valeurs absolues.

N⁰ ={(z₁,· · ·, z_p)∈F tq max(|z₁|,· · ·,|z_p|) = 1}

B⁰ ={(z1,· · ·, zp)∈F tq max(|z1|,· · ·,|zp|)≤1}.

Dans cette partie,λdésigne une valeur propre deΦc'est à dire un nombre complexe pour lequel il existe un vecteur propre w∈F non nul tel queΦ(w) =λw.

1. Montrer qu'il existe un vecteurw₁∈ N⁰ tel queΦ(w₁) =λw₁. Dans toute la suite de cette partie, on supposera quew∈ N⁰. 2. Montrer queB⁰ est stable par Φ. En déduire|λ| ≤1.

3. On notew= (z1,· · · , zp)et on supposeλde module1. a. Montrer que tous leszi sont de module1.

b. Montrer que λ = 1 et que tous les zi sont égaux entre eux. En déduire que ker(Φ−IdE)est la droite vectorielle complexe engendrée paru.

4. Que peut-on conclure quant aux valeurs propres deΦ?

Partie IV. Convergence.

Pour un vecteur v deF, on considère la suite de vecteurs (Φⁿ(v))_n∈

N. L'objet de cette partie est d'établir une propriété de cette suite.

On note :

Φⁿ(v) = v¹_n, v²_n,· · · , v^p_n

Il faut bien garder à l'esprit que dans la notation v^k_n, l'exposantk ne représente pas une puissance mais un numéro de coordonnée.

La forme linéaireγsur leR-espace vectorielE=R^pa été dénie dans la partie II (question 4.b.). On note :

g₁=γ(e₁), g₂=γ(e₂), · · · , g_p=γ(e_p)

Ces réels permettent de dénir une forme linéaireΓsur leC-espace vectorielF =C^p :

∀(z1,· · · , z_p)∈F, Γ((z₁,· · · , z_p)) =g₁z₁+· · ·+g_pz_p.

On noteH⁰= ker Γ.

1. Montrer queH⁰est un supplémentaire de la droite vectorielle complexe engendrée par u. Montrer queΓ◦Φ = Γ, en déduire queH⁰ est stable parΦ.

2. Soitλ6= 1une valeur propre etv∈ker(Φ−λIdE)^p. Montrer que, pour tout entier k entre1etp, la suite de nombres complexes v_n^k

n∈N converge vers0.

3. Soitλune valeur propre telle queker(Φ−λId_E)^p⊂H⁰. Montrer queλ6= 1. 4. On admet² qu'il existe un ensemble de valeurs propres{λ1,· · ·, λr} tel que

H⁰= ker(Φ−λ1IdF)^p+· · ·+ ker(Φ−λrIdF)^p Montrer que, pour toutv∈F et toutk∈J1, pK, la suite v^k_n

n∈N converge versΓ(v).

Problème 2.

On note C = C⁰([0,+∞[,C). On dira qu'une fonction f ∈ C est strictement positive lorsquef(t)∈Ret f(t)>0 pour tous lest∈[0,+∞[. On noteu∈ Cla fonction constante de valeur1. Pour toute fonctionf ∈ C on dénit une fonction (notéeT(f))

T(f) :











[0,+∞[→C

x7→







f(0) six= 0

1 x

Z x 0

f(t)dt six6= 0

On notera simplementT(f)(x)la valeur enxde la fonctionT(f). Pour tout réelcstricte- ment positif, on dénit une fonctionNc par

∀f ∈ C, N_c(f) = max

[0,c] |f|.

1. a. Soitf ∈ C, montrer queT(f)∈ C et queT dénit un endomorphisme³ deC. b. Montrer queT(u) =uet que l'ensemble des fonctions strictement positives deC

est stable parT. On dira queT est stochastique.

c. Montrer que T(f) est dérivable dans l'ouvert ]0,+∞[. Pour x > 0, préciser x(T(f))⁰(x)en fonction def(x)et deT(f)(x).

d. Montrer queT est injective mais pas surjective.

2c'est une conséquence simple d'un théorème du cours de deuxième année.

3Dans un contexte d'analyse comme ici, on utilisera plutôt le mot opérateur que le mot endomorphisme.

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2. Soitf ∈ Cà valeurs réelles et a,b deux réels tels que0< a < b. Dans cette question seulement, on noteraf =T(f)etF la primitive def nulle en0.

a. Montrer à l'aide d'une intégration par parties faisant intervenirf f= (xf)⁰f que Z b

a

f²(t)dt≤ F²(a) a + 2

Z b a

f(t)f(t)dt.

b. En utilisantF²(a) =a²f²(a), montrer que Z b

0

f²(t)dt≤4 Z b

0

f²(t)dt.

3. Soitc >0xé.

a. Justier la dénition deNc. Montrer que

∀f ∈ C, N_c(T(f))≤N_c(f).

b. Soit0< x < y≤c. Montrer que

∀f ∈ C, |T(f)(y)−T(f)(x)| ≤ 2N_c(f)

y (y−x).

c. Soit0< x, montrer que|T(f)(x)−T(f)(0)| ≤max_[0,x]|f−f(0)|. 4. Étude des valeurs propres.

Une valeur propre deT est un nombre complexe λ pour lequel il existe une fonction v∈ Cnon identiquement nulle telle queT(v) =λv. L'ensemble des valeurs propres est appelé le spectre de l'opérateur.

a. Pour tout nombre complexeµ, on dénit la fonctionp_µdans l'ouvert]0,+∞[par p_µ(x) =x^µ. Pour quelsµ la fonctionp_µ se prolonge-t-elle à une fonction de C? Calculer alorsT(p_µ).

b. En utilisant la question3a, montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à1.

c. En formant une équation diérentielle, déterminer le spectre deT. Bien vérier qu'il est inclus dans le disque unité. Quelles sont les fonctionsv ∈ C telles que T(v) =v?

5. On considère ici une fonction f ∈ C croissante. On note f_n =Tⁿ(f) et x_n =f_n(x) pourx≥0. On étudie la suite(x_n)_n∈

N.

a. Soitx≥0, montrer queT(f)(x)≤f(x)et queT(f)est croissante.

b. Montrer que, pour toutx≥0, la suite(x_n)_n∈

N converge. On notel(x)sa limite ce qui dénit une fonctionldans[0,+∞[.

c. Montrer quel est continue. On admet queT(l) =l, en déduire la fonctionl.