Énoncé
Soit p ∈ N xé, p ≥ 2. On note F = Cp et (e1,· · · , ep) la base canonique du C-espace vectorielF :
e1= (1,0,· · ·,0), e2= (0,1,0,· · · ,0), · · ·, ep= (0,· · · ,0,1).
On noteu= (1,1,· · ·,1) =e1+· · ·+ep et on dénitQ+⊂Rp⊂F par :
∀x= (x1,· · · , xp)∈Rp, x∈ Q+ ⇔(∀i∈J1, pK, xi>0).
On considère un endomorphismef ∈ L(F)déni par
f(e1) = (a11, a12,· · ·, a1p)∈ Q+ f(e2) = (a21, a22,· · ·, a2p)∈ Q+
...
f(ep) = (ap1, ap2,· · · , app)∈ Q+
et vériantf(u) =u.
Un tel endomorphisme est dit stochastique. L'objet de ce problème est d'introduire au théorème de Perron-Frobenius qui porte sur les suites de puissances de ces endomorphismes.
Partie I. Boîte à outils.
1. Propriétés def.
a. Soitz= (z1,· · · , zp)∈F. Préciser lep-upletf(z)∈Cp. b. Montrer que∀(i, j)∈J1, pK
2, aij >0 et que
∀j∈J1, pK, a1j+a2j+· · ·+apj = 1.
2. Soitλ∈ Cavec|λ| <1 et k∈ J0, p−1K xé. La suite complexe nk λn
n≥p est-elle convergente ? Quelle est sa limite ?
3. Ici, aucun raisonnement par l'absurde ou par contraposition ne sera lu.
Soitλ1,· · ·, λp des réels strictement positifs tels que λ1+· · ·+λp= 1. a. Soitµ1,· · ·, µp réels. Montrer que
(∀i∈J1, pK, µi≥0)⇒ max(µ1,· · · , µp) min(λ1,· · ·, λp)≤λ1µ1+· · ·+λpµp. En déduire
∀i∈J1, pK, µi≥0 λ1µ1+· · ·+λpµp= 0
)
⇒µ1=· · ·=µp= 0.
Déduire de la question précédente que
∀i∈J1, pK, µi≤1 λ1µ1+· · ·+λpµp= 1
)
⇒µ1=· · ·=µp= 1.
b. Soitu1,· · · , up complexes. Montrer que
∀i∈J1, pK, |ui| ≤1 λ1u1+· · ·+λpup= 1
)
⇒u1=· · ·=up= 1.
Partie II. Valeurs propres complexes.
On dénit la notion de vecteur propre et de valeur propre def.
Un nombre complexeλest une valeur propre si et seulement si il existew∈F tel que
w6= 0E etf(w) =λw.
On dit alors quewest un vecteur propre de valeur propreλ. On dénit des partiesN etBdeCp=F par :
∀w= (z1,· · · , zp)∈F,
(w∈ N ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|) = 1.
w∈ B ⇔max(|z1|,· · ·,|zp|)≤1.
1. Dans le casp= 2. En identiantR2 au plan usuel, dessinerN ∩R2 etB ∩R2. 2. Montrer que1est une valeur propre. On noteS l'ensemble des valeurs propres.
3. On veut montrer que le module d'une valeur propre est inférieur ou égal à1.
a. Soitwun vecteur propre de valeur propre λ. Montrer que pour, toutµ non nul dansC, le vecteur µwest encore propre. Quelle est sa valeur propre ?
b. Montrer queBest stable parf, c'est à dire que :∀w∈F, w∈ B ⇒f(w)∈ B. c. Soitwun vecteur non nul. Comment choisirµ >0 pour queµw∈ N? d. Conclure.
4. Soitλune valeur propre de module1.
a. Montrer qu'il existe un vecteur proprew= (z1,· · ·, zp)∈ N de valeur propreλ. b. En faisant jouer un rôle spécique à un indice particulier j tel que |zj| = 1,
montrer que tous leszi sont égaux entre eux et queλ= 1. c. Montrer que ker(f −IdF) = Vect(u).
Partie III. Hyperplan supplémentaire stable.
1. Soitg∈ L(F).
a. Montrer1 quedim(kerg)≤dim(kerg2)≤2 dim(kerg).
b. Montrer queImg⊕kerg=F ⇔Img= Img2⇔kerg= kerg2. 2. Montrer que sidim ker(f−IdF)2
≥2, il existev∈ Btel que f(v)6=v et
∀n∈N, fn(v) =v+n(f(v)−v).
En déduireker(f −IdF)2= ker(f −IdF).
3. Montrer queIm(f −IdF)est un hyperplan supplémentaire deVect(u). On le noteH. Montrer queH est stable parf.
4. a. Soitϕ et ψ deux formes linéaires non nulles sur F et de même noyau. Montrer qu'il existe un réelλtel queψ=λϕ.
b. Montrer qu'il existe une forme linéaire γ telle que H = kerγ avec γ(u) = 1. Montrer queγ◦f =γ.
c. Soitv∈F. Quelle est la projection de vsurVect(u)parallèlement àH?
Partie IV. Convergence.
Pour v ∈ F, on considère la suite de vecteurs (fn(v))n∈
N. L'objet de cette partie est d'établir une propriété de cette suite en notant
fn(v) = vn1, vn2,· · · , vnp .
Il faut bien garder à l'esprit que dans la notation vkn, l'exposantk ne représente pas une puissance mais un numéro de coordonnée.
1. Soitλ6= 1 une valeur propre etv∈ker(f−λIdF)p. Montrer que, pour toutk∈J1, pK, la suite complexe vkn
n∈Nconverge vers0. 2. Soitλune valeur propre telle que ker(f −λIdF)p⊂H. Montrer que|λ|<1. 3. On admet2 qu'il existe un ensemble de valeurs propres{λ1,· · ·, λr} tel que
H = ker(f−λ1IdF)p+· · ·+ ker(f−λrIdF)p Montrer que, pour toutv∈F et toutk∈J1, pK, la suite vnk
n∈N converge versγ(v).
1La partie droite de cet encadrement ne servira pas dans le reste du problème.
2c'est une conséquence simple d'un théorème du cours de deuxième année.
Corrigé
Les coordonnées d'un vecteur deCpsont toujours relatives à la base canonique. Lai-ème coordonnée de(x1,· · ·, xp)est doncxi.
Partie I. Boîte à outils.
1. a. Par linéarité def :
∀z= (z1,· · · , zn)∈F, f(z) =
p
X
i=1
ai1zi,· · ·,
p
X
i=1
aipzi
! .
b. Pour tout(i, j)∈J1, pK
2, commef(ei)∈ Q+, lesaij sont strictement positifs par dénition deQ+.
Comme,f(u) =uavecu= (1,· · · ,1). D'après l'expression def(z):
∀j∈J1, pK,
p
X
i=1
aij=j-ème coordonnée def(u) = 1.
2. Pourkxé, d'après les propriétés des suites usuelles :
n k
=
kfacteurs
z }| { n(n−1)· · ·
k! ⇒
n k
λn
n≥p
∼nk
k!λn→0car|λ|<1.
3. On rappelle queλi>0pour tous les iavecλ1+· · ·+λp= 1. a. Ici tous lesλetµsont positifs ou nuls. Donc
∀i∈J1, pK, λiµi≤λ1µ1+· · ·+λpµp.
Cela est vrai en particulier pour l'indicei0tel que µi0 = max(µ1,· · · , µp), donc min(λ1,· · · , λp)
| {z }
≤λi0
max(µ1,· · · , µp)
| {z }
≥0
≤λi0max(µ1,· · ·, µp) =λi0µi0
≤λ1µ1+· · ·+λpµp Si on suppose de plus que la somme desλµest nulle, on en déduit
0≤min(λ1,· · ·, λp)
| {z }
>0
max(µ1,· · ·, µp)
| {z }
≥0
≤0⇒max(µ1,· · · , µp) = 0
⇒µ1=· · ·=µp= 0.
Pour la deuxième implication, on écrit1comme somme desλet on se ramène à la première
λ1µ1+· · ·+λpµp = 1 =λ1+· · ·+λp⇒λ1(1−µ1)
| {z }
≥0
+· · ·+λp(1−µp)
| {z }
≥0
= 0
⇒1−µ1=· · ·= 1−µp= 0.
b. Ici lesui ∈C. Notonsµi = Re(ui)et considérons la partie réelle de la combinai- son :
∀i∈J1, pK,Re(ui)≤ |Re(ui)| ≤ |ui| ⇒µi≤1 Re (λ1u1+· · ·+λpup) =λ1µ1+· · ·+λpµp= 1
)
⇒µ1=· · ·=µp = 1 d'après l'implication précédente. On conclut alors par
∀i∈J1, pK, Re(ui) = 1
|Re(ui)| ≤1 )
⇒Im(ui) = 0et ui = 1.
Partie II. Valeurs propres complexes.
1. Pourp= 2, en se limitant àR2, on trouve le carré unité : les 4 segments pourN et la plaque pourB.
x1
x2
1 1
-1
-1
x1
x2
1 1
-1
-1 Fig. 1:N ∩R2 etB ∩R2
2. Par dénition f(u) = u ce qui signie que 1 est valeur propre de vecteur propre u. L'ensembleSdes valeurs propres def (appelé son spectre) est non vide, il contient au moins1.
3. On veut montrer que le module d'une valeur propre est inférieure ou égale à1.
a. Soitwun vecteur propre de valeur propre λet µ∈Cnon nul.
Notonsv=µw6= 0F. C'est encore un vecteur propre car f(v) =f(µw) =µf(w) =µ(λw) =λ(µw) =λv.
b. Soitw = (z1,· · · , zp) ∈ B. Par linéarité de f, laj-ème coordonnée de f(w)est a1jv1+· · ·+apjvp avec
|a1j
|{z}
>0
z1+· · ·+ apj
|{z}
>0
zp| ≤a1j |z1|
|{z}≤1
+· · ·+apj |zp|
|{z}
≤1
≤a1j+· · ·+apj= 1
d'après I1b. Ceci étant valable pour tous lesj, on en tiref(v)∈ B.
c. Soit w= (z1,· · · , zp), notonsW = max(|z1|,· · ·,|zp|). Alorsw6= 0F ⇒W >0. Il sut de choisirµ=W1 pour queµ w∈ N.
d. Soitλune valeur propre. D'après c. et a., il existew= (z1,· · ·, zp)∈ N qui est un vecteur propre de valeur propreλ. CommeN ⊂ B, la question b. montre que
λw=f(w)∈ B ⇒ ∀j∈J1, pK, |λzj| ≤1.
Il existe unj tel que|zj|= 1carw∈ N. On en déduit|λ| ≤1. 4. Soitλune valeur propre de module1.
a. Comme dans la question précédente, il existew= (z1,· · · , zp)∈ N (d'après 3.c.
et 3.a.) qui est un vecteur propre de valeur propreλ.
b. Il existej tel que|zj|= 1et |zi| ≤1 pour tous lesi carw= (w1,· · · , wp)∈ N. Considérons laj-ème coordonnée def(w):
a1jz1+· · ·+apjzp=λzj. Divisons parλzj qui est non nul car de module1. On en tire
a1ju1+· · ·+apjup= 1avecuk= zk
λzi
⇒ |uk|= |zk|
|λzi| ≤1.
On conclut alors queuk = 1pour tous leskavec la question I.3.b. car a1j+· · ·+apj= 1.
En considérant k = j, on obtient λ = 1. Ceci prouve que 1 est la seule valeur propre de module 1. Pour tous les autresk, on obtientzk=zj.
On peut noter que cela entrainew=zjuce qui est utile dans la question suivante.
c. Remarquons quev∈ker(f−IdF)⇔f(v) =v. Commef(u) =upar hypothèse, u∈ker(f −IdF)doncVect(u)⊂ker(f−IdF).
Soit v non nul dans ker(f −IdF). D'après 3.c. et 3.a., il existe µ > 0 tel que µv = (z1,· · ·, zp)soit un vecteur propre dans N de valeur propre 1. D'après la question précédente, il existe j tel que µv = ziu ∈ Vect(u). On en tire l'autre inclusion donc
ker(f−IdF) = Vect(u).
Partie III. Hyperplan supplémentaire stable.
1. a. Sig(x) = 0alorsg(x) = 0donckerg⊂kerg2 doncdim(kerg)≤dim(kerg2). Pour la deuxième inégalité, considéronsg0 la restriction deg àkerg2. Elle prend ses valeurs danskergdoncrgg0 ≤dim(kerg)et son noyau estkerg. Appliquons àg0 le théorème du rang :
dim(kerg2) = dim(kerg) + rg(g0)≤2 dim(kerg).
b. On sait quekerg⊂kerg2 etImg2⊂Img pour tout endomorphismeg. SupposonsImg⊕kerg=E et montrons queImg⊂Img2.
Soitx=g(y)∈Img, décomposons y eny=a+b aveca∈kerg etb=g(c)∈ Img. On en tirex=g2(c)∈Img2 doncImg= Img2.
SupposonsImg= Img2 et montrons quekerg= kerg2.
L'égalité des deux images entraine l'égalité des dimensions des deux images. Le théorème du rang entraine l'égalité des dimensions des deux noyaux. Comme kerg⊂kerg2, l'égalité des dimensions entraine l'égalité des espaces.
Supposonskerg2= kerget montrons que Img⊕kerg=E.
Six∈Img∩kerg, il existeytel quex=g(y)etg(x) = 0. Alorsg2(y) = 0donc y∈kerg2⊂kerg doncg(y) =x= 0. L'intersection est réduite au vecteur nul doncdim(Img+ kerg) = dim Img+ dim kerg= dimEà cause du théorème du rang. D'oùImg+ kerg=EpuisImg⊕kerg=E.
Les trois implications prouvées au dessus montrent circulairement l'équivalence Img⊕kerg=E⇔Img2= Img⇔kerg2= kerg.
2. Notonsg=f −IdF de sorte quef = IdF+g. La formule du binôme est valable pour une somme de deux endomorphismes qui commutent :
fn= IdF+ n
1
g+ n
2
g2+ n
3
g3+· · ·
On sait d'après II.4.c que kerg = Vect(u) donc dim(kerg) = 1. Si dim(kerg2) = 2 l'inclusion entre les deux noyaux est stricte et il existe un w∈kerg2 avecw /∈kerg. On a donc f(w) 6= w et g2(w) = 0. Le vecteur v n'est pas forcémént dans B mais, comme il est non nul, il existeµ > 0 tel quev =µw = (z1,· · ·, zp)∈ N ⊂ Bet qui vérie les mêmes propriétés. L'expression defn(v)se réduit alors à
fn(v) =v+ n
1
g(v) + 0 =v+n(f(v)−v).
Ceci entre en contradiction avec le fait queBest stable parf (partie II question III.b).
En eet il existe un indicejtel que laj-ème coordonnée devsoit diérente de laj-ème coordonnée def(v). Pour cej, la suite desj-ème coordonnés defn(v)va diverger vers +∞ou−∞et ne sera pas bornée par1. Ceci prouve quekerg2= kerg.
3. Toujours avecg=f−IdF, la question 1.a. montre que
ker(f −IdF)2= ker(f −IdF)⇒Im(f−IdF)⊕ker(f−IdF) =E.
Commeker(f−IdF) = Vect(u)est une droite vectorielle,Im(f−IdF)est un hyperplan supplémentaire notéH.
Il est stable parf car six∈H, il existey∈F tel que
x=f(y)−y⇒f(x) =f2(x)−f(x) = (f−IdF)(f(x)) =g(x)∈H.
4. a. Il s'agit d'une question de cours. Soitvun vecteur qui n'est pas dans l'hyperplan kerφ= kerψalorsψ(v)etφ(v)sont non nuls et la droiteVect(v)est un supplé- mentaire de cet hyperplan. En décomposant danskerψ⊕Vect(v), on vérie que φ=ψ(v)φ(v)ψ.
b. CommeH est un hyperplan, il existe une forme linéaire γ1 telle queH = kerγ1
avecγ1(u)6= 0 carun'est pas dansH. On peut poser γ= γ1
1(u)γ1 pour assurer queγ(u) = 1.
Notons γ0 = γ◦f. C'est encore une forme linéaire et elle n'est pas nulle car γ0(u) = 1. La stabilité de H par f entraine queH ⊂kerγ0. Comme il sont de même dimension, les deux hyperplans sont égaux. Il existe donc un réelλtel que γ0 =λγ. De plusλ= 1 carγ(u) =γ0(u).
c. Décomposonsv∈F dansVect(u)⊕H. Il existeµ∈Ceth∈H = kerγtel que v=λu+h⇒γ(v) =λγ(u)⇒pVect(u)H(v) =λu=γ(v)ucarγ(u) = 1.
Partie IV. Convergence.
1. Utilisons la formule du binôme pour l'endomorphisme fn= (λIdF+(f −λIdF))n
carλIdF commute avecf−λIdF. Prenons la valeur env∈ker(f −λIdF)p : fn(v) =λnv+
p−1
X
k=1
n k
λn−k(f−λIdF)k(v)
car (f −λIdF)k(v) = 0 pour k ≥p. D'après II., |λ| <1 car c'est une valeur propre autre que1. De I.1., on déduit que toutes les suites numériques en jeu (pour chaquek et chaque coordonnée) dans la suite de vecteurs(fn(x))n≥p convergent vers0. 2. Soitλune valeur propre telle que ker(f −λIdF)p ⊂H et v 6= 0F un vecteur propre
associé.
v∈ker(f −λIdF)⊂ker(f−λIdF)p⊂H H∩ker(f−IdF) ={0F}
)
⇒f(v)6=v⇒λ6= 1⇒ |λ|<1
car d'après II.|λ| ≤1et λ6= 1⇒ |λ|<1.
3. CommeVect(u)⊕H =F, tout vecteurv se décompose en
v=γ(v)u+havech=∈H = ker Γ.
De plus, d'après la propriété admise,hse décompose en une sommeh=v1+· · ·+vr
avecvk∈ker(f−λk)p. La question 2 montre que les suites de coordonnées desfn(vk) convergent vers 0. La seule composante qui contribue réellement à la limite est celle dansVect(u)qui est constante. Toutes les suites de coordonnées desfn(v)convergent vers la même valeurγ(v).
